第3回小テスト lecture Shinya Sugawara(菅原慎矢)

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

全文

(1)

統計学

I

演習

,

小テスト

3

菅原慎矢

July 7

注意

• 解答用紙には最終解答だけを記入すること。途中式での加点は行われない

• 問題用紙・計算用紙の持ち帰りを許可する

• 解答用紙は返却しないので、問題用紙に自分の解答を記載しておくことを推奨する

• 解答が小数として得られた場合には、分数にする必要はない。

演習問題

1

標本平均

1

{X1, ..., XnX} を母分布N(µX, σX2) からの大きさnX の無作為標本と,{Y1, ..., YnY}を母

分布N(µY, σY2) からの大きさnY の無作為標本とする。さらに、X,¯ Y¯ を{X1, ..., XnX},

{Y1, ..., Yn

Y}の標本平均としたとき、E( ¯XY¯) =αとする。またZX = ( ¯X−µX)/

√ σ2

X/nX,

ZY = ( ¯Y −µY)/

√ σ2

Y/nY と定義する。

1. E( ¯X+ ¯Y)を上記で定義した定数によって表記せよ(1点)

2. Cov( ¯X,Y¯),V( ¯X+ ¯Y)を上記で定義した定数によって表記せよ(1点) 3. ZXの従う分布を求めよ (1点)

4. Z2

Xの従う分布を求めよ (1点)

2

標本平均

2

母集団N(10,9)から大きさ25の無作為標本を取った時、以下の問いに答えよ 5. 標本平均X¯ の従う分布を求めよ (1)

(2)

3

標本分散

1

母分布をN(0,2)とする大きさn = 21の無作為標本{X1, ..., X21}を考える。X, S¯ 2を標

本平均, 標本分散を求めた。χ2, t分布表は後半に添付している。

7. P(S2 1)の最大値と最小値の近似値を求めよ。回答の記法としては、最小値がa,

最大値がbの時、a≤P(S2 1)bとせよ (1): ヒント: N(µ, σ2)からの大きさn

無作為標本{X1, ..., Xn}について,U = (n−1)S2/σ2の分布を授業で示した。

8. P(1≤S2 3)の最大値と最小値の近似値を求めよ。回答の記法としては、最小値

がa,最大値がbの時、a≤P(1≤S2 3)bとせよ (1)

9. T = ¯X/√S2/21とする時、P(|T| ≥q) = 0.2となるqの近似値を求めよ (1)

Solutions and scores

1. µX +µY, (Score: 1)

2. Cov( ¯X,Y¯) =α−µXµY, V( ¯X+ ¯Y) =σX2/nX +σY2/nY + 2α−2µXµY

3. N(0,1): (平均0,分散1の正規分布でもOK), (Score: 1) 4. χ2(1): (自由度1のカイ二乗分布でもOK) (Score: 1)

5. ¯X∼N(10,9/25): (平均10,分散9/25の正規分布でもOK), (Score: 1) 6. 0.0062 (Score: 2)

7. 0.950≤P(S2 1)0.975: (Score: 1)

8. 0.850≤P(1≤S2 3)0.925: (Score: 1)

9. 1.33 (Score: 1)

回答詳細

1.

E( ¯X+ ¯Y) =µX +µY (1)

今Cov(X,Y)̸= 0だが、和の平均に関する上記の式はこのような条件と関係なく成立す ることに注意

2.

(3)

5. ¯X ∼N(µ, σ2/n) =N(10,9/25)

6. Z = ( ¯X−10)/√

9/25 = 5( ¯X−10)/3とすると、Z ∼N(0,1). 従って

P( ¯X ≥11.5) = P(5( ¯X−10)

3 ≥

5(11.5−10) 3

)

(4)

= P(Z ≥2.5) (5) = 1−P(Z ≤2.5) (6) = 1−0.9938 = 0.0062 (7) 7.

U = 20S2/2 = 10S2とすると、U χ2(20). 従って

P(S2 1) = P(U

10 ≥1

)

(8)

= P(U ≥10) (9) 分布表より

0.950≤P(U ≥10) ≤0.975 (10) 注意: 回答は 0.950 ≤ P(S2 1) 0.975の形で表記して欲しかったが、演習問題で

Uの不等式で回答していたので、0.950 ≤P(U ≥ 10) ≤ 0.975も正解とする。また、最 大値は0.975,最小値は0.950という答え方でも正解とする。(次の問題でも同様の答えを 正解とする)

とはいえ答え方を指示してるので、本当は0.950 ≤ P(S2 1) 0.975としないと駄

目ですよ。 8.

P(1≤S2 3) = P(S2 1)P(S2 3) (11)

= P(U ≥10)−P(U ≥30) (12) 分布表より

0.050≤P(U ≥30) ≤0.100 (13) 従って

P(U ≥10)−P(U ≥30) ≥ 0.950−0.100 = 0.850 (14)

P(U ≥10)−P(U ≥30) ≤ 0.975−0.050 = 0.925 (15)

⇒0.850 ≤ P(1≤S2 3)0.925 (16)

(4)

今T ∼t(20)なので、密度関数が0で左右対称であることから

(5)
(6)
(7)

Updating...

参照

Updating...

関連した話題 :