講義ノート(法政2016年度) 福川賢治のホームページ

原子から物理まで _I レポート問題第一回 _{(4/28 ,} 福川 出題 ₎

注意事項

1. 紙の場合は、A4 で提出してください。電子機器で作成したものか、手書きかは問い ません。氏名と学籍番号を記入してください。授業中に提出できない場合は、メー ルでの提出でもかまいません。連絡先は[email protected] です。 (メールでの提出の場合、講義のレポートと分かるように件名を書いてください。) 2. 希望者にはレポートを返却します。解説後の授業後に来てください。

3. 計算問題は途中計算がある場合は、過程も含めて書いてください。単位がある量は 単位もつけてください。

4. 電卓は自由に使ってください。試験も電卓持ち込み可にする予定です。

提出締切 _{5/12 (} 木 ₎ 授業中の最初

要素還元主義と、全体論についてそれぞれ簡潔に（1,2 行程度で）説明しなさい。 II.（三角測量の原理 ）

下の図で線分 AD の長さ d を求めなさい。但し、∠B = 45^◦, ∠C = 60^◦, BC = 40 [m] とし、BC 上の点 D は ∠ADB = ∠ADC = 90^{◦ を満たす点} (AD は BC と垂直) とする。

III. (宇宙年齢の導出、指数を含んだ計算の練習) 次の文章を読み、以下の小問に答えなさい。

授業で取り扱った Hubble の法則は、地球から天体までの距離を D, 地球から天体が遠 ざかる速度 (後退速度) を v, Hubble 定数と呼ばれる比例定数を H0 ^として、

ア ₍₁₎ と書ける。A. 宇宙は初め極めて小さな領域に集まっており、その後爆発・膨張した。 B. 宇宙の膨張速度が常に一定であったとする と、宇宙が始まってから現在の年齢は イ と書ける。

H₀ の最新の観測値は観測の誤差を無視すると、 H₀ = 67.15 km/(s ·Mpc) である。こ こから宇宙年齢を求めると、 ウ 億年となる。実際には下線部_{B の仮定は成り立っ} ていないので、この議論はそのまま信用できないが、 ウ 億年は現代考えられている 宇宙年齢とほぼ同一である。

1. ア に入る等式と、 イ に入る数式を答えなさい。

2. 下線部 A の現象は何と呼ばれているか。カタカナ 5 文字で答えなさい。 3. ウ に入るべき整数を計算によって求めなさい。

但し、1 pc = 30.9 Pm = 3.09 ×10¹⁶ m とする。また、M (mega) は 10^{6 を表す}SI 接頭辞である。

(Hint. まず、H0 ^を 1/s の単位で表す。)

IV. (速度 (微分の基礎))

x 軸上を動くある物体の運動を観測したところ、x_{(t) = t}

2 [m] と表される運動を行って いることが分かった。

1. t = 2 [s], 2.01 [s], 2.05[s], 2.1[s], 2.2 [s], 2.5 [s], 3 [s] の時の物体の x 座標をそれぞれ 求めなさい。

2. 授業中話したように、t = a[s] から、t = b [s] までの物体の平均速度 v は v ₌ ^{位置の変化}

時間

= ^{x(b) − x(a)}

b − a ⁽²⁾

で与えられる。t= 2 [s] から、t = 2.01 [s], 2.05[s], 2.1[s], 2.2 [s], 2.5 [s], 3 [s] まで の物体の平均速度をそれぞれ求めなさい。

3. t = 2 [s] から t = 2 + ∆t [s] 秒までの物体の平均速度を求めなさい。 4. 授業中話したように、t = a [s] における瞬間速度 v(t = a) は

v(t = a) = lim

∆t→0

x(a + ∆t) − x(a)

∆t ^≡ dx

dt^{(t = a) (3)} で与えられる。3. の結果で ∆t → 0 の極限をとり、t = 2 [s] における物体の瞬間速 度 v(2) を求めなさい。

5. 一般の t について、 v(t) はどのような関数で与えられるか？

原子から宇宙まで I レポート問題第二回 (6/16 , 福川 出題 )

注意事項

1. 紙の場合は、A4 で提出してください。電子機器で作成したものか、手書きかは問い ません。氏名と学籍番号を記入してください。授業中に提出できない場合は、メー ルでの提出でもかまいません。連絡先は [email protected] です。講義 スライドは https://sites.google.com/site/kfukukawa00/hosei にあります。

(メールでの提出の場合、講義のレポートと分かるように件名を書いてください。) 2. レポートを返却します。解説後の授業後に来てください。

3. レポートはコピーを取っておくことを勧めます。

4. 計算問題は途中計算がある場合は、過程も含めて書いてください。単位がある量は 単位もつけてください。

5. 電卓は自由に使ってください。試験も電卓持ち込み可にする予定です。

提出締切 6/30 ( 木 ) 授業中の最初

I. (放物運動) (0.5 × 10 = 5 点)

平らな地面上に x 軸を、垂直方向上向き (鉛直上向きと呼ぶ) に y 軸を取り、x 軸と y 軸がなす平面上を動く質量 m の質点を考える。ある人が時刻 t = 0 で原点、つまり座 標 ア から速度ベクトル ^−→v = (10, 30) でこの質点を投げたとする。この時の単位は [m/s] とする。質点に働く力は、 イ のみであり、その方向は ウ である。 質点の運動方程式を x 軸方向と y 軸方向について書いてみると、それぞれ以下のように なる。ただし、重力加速度を g とし、x, y 軸方向の加速度をそれぞれ ax [m/s²], ay [m/s²] とする。

x _{軸方向: エ}

y _{軸方向: オ}

x 軸方向については力は働かないので、この場合の加速度は 0 である。このことは、 カ の法則としてガリレオ・ガリレイにより発見された。従って、一般の時刻 t で は質点の x 座標 x は キ と表される。

y 軸方向に対しては v-t グラフを書き、運動について考えた。簡単のため、重力加速度 を g = 10 m/s² として考え、時刻 t での 速度ベクトルの y 成分を vy(t) とする。v-t グラ フによると、質点は ク 秒後に vy(ク ) = 0 になり、最高点に到達する。その後、質点は 降下を続けていき、物体は ケ 秒後に地面に落下する。この時、質点の x 座標は コ [m] である。これが水平方向に進んだ距離である。

1. ア∼コ を埋め、文章を完成させなさい。アは点の座標、イ、ウ、カ は語句、ク、ケ、 コ は数値、エ、オ、キ は数式を答えなさい。

2. (ボーナス問題, +2 点)

余力があれば、1. と同じ設定で、投げた時の速度ベクトルを ⃗v = (vx0^{, v}y0)と一般 化し、速さ v = √vx0²+ vy0² が一定とした時、vx0 = vy0 の時、最も物体が遠くま で飛ぶことを示し、飛んだ距離の最大値 X^max を v と、重力加速度 g で表しなさ い。ただし、vx0 ^>0, vy0 ^>0 とする。

II. (ケプラーの法則) (2 点)

ケプラーの第 3 法則によると、天体の公転周期 T と 楕円軌道の長半径 a³ の間に T² = ka³ の関係が成り立つ。講義中に言及したように、時間の単位を年、a の単位を天 文単位として考えると、地球は太陽からほぼ 1 天文単位の距離の軌道上を 1 年かけて公 転すると考えてよいので、k = 1 としてよい。この k の値は中心にある天体 (この場合は 太陽) の質量による。

ハレー彗星は 約 75.3 年で太陽の周りを公転することが知られている。太陽に最も近づ く時 (その位置を近日点と呼ぶ)、太陽とハレー彗星の距離は約 0.59 天文単位である。太 陽から最も遠くなる時 (遠日点と呼ぶ)、太陽とハレー彗星の距離を求めなさい。ただし、 近似的に 4.222³ = 75.3としなさい。また、指数法則から (x^b)^c = (x^c)^b である。

(hint: 遠日点と近日点の距離は 2a になる。講義中に示した図を参照しなさい。)

III. (等速円運動・万有引力) (3 点)

月と地球の平均距離は R = 384400 km であり、月は周期約 27.3 日で地球の周りを公 転している。

1. 月は近似的に等速円運動をしているとし、月の加速度を m/s² で答えなさい。円周 率 π は近似的に π = 3.142 としなさい。

2. 月は地球の中心に向かって (より正確には月と地球の重心に向かって)、万有引力に よって引かれる。1．で求めた加速度から、地球の質量 me を求めなさい。ただし、 万有引力定数は G = 6.67 × 10⁻¹¹ [N·m²/kg²]とし、簡単のため、月と地球は球形で あるとしなさい。また、大きさのある物体の万有引力は、それぞれの中心に全質量 が集まったものとして求めてよい。

(hint: 月から地球の中心に向かう方向を x 軸にとり、月の運動方程式を書きなさい。) 3. 重力加速度は東京では g = 9.798 [m/s²] である。2. で求めた地球の質量を用いて、

地球の半径を求めなさい。

原子から宇宙まで _II レポート問題第 ₁ 回 _{(11/10 ,} 福川 出題 ₎

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1. 紙の場合は、A4 で提出してください。電子機器で作成したものか、手書きかは問い ません。氏名と学籍番号を記入してください。授業中に提出できない場合は、メー ルでの提出でもかまいません。連絡先は[email protected] です。過去 の講義スライドは https://sites.google.com/site/kfukukawa00/hosei にあります。 (メールでの提出の場合、講義のレポートと分かるように件名を書いてください。) 2. レポートを返却します。解説後の授業後に来てください。

3. レポートはコピーを取っておくことを勧めます。

4. 計算問題は途中計算がある場合は、過程も含めて書いてください。単位がある量に ついては単位もつけてください。

5. 電卓は自由に使ってください。試験も電卓持ち込み可にする予定です。

提出締切 _{11/24 (} 木 ₎ 授業中の最初

第一回目の授業(9/22) で物理学の階層性を象徴的な言葉として “Powers of 10” という 動画を紹介した。長さについては以下の表のようにまとめることができる。

単位_{[m] 10}

0 10⁷ 10¹¹ 10¹⁷ 10²¹ 10²⁶

    人の身長 地球 地球_{-太陽間距離} 近い恒星 銀河系 観測限界     ₁₀^−５ ₁₀⁻

8 10⁻¹⁰ 10⁻¹⁵ <10⁻¹⁸

赤血球等 ウイルス 原子半径 原子核半径 電子半径 表 _{1: 色々な距離}

この表に倣って、例えば重さや時間など、他の物理量で ”Powers of 10” を作ってみて ください。

II. (レンズの問題) ((1) 1 点、 他 2 点 = 7 点)

第四回 (10/13) の授業では、レンズについて取り扱った。レンズに関する以下の質問に 答えなさい。

(1) レンズの屈折率を n¹ = 1.5, 空気の屈折率を n² = 1 とする。

両凸レンズ (両方の面が凸であるレンズの) 2 つの球面の曲率半径を R¹ = 60 cm, R² =

30 cm とする。この時、レンズの焦点距離はいくらになるか計算しなさい。焦点距離 f についてのレンズ製作者の公式は

1 f ⁼

( n1

n2 ^{− 1}

) ( 1 R1

+ ¹ R2

) .

で与えられる。

(2) (1) で取り扱ったレンズの前方 50 cm に 長さ 2.0 cm の物体を光軸 (レンズの中心を 水平に通る軸) に垂直に置く。この時、光線が通る様子を 2 本以上作図し、像のできる位 置、種類および大きさを求めなさい。

(3) 焦点距離が 5.0 cm の凸レンズをつけたカメラがある。カメラでは、レンズと物体の 像を結ぶフィルムの間の距離を動かしてピントを合わせる。このカメラでは、_{30 cm から} 無限に遠い物体まで写すことができるという。レンズとフィルムの間の距離はどこからど こまで変えることができるだろうか？

(4) (ボーナス問題) 焦点距離 10 cm のレンズの前方 15 cm のところに、長さ 3.0 cm の 物体を置いて生じる虚像の位置を求めなさい。また、このレンズは凸レンズか凹レンズか 答えなさい。

原子から宇宙まで _II レポート問題第 ₂ 回 _{(12/8 ,} 福川 出題 ₎

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1. 紙の場合は、A4 で提出してください。電子機器で作成したものか、手書きかは問い ません。氏名と学籍番号を記入してください。授業中に提出できない場合は、メー ルでの提出でもかまいません。連絡先は[email protected] です。過去 の講義スライドは https://sites.google.com/site/kfukukawa00/hosei にあります。 (メールでの提出の場合、講義のレポートと分かるように件名を書いてください。) 2. レポートを返却します。解説後の授業後に来てください。

3. レポートはコピーを取っておくことを勧めます。

4. 計算問題は途中計算がある場合は、過程も含めて書いてください。単位がある量に ついては単位もつけてください。

5. 電卓は自由に使ってください。試験も電卓持ち込み可にする予定です。

提出締切 _{12/22 (} 木 ₎ 授業中の最初

(1-1) 第 5 回の授業 (10/20) では波の基本式 v = f λ について取り扱った。v は波が伝わ る速度 (専門的には位相速度と呼ばれる) である。その他の記号の意味を述べた上で、v がなぜこのように書けるのか、理由を述べなさい。

(1-2) 現在、光速 c はレーザー光のパラメータの高精度の測定により行われている。国 際度量衡委員会の Evenson 達は論文 Physical Review Letters 29, 1346 –1349 (1972) で f = 8.837618 × 10¹³ Hz, λ = 3.392231 µm の値を報告した。(1 µm = 10⁻⁶m である。ま た、8 桁電卓で計算できるよう値を丸めたが、実際には 9–10 桁値を測定している)。ここ から、光速 _{c を求めなさい。}

(2) 第 7 回の授業 (11/4) ではヤングの干渉実験を説明した。くっきりした光の干渉縞を 見るには, 白色光ではなく、単色光を使う方が良いとされる。その理由を説明しなさい。 (3) ドップラー効果の応用例を好きなだけ調べなさい。