補足資料 計量経済学 鹿野研究室 suppl09

計量経済学 _#09 ：回帰係数の仮説検定・補足資料

担当：鹿野（大阪府立大学） 2013 年度後期

1 回帰モデルの母分散の不偏推定

古典的仮定_CR1∼CR4が成立するとき、回帰モデル

Y_{i = α + βXi+ ui} (1)

の母分散_{Var(ui) = E(u}²

i^{) = σ} 2

の不偏推定量は、

s²₌ ¹ n − 2

ˆu²_{i =}^(Yi−^Yˆi^{)2. (2)}

つまり

E(s²_{) = σ}². (3)

証明

定数項の_OLSは

α − α = −( ˆβ − β) ¯ˆ X + ¯u, ¯u =¹ n

u_i (4)

と書ける（宿題_#02参照）。また_OLS残差の定義および回帰モデル₍₁₎式によれば ˆui _{= Y}i−^Yˆi_{= α + βX}i_{+ u}i− ˆα − ˆβXⁱ

= −( ˆα − α) − ( ˆβ − β)Xi+ ui^{. (5)}

(4)^{を上式に代入すれば}

ˆui= ( ˆβ − β) ¯X − ¯u − ( ˆβ − β)Xⁱ+ ui

= −( ˆβ − β)(Xi−X) + (u^¯ i− ¯^{u). (6)} 上式を₂乗し、次いで期待値をとると

E(ˆu²_{i) = E}^( ˆ_{β − β)}²(Xi−^{X)¯ 2}− 2(β − β)(X^{ˆ i}−^X)(u¯ i− ¯u) + (uⁱ− ¯^u)2



= (Xi−^{X)¯ 2E}

( ˆ_{β − β)}^2



(a)

−2(Xi−^{X) E¯}

( ˆ_{β − β)(ui− ¯}u)^



(b)

+ E^(ui− ¯^u)2





(c)

. (7)

1

(a)^はβ^{ˆの分散そのものなので}

E^( ˆ_{β − β)}^2_{= Var( ˆβ) =} ^σ

2

S_XX^{. (8)}

また_(b)は_{β − β =}^ˆ _wiui、_E(u²

i^{) = σ} 2

、_{E(uiuj) = 0}なので E^( ˆ_{β − β)(ui− ¯}u)^_{= E}

ui

 wiui−

1 n

wiui

 ui

= E [ui(w1u1+ w2u2+ · · · + wnun^)]

− 1

n^{E [(w1u1+ w2u2}+ · · · + wnun)(u1+ u2+ · · · + un^)]

= w^iE(u2i) −¹ n

wiE(u²_i)

= wi^σ2− 1 n^σ

2^

w_i



=0

= wi^{σ2. (9)}

(c)^は、(b)の展開を一部利用すれば E^(ui− ¯^u)2



=

u²_{i −} ² n^ui

u_i+ ¹ n²

u_i ^u_i

= E(u²i) −² n^E(u

2 i) + ¹

n²

E(u²_i)

= σ²− 2 n^σ

2+ ¹ n^2nσ

2 =

n − 1 n



σ². (10)

w_{i =} ^X_S^i−X¯

XX

に注意し、まとめると

E(ˆu²_{i) = (X}i−^{X)¯ 2} σ² SXX ^{− 2(X}

i−^X)¯

(Xi−^X)¯ SXX

σ²₊

n − 1 n



σ²_{= −(Xi−}X)^{¯ 2 σ}

2

SXX ⁺

n − 1 n



σ² (11)

よって

E(s²_{) =} ¹ n − 2

ˆu²_i= ¹ n − 2

E(ˆu²_i)

= ¹

n − 2



−(Xi−^{X)¯ 2} σ² SXX ⁺

n − 1 n

 σ²

= ¹

n − 2

− σ² S_XX

(Xi−^{X)¯ 2}



=SXX

+

^_{n − 1} n





=n 個の (n − 1)/n

σ²

= ¹

n − 2



−σ²+ (n − 1)σ^2

= ¹

n − 2^{(n − 2)σ}

2= σ^{2. (12)}

2