統計学 I 演習 , 第 6 週 : 確率 : 演習
菅原慎矢
May 26
演習問題
1.
サイコロを三回振ってでた目のうち、1 と 6 は 10 点, 2 と 5 は 5 点, 3 と 4 は 0 点とす る。3 回の合計点が 20 点となるような組み合わせの数は何通りあるか (国家公務員採用 I種試験より)
2.
確率の性質 P1,P2,P3 を用いて以下を証明せよ
• P (Ac) = 1 − P (A) 3.
壺に 4 個の青玉、2 個の赤玉が入っているとする
1. 6個の玉を取り出して並べたとき、赤玉が両端にくる確率を求めよ 2. 4個の玉を取り出して並べたとき、赤玉が両端にくる確率を求めよ 4.
学生 a が欠席する確率は 0.6, b が欠席する確率は 0.5 で、二人一緒に欠席する確率が 0.4であるとき、以下を求めよ
1. 少なくとも一人が欠席する確率
2. bが欠席しているとわかったとき、a が欠席している確率 3. bが出席しているとわかったとき、a が出席している確率
演習問題解答
1.
• 根源事象の総数は 6 × 6 × 6
1
• 20点になるのは (10, 10, 0), (10, 0, 10), (0, 10, 10), (10, 5, 5), (5, 10, 5), (5, 5, 10) の 6 通りであり、それぞれに対応する目は 2 × 2 × 2 = 8 通り, よって対応する事象の総 数は 48 個
• 48/63 = 2/9 2-1.
今 S = A ∪ Ac, A ∩ Ac = φ. よって
1 = P (S) (1)
= P (A ∪ Ac) (2)
= P (A) + P (Ac) (これは P3 より) (3) 従って
P (Ac) = 1 − P (A) (4) 3-1.
• 根本事象の総数は6P6 = 6!
• 赤玉について、両端にくるケースは、赤玉 1 が先に来るものと赤玉 2 が先に来るも のの 2 通り
• 青玉について、赤玉が両端に来た上での順列の総数は、4P4 = 4!
• 求める確率は 2 × 4!/6! = 2/30 = 1/15 3-2.
• 根本事象の総数は6P4 = 6 × 5 × 4 × 3
• 組み合わせ: 4 つの中に赤玉二つを取る組み合わせは4C2 = 6
• これらのうち赤玉が両端にくるケースは 2 通り
• これらのうち青玉を並べる順列は2P2 = 2
• 求める確率は 6 × 2 × 2/(6 × 5 × 4 × 3) = 1/15
追記: 上記は教科書 p.144, 例題 5.1(3) であり、解答も教科書に準拠しているのですが、 授業後に学生から下記のコメントが出されました
上記のうち これらのうち青玉を並べる順列は2P2 = 2の部分は、「青球 4 つから 2 つをとり並べる順列4P2 = 6」または「青球 4 つから 2 つをとりだす組み合わせ4C2 に、並べた 2 つの青球を並べる順列2P2をかけて4C2×2 P2 = 6」であるべきでは ないか
私も検討しましたが、このコメントが正しく、教科書の解答はおそらく誤答であると 思われます。コメントありがとうございます。
4
学生 a,b が欠席するという事象をそれぞれ A,B とすると、与えられた条件は P (A) = 0.6, P (B) = 0.5, P (A ∩ B) = 0.4
2
1. 少なくとも一人が欠席するという事象は A ∪ B であり、P3 より
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = 0.5 + 0.6 − 0.4 = 0.7 (5) 2. 該当する事象は A|B であり、条件付き確率の定義より
P (A|B) = P (A ∩ B)/P (B) = 4/5 (6) 3. 該当する事象は Ac|Bcであり、条件付き確率の定義より
P (Ac|Bc) = P (Ac∩ Bc)/P (Bc) (7) ここで P3 より、
P (Ac∩ Bc) = P (Ac) + P (Bc) − P (Ac∪ Bc) (8) 今 Ac∪ Bcは、a か b のどちらかは出席するという事象であり、どちらも欠席する という事象 A ∩ B の補集合となっている。よって
P (Ac∪ Bc) = 1 − P (A ∩ B) = 0.6 (9) 前の等式に代入し、P (Ac∩ Bc) = 0.4 + 0.5 − 0.6 = 0.3,さらに上の等式に代入し、 P (Ac|Bc) = 0.3/0.5 = 3/5
3
