第6回演習問題 lecture Shinya Sugawara(菅原慎矢)

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全文

(1)

統計学

I

演習

,

6

:

確率

:

演習

菅原慎矢

May 26

演習問題

1.

サイコロを三回振ってでた目のうち、1と6は10点, 2と5は5点, 3と4は0点とす る。3回の合計点が20点となるような組み合わせの数は何通りあるか(国家公務員採用 I種試験より)

2.

確率の性質P1,P2,P3を用いて以下を証明せよ

• P(Ac

) = 1−P(A)

3.

壺に4個の青玉、2個の赤玉が入っているとする

1. 6個の玉を取り出して並べたとき、赤玉が両端にくる確率を求めよ

2. 4個の玉を取り出して並べたとき、赤玉が両端にくる確率を求めよ 4.

学生aが欠席する確率は0.6, bが欠席する確率は0.5で、二人一緒に欠席する確率が

0.4であるとき、以下を求めよ

1. 少なくとも一人が欠席する確率

2. bが欠席しているとわかったとき、aが欠席している確率

3. bが出席しているとわかったとき、aが出席している確率

演習問題解答

1.

• 根源事象の総数は6×6×6

(2)

• 20点になるのは(10,10,0), (10,0,10),(0,10,10),(10,5,5),(5,10,5),(5,5,10)の6

通りであり、それぞれに対応する目は2×2×2 = 8通り,よって対応する事象の総 数は48個

• 48/63

= 2/9

2-1.

今S =A∪Ac

, A∩Ac

=φ. よって

1 = P(S) (1)

= P(A∪Ac

) (2)

= P(A) +P(Ac

) (これはP3より) (3)

従って

P(Ac

) = 1−P(A) (4)

3-1.

• 根本事象の総数は6P6 = 6!

• 赤玉について、両端にくるケースは、赤玉1が先に来るものと赤玉2が先に来るも のの2通り

• 青玉について、赤玉が両端に来た上での順列の総数は、4P4 = 4! • 求める確率は2×4!/6! = 2/30 = 1/15

3-2.

• 根本事象の総数は6P4 = 6×5×4×3

• 組み合わせ: 4つの中に赤玉二つを取る組み合わせは4C2 = 6 • これらのうち赤玉が両端にくるケースは2通り

• これらのうち青玉を並べる順列は2P2 = 2 • 求める確率は6×2×2/(6×5×4×3) = 1/15

追記: 上記は教科書p.144,例題5.1(3)であり、解答も教科書に準拠しているのですが、 授業後に学生から下記のコメントが出されました

上記のうち これらのうち青玉を並べる順列は2P2 = 2の部分は、「青球4つから2

つをとり並べる順列4P2 = 6」または「青球4つから2つをとりだす組み合わせ4C2

に、並べた2つの青球を並べる順列2P2をかけて4C2×2 P2 = 6」であるべきでは

ないか

私も検討しましたが、このコメントが正しく、教科書の解答はおそらく誤答であると 思われます。コメントありがとうございます。

4

学生a,bが欠席するという事象をそれぞれA,Bとすると、与えられた条件はP(A) = 0.6,

P(B) = 0.5,P(A∩B) = 0.4

(3)

1. 少なくとも一人が欠席するという事象はA∪Bであり、P3より

P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B) = 0.5 + 0.6−0.4 = 0.7 (5)

2. 該当する事象はA|Bであり、条件付き確率の定義より

P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = 4/5 (6)

3. 該当する事象はAc

|Bc

であり、条件付き確率の定義より

P(Ac

|Bc

) =P(Ac

∩Bc

)/P(Bc

) (7)

ここでP3より、

P(Ac

∩Bc

) =P(Ac

) +P(Bc

)−P(Ac

∪Bc

) (8)

今Ac

∪Bc

は、aかbのどちらかは出席するという事象であり、どちらも欠席する という事象A∩Bの補集合となっている。よって

P(Ac

∪Bc

) = 1−P(A∩B) = 0.6 (9)

前の等式に代入し、P(Ac

∩Bc

) = 0.4 + 0.5−0.6 = 0.3,さらに上の等式に代入し、

P(Ac

|Bc

) = 0.3/0.5 = 3/5

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参照

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