統計学
I
小テスト
1
菅原慎矢
June 2
問題
解答が分数として得られた場合には、小数にする必要はないが、通分せよ。小数として 得られた場合には、分数にする必要はない。なお、途中式での加点は行われないため、 解答用紙には最終回答だけを記入すること。
1.
2変数標本{(x1, y1), ...,(xn, yn)}についてx, Sxx¯ を{x1, ..., xn}の標本平均、標本分散,
¯
y, Syyを{y1, ..., yn}の標本平均、標本分散とする。また、Sxy, rxyを{(x1, y1), ...,(xn, yn)}
の標本共分散, 相関係数とする。
ここで、
wi = 3xi+ 5 (1)
zi = 2yi+ 7 (2)
とする時、下記をx, Sxx,¯ y, Syy, Sxy, rxy¯ を用いて表せ
1. {w1, ..., wn}, {z1, ..., zn}の標本平均w,¯ z¯ 2. {w1, ..., wn}, {z1, ..., zn}の標本分散Sww, Szz
3. {(w1, z1), ...,(wn, zn)}の標本共分散Swz
4. {(w1, z1), ...,(wn, zn)}の相関係数 rwz
2.
{x1, ..., xn}について、標本平均x¯= 0が得られているとする。ここで、wi = 3x2i+4xi+5
階級 度数
5-15 5 15-25 15 25-35 15 35-45 10 45-55 5
Table 1: 度数分布表
4. Table 1は、50人からなる会社の1ヶ月の給与に関する度数分布表である。この時、
Answers
Scoring policy: Only the right answer should get scored. No bonus is added for inter-mediate calculation.
1.
1. (Score: 1 if both are right) ¯w= 3¯x+ 5, ¯z = 2¯y+ 7
2. (Score: 1 if both are right) Sww= 9Sxx, Szz = 4Syy
3. (Score: 1) Swz = 6Sxy
4. (Score: 1) rwz =rxy
2.
(Score: 2)
¯
w= 3(n−1)
n Sxx+ 5 (3)
3
1. (Score: 1) 11/26 (Note: 22/52 is not a right answer)
2. (Score: 1) 0.12 (or 3/25 )
4
1. (Score: 1) 25-35
参考
:
回答詳細
1. (1-1)
¯
w = 1
n n
∑
i=1
(3xi + 5) (4)
= 3(1
n n
∑
i=1
xi)+ 5 (5)
= 3¯x+ 5 (6)
同様にz¯= 2¯y+ 7 (1-2)
Sww = = 1
n−1
n
∑
i=1
[3xi+ 5−(3¯x+ 5)]2 (7)
= 1
n−1
n
∑
i=1
[3(xi−x¯)]2 (8)
= 9 1
n−1
n
∑
i=1
(xi−x¯)2 (9)
= 9Sxx (10)
同様にSzz = 4Syy
(1-3)
Swz = = 1
n−1
n
∑
i=1
[3xi+ 5−(3¯x+ 5)][2yi+ 7−(2¯y+ 7)] (11)
= 1
n−1
n
∑
i=1
[3(xi−x¯)][3(yi−y¯)] (12)
= 6( 1
n−1
n
∑
i=1
(xi−x¯)(yi−y¯)) (13)
(1-4)
rwz = = √ Swz
Sww√Szz (15)
= √ 6Sxy 9Sxx√
4Syy (16)
= √ Sxy
Sxx√
Syy (17)
= rxy (18)
2. ¯
x= 0より
¯
w= 3
n n
∑
i=1
x2
i + 4¯x+ 5 =
3 n n ∑ i=1 x2
i + 5 (19)
ここでx¯= 0より、
Sxx = 1
n−1
n
∑
i=1
(xi−x¯)2 (20)
= 1
n−1
n
∑
i=1
x2
i (21)
よって
1 n n ∑ i=1 x2 i = n−1
n Sxx (22)
これを(19)に代入し、
¯
w= 3(n−1)
n Sxx+ 5 (23)
(2点) 3.1
P(A) = 13/52, P(B) = 12/52, P(A∩B) = 3/52 (ハートの絵札),よって
P(A∪B) = 13/52 + 12/52−3/52 = 22/52 = 11/26 (24)
1. メジアンは25, 26番目の値の平均であるが、これらが共に含まれる階級25-35が
求めるもの
