統計学 I (H25 前期 水曜 3限 & 5限） Toshihide Kitakado's Website Lec4 rev

統計学 ル

北門 利英 海洋生物資源学科

Lecture↑ブ

今日 容

基本事項

簡単 い

 ^{簡単 い}

 ^{確率変数 特性値 期待値 分散 標準偏差 )}

 ^{統計ソ Ｒ 使い方}

例題

 ^分散投資

 ^分散投資

 ^{周率 ン カ 推定}

確率変数 特性値

期待値 分散 標準偏差

期待値 分散 標準偏差

株

確率変数 特性値

銘柄

株価 ₁ 万 対 確率 _{0 5 500} 利益 確率 _{0 5 300}

株価 ₁ 万 対 確率 _{0.5 500} 利益 確率 _{0.5 300}

損失 生 こ 株 ₁₀ 万 分買 収益 期待値

いく ？

いく ？

10   ^× (0.5   ^× 500  _+ 0.5  ^× ( ‐300) )= 1000

銘柄

株価 ₁ 万 対 確率 _{0 3 6000} 利益 確率 _{0 7 2000}

株価 ₁ 万 対 確率 _{0.3 6000} 利益 確率 _{0.7 2000}

損失 生 こ 株 ₁₀ 万 分買 収益 期待

値 いく ？

10   ^× (0.3   ^× 6000  _+ 0.7  ^× ( ‐2000) )= 4000

株 数学的 表現

確率変数 特性値

銘柄 _{( 500) 0.5}

( 300) 0 5

P Y

P Y

 

( 300) 0.5

[ ] 500 ( 500) ( 300) ( 300) 100

A

A A A

P Y

E Y P Y P Y

  

        

[

] [10

] 10 [

] 1000

E T _ E _ Y _{ } E Y _

銘柄 _{( 6000) 0.3}

( 2000) 0.7

B B

P Y

P Y

 

  

( )

[ ] 6000 ( 6000) ( 2000) ( 2000) 400

[ ] [10 ] 10 [ ] 4000

B

B B B

E Y P Y P Y

E T E Y E Y

        

    

[

] [10

] 10 [

] 4000

E T _ E Y _ E Y _

[ _A ] [ _B ]

E T [ _A ] _ E T [ _B ]

証券 引 関 故事 _(I)

確率変数 特性値

虎穴 入(い) 虎児 得

故事こ わ 辞典

故事こ わ 辞典

虎 子 得 虎 住 ほ 穴 険

入 いこ 険 け 大

成功や功 得 い いうこ

成功や功 得 い いうこ

あ 程度 ク 冒 け 大 収益 得 い

あ 程度 スク 冒 け 大 収益 得 い

証券 引 関 故事 _(II)

確率変数 特性値

卵 一 カ 盛

野村証券証券用語解説集

野村証券証券用語解説集

卵 一 カ 盛 そ カ 落 場合

全部 卵 割 まう い 複数 カ

分け 卵 盛 け そ う カ 落

分け 卵 盛 け そ う 一 カ 落

カ 卵 割 駄目 他 カ

卵 影響 け いうこ

卵 影響 け いうこ

特定 商品 け 投資 く 複数 商品 投

特定 商品 け 投資 く 複数 商品 投

資 行い スク 分散 方 い いう教え

＝銘柄分散投資 資

株 対 分散投資

確率変数 特性値

( 10)

A A B B A B

T _{  A   } Y _{A  B} Y _B ( _{  A  B } )

こ

こ

期待値 ？

 ^{T 期待値 ？}

 ^{T 期待値 最大 分散投資 ？}

 ^{分散投資 スク う 測 ？}

確率変数 和 期待値

確率変数 特性値

一般

[ ] [ ]

E cY [ ] _ cE Y [ ]

E cY _ cE Y

[ ] [ ] [ ]

E Y _ Y _ E Y _ E Y

こ う 期待値 線形性 あ

[ _{A B} ] [ _A ] [ _B ]

E Y _ Y _ E Y _ E Y

う 期待値 線形性 あ

[ ] [

]

E T _ E _{   } Y _ Y _{E T [ ]}

[ ] [ ]

100 (10 ) 400

A

^{E Y}

^{E Y}

 

 

   



[ ]

100 (10 ) 400

4000 300

A A

A

 



    

  



株 対 分散投資

スク 測 方 確率変数 特性値

( 10)

A A B B A B

T _{    } Y _ Y _{   }

投資 期待値 最大

A 0

 

時 損失 確率 大 く

A

例え ₀

 A  ^{P T (} min   ²⁰⁰⁰⁰⁾  ^0.7

例え

分散投資 ク う 測 特徴 け ？

A 10

  ^{P T ( min   3000)  0.5}

分散投資 スク う 測 特徴 け ？

⇒変動 注目

⇒変動 注目

確率変数 変動 測 方

確率変数 変動 確率変数 特性値

銘柄

(

500) 0.5

P Y _{ }

[

] 100

E Y _

( )

( 300) 0.5

[ ] 100

A A A

P Y

E Y

  

 ^{‐300 0 500}

 

[

]

 ^{( 300) 100  } 

^{0.5 } _ ^{500 100 } _

^0.5

[

]

V Y _

160,000



銘柄

(

6000) 0.3

P Y _{ } ^{E Y [}

^{]  400}

( 2000) 0.7

[ ] 400

B B

P Y

E Y

  

 _{‐2000 ‐2000} 0 0 6000 6000

 ( 2000) 400 _{ } 

_{0.7  } 6000 400 _{ }

_0.3

[

]

V Y _

13 440 000

13,440,000



確率変数 変動 測 方

確率変数 変動 確率変数 特性値

銘柄

(

500) 0.5

P Y _{ }

[

] 100

E Y _

( )

( 300) 0.5

[ ] 100

A A A

P Y

E Y

  

 ^{‐300 0 500}

[

]

銘柄

(

6000) 0.3

P Y _{ } ^{E Y [}

^{]  400}

( 2000) 0.7

[ ] 400

B B

P Y

E Y

  

 _{‐2000 ‐2000} 0 0 6000 6000

確率変数 分散

分散 定義 確率変数 特性値

確率変数 Y

A

分散

 ^{( 300) 100} 

^{0 5} _ ^{500 100} _

^{0 5}

[ ]

V Y

分散(Variance) 定義

 ^{( 300) 100  }  ^{0.5 } _ ^{500 100 } _

^0.5

[

]

V Y _

分散(Variance) 定義

2 2

1 1 2 2

[ ] ( [ ]) ( ) ( [ ]) ( )

V Y _ y _ E Y _ P Y _ y _ y _ E Y _ P Y _ y _{ }

(

[ ])

(

)

i

y E Y P Y y

 _   

以下 期待値 定義 見比べ , 分散 散 期待値

あ こ 分

1 1 2 2

[ ] ( ) ( )

(

)

i

E Y _{ } y P Y _ y _{ } y P Y _ y _{   } y P Y _{ } y

あ こ 分

i

確率変数 標準偏差

分散 定義 確率変数 特性値

分散 定義

2 2

[ ] ( [ ]) ( ) ( [ ]) ( )

V Y

E Y

P Y

E Y

P Y

2

[ ] ( [ ]) ( ) ( [ ]) ( )

(

[ ]) (

)

V Y y E Y P Y y y E Y P Y y

y E Y P Y y

        

 _   



(

[ ]) (

)

i

y E Y P Y y



標準偏差(Standard Deviation) 定義

標準偏差(Standard↑Deviation) 定義

[ ] [ ]

SD Y _ V Y ^{(2乗和 平方根 元 数 単位 揃う)}

[ ] [ ] 400

SD Y [ ] V Y [ ] 400

[ ] [ ] 3,666

A A

B B

SD Y V Y

SD Y V Y

 

 

B B

確率変数 和 期待値

確率変数 特性値

一般

[ ] 2 [ ]

V Y [ ] ² V Y [ ]

V cY _ c V Y

[ ] [ ] [ ]

V Y _ Y _ V Y _ V Y ^{(Y Y 独立 )}

従

[ _{A B} ] [ _A ] [ _B ]

V Y _ Y _ V Y _ V Y ^(Y

Y

B

独立 )

2 2

[ ] [ ]

[ ] [ ]

A A B B

V T V Y Y

V Y V Y

 

   

2 2

2 2

[ ] [ ]

160000 (10 ) 13440000

A A B B

A A

V Y V Y

 

 

   

    

2 2

( )

[ ] [ ] 160000 (10 ) 13440000

A A

A A

SD T _ V T _{      }

株 対 分散投資

確率変数 特性値

( 10)

A A B B A B

T _{    } Y _ Y _{   }

 ^{虎穴 入(い) 虎児 得 スク 冒}

 ^{卵 一 カ 盛 うまく配分}

株 対 分散投資

確率変数 特性値

( 10)

A A B B A B

T _{    } Y _ Y _{   }

Ｒ 練習

• ^{皆 Ｚ ォ ダー 作成 く}

例え 統計学Ｉ

R ン ダ ク ク R 起動

• ^{R ン ダ ク ック R 起動}

• ^{ク 変更 参照 作業}

ォ ダ 統計学Ｉ 選択

ォ ダー 統計学Ｉ 選択

• ^{例え 次 計算 実行}

a↑<- 1

a

R 終了 保 選ぶ

• ^{R 終了 保 選ぶ}

Ｒ 練習

注：入力 べ 半角 ま 文 間違う ダ ！

• ^{終了 際 作業 保}

.Rdata いう 統計学Ｉ 保

• ^{次 .Rdata R 起動 過去}

セス 利用可能 矢 キー 過去 履歴

見 こ

Ｒ 練習

# ^{ベクトル 配列 扱い}

a  <‐ c(1,2,3,4,5)

a

# ^{繰 返し計算}

ss < _{‐ 0}

for(i in 1:10){

sum(a)

mean(a)

a+10

for(i in  _1:10){

ss <  _{‐ss + i}

}

a+10 ss

5*a

a^2

log(a)

ss

a< ‐ seq(1,10)

log(a)

a[3]

[ (1 2 3)]

a

sum(a)

a[c(1,2,3)]

a[ _‐c(2,4)]

b  <‐ seq(10,50,10)

a+b

a*b

b/a

Ｒ 練習

カ 法 計算

# ^{モンテカルロ法によ} _π ^計算

Nit  _{<‐ 100 Nit}  <‐ 1000

x  <‐ runif(Nit, 0, 1)

y  <‐ runif(Nit, 0, 1)

plot(x, y)

x  <‐ runif(Nit, 0, 1)

y  <‐ runif(Nit, 0, 1)

plot(x y)

plot(x,  _y)

curve(  sqrt(1‐x^2), xlim=c(0,1), add=T)

4*mean(x^2+y^2<1)

plot(x,  _y)

curve(  sqrt(1‐x^2), xlim=c(0,1), add=T)

4*mean(x^2+y^2<1)

Ｒ 練習 プ

#^{モンテカルロ法によ} _π ^計算(1)

#^{モンテカル 法によ} _π ^計算(1) win.graph()

par(mfrow=c(2,2))

Nit 50 if(Nit 0 1) if(Nit 0 1)

Nit <‐ 50; x <‐ runif(Nit, 0, 1); y <‐ runif(Nit, 0, 1) plot(x, y, main="Nit=50")

curve( sqrt(1‐x^2), xlim=c(0,1), add=T) 4*mean(x^2+y^2<1)( y )

Nit <‐ 200; x <‐ runif(Nit, 0, 1); y <‐ runif(Nit, 0, 1) plot(x, y, main="Nit=200")

( t(1 ^2) li (0 1) dd T)

curve( sqrt(1‐x^2), xlim=c(0,1), add=T) 4*mean(x^2+y^2<1)

Nit <‐ 1000; x <‐ runif(Nit, 0, 1); y <‐ runif(Nit, 0, 1)^{; ( , , ); y ( , , )} plot(x, y, main="Nit=1000")

curve( sqrt(1‐x^2), xlim=c(0,1), add=T) 4*mean(x^2+y^2<1)

pi.vec <‐ numeric(Nit)

for( i in 1:Nit){pi.vec[i] <‐ 4*mean(x[1:i]^2+y[1:i]^2 < 1)} plot( seq(1,Nit), pi.vec, type="l", ylim=c(0,4), 

p ( q( , ), p , yp , y ( , ),

xlab="# Iterations", ylab="Estimate of Pi" )        # "l"  ^{エル 小文字}

Ｒ 練習 6

#^{モンテカルロ法によ} _π ^計算(2)

#^{モンテカルロ法によ} _π ^計算(2) win.graph()

par(mfrow=c(2,2)) Nit <‐ 1000

Nr <‐ 1000

pi.mat <‐ array(NA, c(Nr,Nit)) for(h _in 1:Nr){

x <‐ runif(Nit, 0, 1) y <‐ runif(Nit, 0, 1)

for(i in 1:Nit){ pi.mat[h,i] <‐ 4*mean(x[1:i]^2+y[1:i]^2 < 1) } if(h==1) plot( seq(1,Nit), pi.mat[h,], type="l", col="gray", 

ylim=c(0,4), xlab="# Iterations", ylab="Estimate of Pi" ) if(h>1) points( seq(1 Nit) pi mat[h ] type="l" col="gray") if(h>1)  points( seq(1,Nit), pi.mat[h,], type= l , col= gray ) }

abline(pi, 0, col="red")

hist(pi.mat[,50], main="Nit=50", xlab="Estiamte of Pi", xlim=c(2,4), col="orange") hist(pi.mat[,20], main="Nit=200", xlab="Estiamte of Pi", xlim=c(2,4), col="orange") hist(pi.mat[,1000], main="Nit=1000", xlab="Estiamte of Pi", xlim=c(2,4), col="orange")

次回 _(5/15) 予定

基本事項

離散型分布

 ^{離散型分布}

 ^{2 項分布}

 ^{ポ ソン分布}

例題

 ^{視聴率調査}

 ^{視聴率調査}