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多次元の確率分布 経済統計 鹿野研究室

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Academic year: 2018

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(1)

担当:鹿野(大阪府立大学)

2014

年度前期

はじめに

前回の復習

 多次元の確率分布:同時分布h(x, y)

 (X, Y)に依存するW = s(X, Y)の期待値。

今回学ぶこと

 確率変数の共分散と和の分散。

 資産運用への応用:ポートフォリオ選択。

 テキスト該当箇所:7.1章、7.2章。小暮・照井(2001)『計量ファイナンス分析の基礎』 も参照。

1 確率変数の共分散と和の分散

1.1

確率変数の共分散

 共分散:同時確率分布h(x, y)に従う確率変数(X, Y)について

Cov(X, Y) = E [(X − E(X))(Y − E(Y))] (1)

を 、XY の (covariance)と 呼 ぶ 。こ こ で 右 辺E(·)の ウェイ ト は 同 時 分 布 h(x, y)

(x − E(X))(y − E(Y)) > 0 ⇔期待値を軸に、実現値(x, y) に動く。 均的にこの傾向が強いと、Cov(X, Y) > 0XY の相関。

(x − E(X))(y − E(Y)) < 0 ⇔期待値を軸に、実現値(x, y) に動く。 均的にこの傾向が強いと、Cov(X, Y) < 0XY の相関。

⊲ ∴二次元データの共分散(講義ノート#03)と同じ発想で、実現値の共変動を測る。

 共分散の別表現:Cov(X, Y)は、次式でも計算可能。 Cov(X, Y) =

| {z }

積の期待値

| {z }

期待値の積

. (2)

元々の定義(1)式よりも、上式のほうがCov(X, Y)を計算しやすい場合が多い。 1

(2)

証明:(1)式右辺を展開すると

Cov(X, Y) = E(XY − E(Y)X − E(X)Y + E(X)E(Y))

= E(XY) − E(X)E(Y) − E(X)E(Y) + E(X)E(Y)

= E(XY) − E(X)E(Y). (3)

 例:次の同時分布h(x, y)に従う確率変数(X, Y)の共分散は?(実現値はx = 1, 3y = 2, 4。) h(x, y) Y = 2 Y = 4 f (x)

X = 1 0.5 0.1 0.6

X = 3 0.0 0.4 0.4

g(y) 0.5 0.5

f (x)g(y)XYの周辺分布。

積の期待値E(XY) =PxPyxyh(x, y)は上の表から

E(XY) = (1 · 2)h(1, 2) + (1 · 4)h(1, 4) + (3 · 2)h(3, 2) + (3 · 4)h(3, 4)

= 2 · 0.5 + 4 · 0.1 + 6 · 0 + 12 · 0.4 = . (4)

周辺分布 f (x)g(y)より、XYそれぞれの期待値は

E(X) = 1 · 0.6 + 3 · 0.4 = , E(Y) = 2 · 0.5 + 4 · 0.5 = . (5)

⊲ ∴共分散の別表現(2)式を使えば

Cov(X, Y) = E(XY) − E(X)E(Y) = 6.2 − 1.8 · 3 = >0. (6) (X, Y)に正の相関。

1.2

確率変数の和の分散

 確率変数の和:XYの和をW = aX + bYと置き、分散Var(W) = Var(aX + bY)を考える。

準備:Wの期待値はE(W) = aE(X) + bE(Y)(講義ノート#12Wと期待値の差は W − E(W) = aX + bY − (aE(X) + bE(Y)) = a(X − E(X)) + b(Y − E(Y)). (7)

 確率変数の和の分散:W = aX + bYの分散は

Var(W) = Var(aX + bY) = . (8)

∴単にa2Var(X)b2Var(Y)の和ではなく、さらに が加わる。

証明:Wの分散は、定義上

Var(W) = Var(aX + bY) = Eh(W − E(W))2i. (9)

(3)

(7)式に注意して上式の右辺を展開・整理すると、 Var(aX + bY) = Eh{a(X − E(X)) + b(Y − E(Y))}2i

= E

ha2(X − E(X))2+ 2ab(X − E(X))(Y − E(Y)) + b2(Y − E(Y))2 i

= a2E

h(X − E(X))2i

| {z }

=Var(X)

+2ab E [(X − E(X))(Y − E(Y))]

| {z }

=Cov(X,Y)

+b2E

h(Y − E(Y))2i

| {z }

=Var(Y)

= a2Var(X) + b2Var(Y) + 2abCov(X, Y). (10)

 RemarkW = aX + bYの期待値・分散を公式としてまとめると

1. E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)講義ノート#12

2. Var(aX + bY) = a2Var(X) + b2Var(Y) + 2abCov(X, Y)←(8)式。

2 資産運用への応用:ポートフォリオ選択

2.1

ポートフォリオの選択問題

 ポートフォリオ:異なる複数の資産(投資対象)を組み合わせて形成される資産総額を、

portfolio)と呼ぶ。

例:1000万円を、定期預金200万円(20%、不動産700万円(70%、株100万円

10%)で持つ。三資産への配分の仕方はイロイロ。どんな配分がベストか?

ポートフォリオ選択: (経済学・統計学・経営工学の応用分野) の、基本的な問題。

 二資産のケース:簡単化のため、二つの資産AXAYでポートフォリオAWを作る問題を 考える。(A = asset)。

AXの保有比率をrAYの保有比率を(1 − r)と置く。各資産の収益率を確率変数(X, Y) で表せば、このポートフォリオのリターン(収益)は

W = rX + (1 − r)Y. (11)

資産保有者(個人or投資信託会社)が、比率rを自由に決める。

個別資産のリターンXYの期待値・分散・共分散を

µX = E(X), µY = E(Y), (12)

σ2X = Var(X), σ2Y = Var(Y), (13)

σXY = Cov(X, Y) (14)

と置く。(必ずしも正規分布ではないので、注意。)

 期待リターンとリスク:Wの期待値E(W)を期待リターン、分散Var(W)をリスクと呼ぶ。

Wの期待リターン:確率変数の和の期待値なので

µW = E(W) = rE(X) + (1 − r)E(Y) = . (15)

∴単に、二つの資産のリターンの加重平均。

(4)

Wのリスク:確率変数の和の分散(8)式より σ2W = Var(W) = Var [rX + (1 − r)Y]

= r2Var(X) + (1 − r)2Var(Y) + 2r(1 − r)Cov(X, Y)

= . (16)

∴資産同士の共分散σXY に依存。二つの資産のリスクの加重平均にはならない!

 Remark:期待リターンとリスクをまとめると

資産 AX AY ポートフォリオAWAX の比率r

リターン X Y W = rX + (1 − r)Y

期待リターン µX µY µW = rµX+ (1 − r)µY リスク σ2

X σ

2

Y σ

2 W = r

2σ2X+ (1 − r)2σ2Y+ 2r(1 − r)σXY

rを調整すれば、二つの資産AXAYからさまざまなポートフォリオを作れる。ど んなrが望ましいか?

 平均・分散基準:次の基準に基づくポートフォリオ選択を、 と呼ぶ。

保有比率rの異なる二つのポートフォリオAW(リターン= W)、AW(リターン= W

) について

1. σ2W = σ2Wで、µW > µWWを採用。 2. µW = µWで、σ2W < σ2WWを採用。

⊲ ファイナンス理論の創始者ハリー・マーコヴィッツ(ノーベル経済学賞受賞者、テキ ストp141)による、古典的な基準。

⊲ ミクロ経済学の期待効用理論(リスク回避行動と選好の分析)とも、密接な関係。 2.2

ポートフォリオリスクの最小化

 簡単化のため、µX = µY= µで、二つの資産に期待収益上の差が無いとする。

⊲ このとき期待リターンはµW = rµ + (1 − r)µ = µで、比率rに依存 r をいくら操作しても、リターンは改善しない。)

⊲ 資産保有者が考えるべきことどんなrに設定すれば、リスクσ2

Wを小さくできる

か?(平均・分散基準)

 リスク最小化の条件:ポートフォリオのリスクσ2

Wは、次の保有比率で最小化される。

r= = σ

2 Y− σXY

2X − σXY) + (σ2Y− σXY). (17)

これを (minimum variance portfolio)と呼ぶ。リスク最小化の「黄金律」。

⊲ ポートフォリオリスクを最小にするためには、個別資産のリスクσ2

Xσ 2

Yだけでな

く、資産同士の共分散σXY にも注意が必要。

(5)

⊲ 現実には、各資産のリターンのデータから分散と共分散s2

Xs2YsXY を求め、σ2X

σ2YσXY の推定値とする。

証明:σ2W = v(r)と置き、導関数を求めると

v(r) = 2rσ2x+ (−2 + 2r)σ2Y+ 2(1 − 2r)σXY

= 2r(σ2X+ σ2YXY) − 2(σ2Y− σXY). (18)

最小化の一階条件v(r) = 0を解けば

r2X+ σ2YXY) − (σ2Y− σXY) = 0 (17). (19)

 RemarkMVPの条件(17)式から分かること

仮にσ2X < σ2Yであっても、r = 1(総資産を全てAXで保有)は望ましくない。∴(17) 式は、いわゆる「 (diversified investment」の科学的根拠。

マーコヴィッツ曰く「卵を全て一つのバスケットに入れるのは危険である。」... リス ク管理の基礎。

⊲ 注意:本来は「一定の期待リターンを獲得する」という制約条件の下で、ポートフォ リオリスクの最小化問題を解く。

まとめと復習問題

今回のまとめ

 確率変数(X, Y)の共分散Cov(X, Y)と和の分散Var(aX + bY)

 応用:ポートフォリオ選択。分散投資。

復習問題

出席確認用紙に解答し(用紙裏面を用いても良い)、退出時に提出せよ。

1. 前回の復習問題で登場した、以下の同時分布Pr(X = x, Y = y) = h(x, y)を考える。 h(x, y) Y = 0 Y = 1 f (x)

X = 0 0.4 0.3 0.7 X = 1 0.2 0.1 0.3

g(y) 0.6 0.4

f (x)g(y)XYの周辺分布である。前回の計算結果より、E(X) = 0.3E(Y) = 0.4。 (a) 積の期待値E(XY)を求めよ。

(b) 共分散Cov(X, Y)を求めよ。(ヒント:共分散の別表現を使うと、計算がラク。)

2. ある一定額の予算を、期待リターンが同一の二つの投資プロジェクトAXAYに振り分け たい。AX の配分比率をrと置く。

(a) 各プロジェクトのリターンXYの分散がσ2

X = 10σ 2

Y = 6、共分散がσXY = 4であ

るとする。投資総額のリターンの分散Var(W)を、rの式で表現せよ。

(b) Var(W)を最小にする配分比率、r

はいくらか?

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