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第13回

数列

本日 容

• ^{経済学的問題:談合 価値}

• ^数列

– ^等差数列 – ^等比数列

• ^{談合 価値}

– ^{割引現在価値}

前回 復習

問1：限界費用 均費用

– ^{限界費用：費用 数 微分}

�� = _{�� =}^�� �� − � + � +

= � − � + ��

– ^{均費用：費用 数 生産 割}

�� = ^�_{� =} � − � + � +

�

= � − � + + �

前回 復習

問2：需要 価格弾力性

– ^{弾力性： 1％変化 変化率}

変化率 変化率

=

y ^変化 変化前

変化 変化前

= Δ

前 Δ

– ^{需要＆数＇ 価格弾力性：価格 1％変化}前 ^{需要＆数＇} 変化率

Δ^数 数

前 Δ^価格 価格

前

前回 復習

• ^塩

– ^価格：200 →190 ^＆－10＇ – ^数：300袋→312^袋＆+12＇

塩 需要 価格弾力性 ₌

− ^{= ÷ − = × −}

= − × = − . > −

• ^牛乳

– ^価格：180 →190 ^＆+10＇ – ^数：300本→280^{本＆－20＇}

牛乳 需要 価格弾力性 ₌

− = − . < −

変化前 変化

前回 復習

• ^{特売 べ ＝}

– ^{需要 価格弾力性 価格 1％減}

需要 何％増え 表 い

– ^{塩 場合 需要 価格弾力性 －0.8}→^価格

1％ 売 0.8％

– ^{牛乳 場合 需要 価格弾力性 －1.2}→^価格 1_{％ 売} 1.2_％

– ^{牛乳 特売 方 良い}

前回 復習

問3：弾力性 一般的 表現

 ^{：2→3＆+1＇}

 ^{：20→25＆+5＇}

弾力性 _{= =}

経済学的問題：談合 価値 ＝

• ^{金沢星稜大学 数学教材 花田印刷 石 出版 2社} 独占的 売 い 両社 現在談合 価格 釣

10_{万 利益 い}

• ^{花田印刷 社長 計算 石 出版 緒 自}

社 教材 値 売 今 ほ 学

生 花田印刷 教材 買う ²⁰万 利益 分

• ^{一方 花田印刷 石 出版 同時 値 場合} 両者 教材 購入 学生 数 変わ 価格

利益 ⁵万 減 う

• ^{花田印刷 値 べ 談合 続 べ}

＝

経済学的問題：談合 価値 ＝

• ^{談合 続 べ 否 決 将来} 利益 考え 行動 ば い

– ^{今 利益 考え ば 石 印刷 出 抜い 値} 方 儲

– ^{そう 来 以降石 印刷 値}

考え 将来 儲 減 う

– ^{今 ふえ 利益 将来減 利益 比べ 大}

い 考え ば い

• ^{将来 利益 考え 際 今回 テーマ あ 数列} 知識 役 立

– ^{毎 利益 数字 列＆数列＇ え} – ^{そ 合計 計算}

数列

• ^{数 並 列 数列 いう}

– 1 3 5 7 9… – 1 2 4 8 16…

• ^{最初 数＆項＇ ＆ ＇ いう}

• ^{列 中 そ 以外 数 ＆ ＇ いう}

– ^{例 1 ＆ ＇ そ 以外 ＆ ＇}

• ^{以 数列} _� ^{番目 数＆項＇} _�

^表

– ^初項 _�

等差数列

• ^{差 一定 数 並 い 数列 等差数列}

いう

– 1 3 5 7 9… ^{各項 差 2 一定}→^等差数列

• ^{等差数列 数 数 差 ＆ ＇ いう}

– ^{例 ＆ ＇ 2}

• ^初項 _� ^{＆ ＇} _� ^時 _� ^{番目 数}

→�

= �

+ � = �

+ � + � = ⋯ = � +

� − �

– ^{初項 1 公差 2 等差数列 3番目 数 ＝}

等差数列

• � ^{項目 足 合計}

– � + � + ⋯ + �_�

– = � + � + � + � + � + ⋯ + �_�− + � – = � + � + � + � + � + � + ⋯ � +

� − �

– = �� + ^{� �− �}

等差数列

• � + + + ⋯ + � − ^個あ

• ^{そ 合計 ＝}

+ + + ⋯ + � − + � − + � −

– ^足 _� ^{ペア �− 個あ} →^{合計 � �−}

足 _�

や う！

• ^{初項2 公差3 等差数列}

– 5^{番目 数 ＝}

+ − × = – 5^{番目 足 合計 ?}

�� + ^{� � − �} = × + ^{× − ×} = + + + + =

等比数列

• ^{比 一定 数＆等倍さ い 数＇ 並 い}

数列 等比数列 いう

– 1 2 4 8 16… ^{各項 前 項 2倍 い}

→^{比 1：2 い} →^等比数列

• ^{前 数 次 数 比 ＆ ＇ いう}

– ^{例 ＆ ＇ 2}

• ^初項 _� ^{＆ ＇} _{� �} ^{番目 数}

→�

= �

× � = �

× � × � = �

×

等比数列

• � ^{項目 足 合計}

– ^合計 _�

� = ^� _{− �} ^{− �}

無限等比数列

• ^{等比数列 無限大 足 う ＝}

– ^公比 � > 1 → � ^{大 く 項} � �^�

大 く _{→ �} 無限大 近 く 項 無限大 近 く_→無限大 足 ば 無限大

• ^{初項 負 無限小}

– ^公比 _{� = → �} ^{番目 項 初項}→^{無限大 足}

いう 初項 無限 足 いく_→無限大＆初項

正 ＇ 無限小＆初項 負 ＇

– ^公比 � < − → � ^{偶数 正 奇数 負}

大 く いく_→無限大 足 無限大 無 限小 行 来

無限等比数列

• ^公比 − < � < → � ^{大 く} �

0 近 い いく 項 _{� �}

0 近 い

いく

– ^例＇ _{� = . � = . � = .}

� = . � = . � = .

• ^{無限大 足 あ 数 ＆ ＇}

– � ^{十分 大 く そ 以 いく 足}

0 _{足 同 合計 増え く}

• ^{無限大 足 場合 そ 合計}

無限等比数列

• ^{無限 足 等比数列 合計} _�

� = ^� _{− �}

や う！

• ^{初項10 公比0.9 等比数列 無限 足}

合計 ?

− . =

• ^{以 数列 無限 足 合計 ?}

, × . , × . , × . , ⋯ + × . + × . + ⋯

= + + × . + × . + ⋯ = +

= ^{部分 初項10 公比0.9 等比数列}

経済学的問題：談合 価値 ＝

• ^{数列 考え方 応用 花田印刷 談合 続 べ 否} 判断

– ^{談合 続 場合 利益 談合 破 場合 利益 数列 並} べ 合計 比較 ば い

– ^{今 利益 来 利益 同 考え い いう問題}

残

• ^{今 利益 銀行 預金 投資 今 1 増や}

• ^{来 利益 今 手 入 い い 預金や投資 増}

や い

• ^{同 10万 今 方 来 う 価値 あ}

– ^{点 考え 利益 評価 割引現在価値}

• ^{幣 測 将来 価値＆例えば N 後 Y ＇ 現在 価値} 相当 評価 値 経済事典＆第4版＇ 有斐

割引現在価値

• ^{例＇投資 1 間 10％ 利益 得}

– ^{今 10万 えば 投資 来 11万} い

– ^{来 10万 投資 増え い 10万}

– ^{今 10万 来 11万 同 価値 あ} – ^{逆 言う 来 11万 今 10万 分 価値}

い

– ^{将来 利益や損失 今 価値 割 戻 割} 引現在価値 いう

• ^{例 来 11万 割引現在価値 10万} →^来

価値 割引現在価値

割引現在価値

• ^{来 10万 今 9万 同 価値}

– ^{来 利益 0.9 今 価値}

– ^{再来 10万 今 価値 ＝}

• ^{再来 10万 来 9万 同 価値}

• ^{来 9万 今 8.1万 同 価値}

– _� ^先 _{� � × .} ^�

– ^{等比数列 同}

– ^{等比数列 応用 将来 利益 考え}

談合 価値

• ^{来 10万 今 9万 同 価値}

• ^{花田印刷 談合 続 場合}

– ^{毎 10万 利益 あ}

– ^{利益 足} + × . + × . + × . + ⋯ = _{− .9} = _. =

• ^{花田印刷 談合 破 場合}

– ^{今 20万 利益 あ} – ^{来 以降 利益 5万}

– ^{利益 足} + × . + × . + ⋯ = + + × . + × . + ⋯ = + _{− .9} = + =

• ^{談合 守 場合 利益100＜談合 破 場合 利益} 65_{→将来 考え 談合 守 ほう 良い}

談合 価値

• ^{目先 利益＆今 20万＇ 将来}

利益 犠牲＆10万 _→5 万 ＇

い

• ^{現実 談合 理屈 維持さ い}

• ^{談合 起 くく う い}

い ＝

– ^{例えば 2 後 金沢星稜大学 く い}

…