漸近理論 経済統計 鹿野研究室

担当：鹿野（大阪府立大学）

2014 年度前期

はじめに

前回の復習

 漸近理論（_{n → ∞}）。

 大数の法則・中心極限定理。

今回学ぶこと

 統計量の漸近的な性質。

 非正規母集団の仮説検定。

 テキスト該当箇所：₈章、_11.3章、_12.4章。

1 ^{統計量の漸近的な性質}

1.1

漸近的に望ましい推定量

 小標本（有限のサンプル数_n）のもとで、良い推定量とは？（講義ノート_#19） 1. ^{不偏推定量：未知母数}θ^の推定量ˆθ^が、_{E(ˆθ) = θ}^。

2. 有効推定量：不偏推定量が複数存在_⇒分散_Var(ˆθ)が一番小さい不偏推定量。

 _Remark：分析するモデルによっては、不偏推定量が作れないことも。

⊲ 何を基準に推定量の性能を比較すれば良い？_⇒ （_{n → ∞}）による基準 作り。

⊲ 漸近的な性質：一致性、漸近正規性、漸近有効性。

1.2

一致性、漸近正規性、漸近有効性

 一致性：母数_θの推定量 _ˆθについて、

plim ˆθ = θ ⁽¹⁾

ならば、_ˆθを_θの と呼ぶ。

1

⊲ ^{一致性の望ましさ：}ˆθ^がθに確率収束（講義ノート_#25）。∴サンプル数_nが十分大き ければ、_θと_ˆθを区別しなくてよい。

⊲ 例：大数の法則（講義ノート_#25）より、無作為標本の平均_X¯ は

plim ¯_{X = µ.} (2)

∴ _X¯ は母平均_µの一致推定量。

 漸近正規性：一致推定量 _ˆθが、漸近的に

ˆθ_{∼ N}^{a }θ, σ²_ˆθ^ (3)

ならば、_ˆθを_θの と呼ぶ。ここで_σ²

ˆθ^{を、ˆθの と呼ぶ。}

⊲ 漸近正規性の望ましさ：_ˆθの分布が正規分布に分布収束（講義ノート_#25）。∴_nが十 分大きければ、

Z = ∼ N(0, 1)^{a (4)}

を_θの区間推定・仮説検定に使える。（後述。）

⊲ 例：中心極限定理（講義ノート_#25）より、無作為標本の平均_X¯を標準化した統計量 は、どんな母集団分布についても

Z = ^{X − µ¯} σ/^√n

∼ N(0, 1).a ⁽⁵⁾

∴ _X¯ は_µの漸近正規推定量。

 漸近有効性：漸近正規推定量の中で最小の漸近分散を持つものを、 と 呼ぶ。

⊲ 漸近有効性の望ましさ：漸近正規推定量で、最も精度の高い推定量。

⊲ ^{例：無作為標本の平均}X^{¯ は、}µの漸近有効推定量である。証明は中級以上の数理統 計学のテキスト参照。

 _Remark：推定量の性質（採用基準）をまとめると

小標本（_nは有限に固定） 漸近理論（_{n → ∞}）

不偏性：_{E(ˆθ) = θ ⇔} 一致性：plim ˆθ = θ

⇓^選抜

⇓^{選抜 漸近正規性：ˆθ}∼ N^{a θ, σ2}_ˆθ^

⇓^選抜

有効性：最小の分散 _⇔ 漸近有効性：最小の漸近分散

⊲ ^{漸近理論の一致性は、小標本における に対応する性質。最低限コレが必要。}

⊲ ^{小標本では、} の仮定から推定量の分布を導出。

⊲ いずれの場合も、推定量の分散が採用の決め手。

2 非正規母集団の仮説検定

2.1

^{ベルヌーイ母集団}

 ベルヌーイ母集団：ベルヌーイ分布（試行回数₁の二項分布、講義ノート_#09）からの標本

Xi∼ Bin(1, p) ⁽⁶⁾

を考える。母数は成功確率_p。

⊲ ^{確率関数は}

f (x) = p^x(1 − p)^1−x, x = 0, 1. ⁽⁷⁾

∴ベルヌーイ標本_{X1,X2, . . . ,Xn}は、_{0 or 1}の 。_{Xi= 0, 1}。

⊲ 母平均・母分散はベルヌーイ分布の性質より

E(X_{i) = µ =} , Var(X_{i) = σ}²₌ . (8)

∴標本平均_X¯ を求めれば、_pの不偏推定量・一致推定量となる。

 例：内閣支持率の世論調査。

⊲ ^{「支持しない」}_{→ Xi = 0}^{、「支持する」}_{→ Xi= 1}^{。ダミー変数。}

⊲ ^{未知の母数}pは、母集団での支持率。_{⇒ ¯X}で_pを推定。

 _Remark：_{Xi= 0, 1}に気を付けて、ベルヌーイ標本の平均をよく見ると_...

X =¯ ¹

n^{(X1+ X2+· · · + Xn) =} 1 n

後半に_{Xi= 1 をまとめる}

 (0 + 0 + · · · + 0 + 1 + 1 + · · · + 1

n1^個のXi= 1

) = ¹

n^{n1. (9)}

ここで_n1は_nのうち、_{Xi = 1}の個数。

⊲ ∴ベルヌーイ標本（ダミー変数）の平均は、「標本全体に占める 」

X = ˆp =¯ ⁽¹⁰⁾

に等しい。

⊲ 例：世論調査の標本で、_{X = ˆp =}¯ 「調査に答えた人のうち、内閣を支持する人の割 合」。（∴標本内での支持率。）

2.2

^{非正規母集団の}

 _Remark：成功確率_pは、標本平均_{X = ˆp}¯ で推定。_{⇒ p}の仮説検定はどうする？

⊲ ^{ベルヌーイ標本の}_{X = ˆp}^{¯ の期待値・分散は}

E( ˆp) = p, Var( ˆp) = ^{p(1 − p)}

n ^{. (11)}

⊲ ^しかし、ˆp^{を標準化して}Z^統計量

Z = _ ^{ˆp − p}

p(1 − p)/n ⁽¹²⁾

を作っても、_Zがどんな分布に従うか不明。∴_Zの臨界値が計算できない。_⇒仮説 検定ができない。

⊲ n^{が十分多いならば、} による近似を使えば良い！

 成功確率 _pの_Z検定：中心極限定理より、標本平均を標準化すると、どんな母集団でも

（ベルヌーイでも）

Z_{∼ N(0, 1).}^a (13)

∴標準正規分布の臨界値で ができる！_⇒具体的には 1. ^帰無仮説H0: p = p∗^のもとで

Z_{∗= } ^{ˆp − p∗}

p_{∗(1 − p∗})/n ^{or Z∗=}

ˆp − p∗

ˆp(1 − ˆp)/n ⁽¹⁴⁾

を計算。（分母は_p∗で求めても、_ˆpで求めても良い。）

2. ^{一方、標準正規分布}N(0, 1)^{の臨界値は、片側}5%^検定ならZ0.05= 1.645^{、 両側5%検}

定なら_{Z0.025 = 1.960}。（たいたい_t分布表の臨界値と同じ。）

3. Z_∗^{が臨界値を超えれば、}H0: p = p∗^を棄却。

 例：_{n = 400}人を対象に世論調査を行ったところ、内閣支持率_pの推定値は _{ˆp = 0.36}だった。

⊲ 一方、先月の同様の調査では_{p∗= 0.4}だった。内閣支持率は有意に変化したか？

⊲ H_{0: p = 0.4}^のもとでZ^{値はおよそ}

Z_{∗= √}^{0.36 − 0.4}

0.4 · 0.6/400 ⁼ > −1.645 > −1.960. ⁽¹⁵⁾

両側検定・左片側検定、ともに_{H0: p = 0.4}を 。∴支持率は、変化し ていない。

⊲ ^注意：「先月の支持率」も推定値なので、本当は二標本検定をするべき。

 _Remark：中心極限定理による近似で、非正規母集団の仮説検定もカンタン。

⊲ ^{例：ベルヌーイ母集団}X_i ∼ Bin(1, p)^{のp。上で説明した通り。95%信頼区間の計算} もできる。_⇒今回の復習問題参照。

⊲ ^{例：ポアソン母集団}Xi _{∼ Po(λ)}^のλ。E(Xi) = Var(Xi) = λ^なので

Z = _√^{ˆλ − λ} λ/n

∼ N(0, 1).a ⁽¹⁶⁾

コレを使って、_{H0 : λ = λ∗}の検定ができる。_⇒詳しくは宿題_#05で。

まとめと復習問題

今回のまとめ

 統計量の漸近的な性質：一致性、漸近正規性、漸近有効性。

 非正規母集団（ベルヌーイ、ポアソン）の仮説検定。

復習問題

出席確認用紙に解答し（用紙裏面を用いても良い）、退出時に提出せよ。

1. ベルヌーイ母集団の成功確率_pについて、_95%信頼区間を導出せよ。ただし次の近似

Z = ^{ˆp − p} ˆ σ/^√n

∼ N(0, 1),a σ =^{ˆ }ˆp(1 − ˆp) ⁽¹⁷⁾

を使うこと。（右端_2.5%臨界値は_{Z0.025 = 1.960}。）式の展開は省略し、下限と上限_{[L, U]} だけ答えれば良い。