第一回小テスト lecture Shinya Sugawara（菅原慎矢）

統計学 ^I 小テスト ¹

菅原慎矢

June 2

問題

解答が分数として得られた場合には、小数にする必要はないが、通分せよ。小数として 得られた場合には、分数にする必要はない。なお、途中式での加点は行われないため、 解答用紙には最終回答だけを記入すること。

1.

2_{変数標本 {(x1}, y₁), ..., (xn, yn)} について ¯x, S^xxを {x1^{, ..., xn}} の標本平均、標本分散,

¯

y, Syy_{を {y1}, ..., yn} の標本平均、標本分散とする。また、S^{xy, rxy}を {(x1^{, y}1^{), ..., (xn, yn})} の標本共分散, 相関係数とする。

ここで、

wi = 3xi+ 5 (1)

zi = 2yi+ 7 (2)

とする時、下記を ¯x, Sxx, ¯y, Syy, Sxy, rxyを用いて表せ 1. {w1^{, ..., wn}}, {z1^{, ..., zn}} の標本平均 ¯^{w, ¯z}

2. {w1^{, ..., wn}}, {z1^{, ..., zn}} の標本分散 S^{ww, Szz} 3. {(w1^{, z}1^{), ..., (wn, zn})} の標本共分散 S^wz 4. {(w1^{, z}1^{), ..., (wn, zn})} の相関係数 r^wz 2.

{x1^{, ..., xn}} について、標本平均 ¯x = 0 が得られているとする。ここで、w^{i = 3x2}i^+4xi+5

とする時、{w1^{, ..., wn}} の標本平均 ¯^{wを n, Sxxを用いて表せ}

階級 度数 5-15 5 15-25 15 25-35 15 35-45 10 45-55 5 Table 1: 度数分布表

4. Table 1は、50 人からなる会社の 1ヶ月の給与に関する度数分布表である。この時、 (1)メジアンはどの階級にあるか (2) 平均の近似値はいくらになるか

Answers

Scoring policy: Only the right answer should get scored. No bonus is added for inter- mediate calculation.

1.

1. (Score: 1 if both are right) ¯w = 3¯x + 5, ¯z = 2¯y + 7 2. (Score: 1 if both are right) Sww= 9Sxx, Szz = 4Syy

3. (Score: 1) Swz = 6Sxy

4. (Score: 1) rwz = rxy

2.

(Score: 2)

¯

w = ^{3(n − 1)}

n ^{Sxx+ 5 (3)}

3

1. (Score: 1) 11/26 (Note: 22/52 is not a right answer) 2. (Score: 1) 0.12 (or 3/25 )

4

1. (Score: 1) 25-35 2. (Score: 1) 29

参考 ^: 回答詳細

1. (1-1)

¯

w = ¹ n

n

∑

i₌₁

(3xi + 5) (4)

= 3⁽¹ n

n

∑

i₌₁

xi

)+ 5 (5)

= 3¯x + 5 (6)

同様に ¯z = 2¯y + 7 (1-2)

Sww = = ¹ n − 1

n

∑

i₌₁

[3xi+ 5 − (3¯x + 5)]^{2 (7)}

= ¹

n − 1

n

∑

i₌₁

[3(xi_{− ¯x)]}² (8)

= 9 ¹ n − 1

n

∑

i₌₁

(xi_{− ¯x)}² (9)

= 9Sxx (10)

同様に Szz = 4Syy

(1-3)

Swz = = ¹ n − 1

n

∑

i₌₁

[3xi+ 5 − (3¯x + 5)][2yⁱ+ 7 − (2¯y + 7)] ⁽¹¹⁾

= ¹

n − 1

n

∑

i₌₁

[3(xi_{− ¯x)][3(y}i_{− ¯y)]} (12)

= 6^{( 1} n − 1

n

∑

i₌₁

(xi_{− ¯x)(y}i_{− ¯y)}

) (13)

= 6Sxy (14)

(1-4)

rwz = = _√ ^Swz Sww

√Szz

(15)

= _√ ^6Sxy 9Sxx√4Syy

(16)

= _√ ^Sxy Sxx√Syy

(17)

= rxy (18)

2.

¯

x = 0より

¯ w = ³

n

n

∑

i₌₁

x²_i + 4¯x + 5 = ³ n

n

∑

i₌₁

x²_i + 5 (19)

ここで ¯x = 0 より、

Sxx = ¹ n − 1

n

∑

i₌₁

(xi_{− ¯x)}² (20)

= ¹

n − 1

n

∑

i₌₁

x²_i (21)

よって

1 n

n

∑

i₌₁

x²_i = ^{n − 1}

n ^{Sxx (22)}

これを (19) に代入し、

¯

w = ^{3(n − 1)}

n ^{Sxx+ 5 (23)}

(2点) 3.1

P (A) = 13/52, P (B) = 12/52, P (A ∩ B) = 3/52 (ハートの絵札), よって

P (A ∪ B) = 13/52 + 12/52 − 3/52 = 22/52 = 11/26 ⁽²⁴⁾ (1点)

3.2

1. メジアンは 25, 26 番目の値の平均であるが、これらが共に含まれる階級 25-35 が 求めるもの

2. (5 ∗ 10 + 20 ∗ 15 + 30 ∗ 15 + 40 ∗ 10 + 50 ∗ 5)/50 = 29