重回帰分析 計量経済学 鹿野研究室 note12

担当：鹿野（大阪府立大学）

2013 年度後期

はじめに

前回の復習

 重回帰モデルと_OLS推定。

 重回帰版_OLS推定量の性質（単回帰とほぼ同じ）。

今回学ぶこと

 重回帰分析を行う意義。

 非実験データにおける重回帰分析の役割。

 テキスト該当箇所 ：_4.2、_4.5章。講義ノート_#01の前半も参照。

1 なぜ重回帰分析か？

1.1 単回帰と重回帰：OLS 推定結果の違い

 重回帰OLSの特徴：分析に使う説明変数の組み合わせにより、同一説明変数に関するOLS の推定結果が（大幅に）変わる。

⊲ 簡単化のため、 説明変数が_{K = 2}個の重回帰モデルを考える。

Yi= α + β1X_{1i+ β}2X_{2i+ u}i. (1)

⊲ ^このときX_i^の係数β1^のOLS^{は（講義ノート}#11^、β2^{は省略）、}

βˆ1= ^{S22S1Y− S12S2Y} S11S22− S12S12

. (2)

⊲ ^一方、Yi^{を に回帰した単回帰}OLS^をβ^{ˆ′と置けば、} βˆ^′₌ ^{(X1i− ¯X1)(Yi− ¯Y)}

(X_{1i− ¯}X₁)^{2 =} S_1Y S11

 ˆ_{β1. (3)}

 もし説明変数同士の偏差積和が_{S12=(X1i− ¯X1)(X2i− ¯X2) = 0}ならば、 βˆ1₌

S22S_{1Y− 0} S₁₁S_{22− 0} ⁼

S_1Y S₁₁ ^{= ˆβ}

′_{. (4)}

1

⊲ ^一方、X_1i^とX_2iの標本共分散の定義より

偏差積和_{S12= 0 ⇔} 共分散_s12= 1

n − 2^{S12 = 0. (5)}

⊲ ∴ ^（s12= 0^{）ならば、単回帰のOLSと重回帰のOLSは一致。}

⇒重回帰をする意味がなくなる。

 _Remark： 一般に重回帰_βˆ₁と単回帰_βˆ′の推定結果は、 異なる。

. (6)

⊲ ∴ OLS^{の推定結果は、}「相方」の変数に依存する。

⊲ X1i^とX2iが無相関なら、両者は等しい。

S12= s12 = 0 ⇒ ^{. (7)}

...この状況は、実証分析ではまずありえない。 偶然・例外的なケース。

⊲ ^単回帰OLS^と重回帰OLSは、それぞれ何を推定している ？_⇒計量経済学のメイン テーマ、「因果性の統計的推測」 と密接に関係

 例：₂₀₁₀年に東京・世田谷で取引された₁₉₄件の中古マンションの「価格（万円）」を、₃ つの説明変数、₍₁₎「最寄駅からの所要時間」、₍₂₎「築年数」、₍₃₎「フロア面積」に重回帰。

モデル₁ モデル₂ モデル₃ 係数 _t値 係数 _t値 係数 _t値

定数項 _{3092.68 10.47 4325.66 13.08 1496.51 9.88}

最寄駅時間（分） _{74.56 2.65 66.25 2.58 -32.68 -3.20} 築年数（年） _{-77.30 -6.40 -58.45 -12.61}

面積（_m²） _{64.18 33.58}

修正済み決定係数_R¯² _{0.03 0.20 0.88}

サンプル数_{n 194 194 194}

変数の数_{K 1 2 3}

⊲ その他の説明変数に何を使ったに応じて、「最寄駅時間」 の係数が変化。_⇒「面積」 を説明変数に加えると、 符号が逆転。

⊲ 「面積」を含めないモデル₁、モデル₂の分析結果に基づくと、「駅から遠ざかるほ ど、マンション価格が （！？）」_... 非常にオカシナ予測に。

1.2 偏回帰係数

 偏微分のおさらい：重回帰モデル₍₁₎式の回帰係数_β1は、何を測っているのか？_⇒(1)式 の期待値をとれば、 古典的仮定の_CR1、_CR2より

E(Yi) = α + β1X_{1i+ β}2X_2i. (8)

⊲ Xi2^{を全員共通の適当な すれば}

E(Yi) = α + β1X_{1i+ β}2X₂^∗. (9)

⊲ ^{上式は形式上、}1^変数X_1i^の関数。X_1i^{で微分すると}

∂E(Yi)^∗

∂X_1i ^{= β1. (10)}

... ^{コレは の操作手順。}

 _Remark：重回帰モデルの係数は、 、当該

変数の_Yiへの影響を図る。

βˆj= ^∂E(Yi)

∗

∂X1i

,



X_{i j}以外の変数を定数に固定

j = 1, 2, . . . , K. ⁽¹¹⁾

⊲ いわゆる偏微分の解釈と同じ。∴重回帰の回帰係数を、 と呼ぶ。

⊲ OLS^推定β^ˆj^により、βjの最小分散の不偏推定量が得られる（重回帰版ガウス・マル

コフの定理、講義ノート_#11）。_{E( ˆβj) = βj}。

⊲ 説明変数の組み合わせにより、さまざまな偏回帰係数があり得る。（マンション価格 の分析例参照。）

1.3 除外変数バイアス

 それでは、「他の変数が 」とはどういう状況？_⇒ここで、この場限りの仮定 X_{2i= γ0+ γ1}X_{1i+ vi}, E(vi) = 0 ⁽¹²⁾ を置く。∴_X2iと_X1iの依存関係をモデル化した線形回帰。_X2iが、_X1iと_viに依存してバ ラつく。

⊲ γ0^、γ1^{はある種の回帰係数。}vi^{は確率的な誤差項。}

⊲ ^注意：vi^{が確率変数}→^{上式よりX}2i^{は確率変数。}⇒^{古典的仮定CR1に反する！}

 _X2iを固定せず、₍₁₂₎式に従って変動するとするならば、₍₁₎式に代入することにより Y_{i= α + β}1X_{1i+ β}2(γ0_{+ γ}1X_{1i+ vi) + ui}

= α + β^2γ0



=α^′

+ (β¹+ β^2γ1)



=β^′

X_{1i+ β}2vi_{+ u}i



=u^′_i

= ^{. (13)}

⊲ ^コレは、Y_i^を したモデルに他ならない。_{⇒ β}^′の_OLS、_βˆ^′は₍₃₎ 式参照。

⊲ ˆβ^′はβ^′の不偏推定量なので、 期待値を取れば（_β^′の定義に注意）、

E( ˆβ^′_{) = β}^′ _{= β}1+ β2γ1 . (14)

∴単回帰の_βˆ^′は、「偏回帰係数_β1ではない別の何か」 を見事に不偏推定している。

 除外変数バイアス ：分析者の目的が偏回帰係数_β1の推定であるときに、 適切な説明変数 X_2i^を除いてOLS推定したことで生じるバイアス

Bias = E( ˆβ^′) − β¹ = ⁽¹⁵⁾

を、 と呼ぶ。バイアス（_bias）＝偏向、偏り。

⊲ ˆβ^{′は、偏回帰係数}β1^{（ ）に加え間接効果}β2γ1^{（ ）ま}

で拾ってしまう！

⊲ ∴ ˆβ^′は、系統的に偏回帰係数_β1を過大評価・過小評価。ターゲット_β1からズレた推

定値をはじき出しやすい。_⇒素直に重回帰_OLSをすべき。

 _Remark：「除外変数バイアスの回避」 こそが、わざわざ重回帰分析をすることの目的。

⊲ ^{バイアスの方向性は、}β2^{（ ）と}γ1^{（ ）の符号で決まる。ま}

とめると

β2< 0 β2 > 0 γ1< 0 Bias> 0 Bias< 0 γ1> 0 Bias< 0 Bias> 0

2 非実験データにおける重回帰分析の役割

2.1 実験データによる回帰分析

 _Remark：重回帰モデル₍₁₎式の推定に当たり、 次の状況下では、_Yiを_X1iだけに単回帰 してもバイアスは発生しない。

⊲ ^ケース1^{： 。そもそも}X_2i^がY_iに影響しない。このとき

E( ˆβ^′_{) = β}1_{+ 0 · γ}1₌ . (16)

⊲ ^ケース2^{： 。}X_2i^が、X_1iとは独立に決まっている。 このとき

E( ˆβ^′_{) = β}1_{+ β}2_{· 0 =} . (17)

⊲ ^{どんなとき、ケース}2^のγ1= 0^となる？⇒^{分析者が、X}1i^とX2i^{が独立になるように}

X_1i^{を与えればよい。}

 無作為化実験 ：分析者が、_{γ1 = 0}となるように_X1iの値をランダムに観測個体 （被験者） に割り振る実験を、 と呼ぶ。

⊲ コンピュータの乱数などでランダムに _X1iの値（例えば薬品の投与量） を決める。

⇒ X1i^とX2i（例えば年齢）が独立。_{γ1= 0}。この_X1iは、個体_iが持つあらゆる属性 と独立。

⊲ ∴無作為化実験が可能なら、単回帰でいつでも「_{X1i → Yi}」の純粋な が 推定できる。_→あとは有意性の検定をするだけ。

⊲ ^{講義ノート}#01で「実験データなら、 分析が比較的簡単」 と述べた理由が、 コレ。

2.2 非実験データ：コントロール変数の重要性

 非実験データ：経済学などの実験が難しい分野（社会科学）では、 を使 わざるを得ない。

⊲ 例：社会調査（アンケート）や店舗の売上データ、財務データ、市場取引データなど。

⊲ ^{観測対象の自由な の結果や、市場の を記録した数字。 分} 析者の介入がない、 ありのままの記録。

⊲ 非実験データでは、分析者が_X1iの値をランダムに決められない。∴一般に説明変数

（個人属性）同士が相関。_{⇒ γ1}₀。

⊲ ∴^重回帰OLS^で、「他の条件を一定とした」 偏回帰係数を推定すべき。

 コントロール変数 ：重回帰モデル

Yi = α + β1X_{1i+ β}2X_2i+ · · · + βKXKi+ ui ⁽¹⁸⁾

で、分析者は_X1iの偏回帰係数_β1（_{X1i → Yi}）に興味があるとする。∴ _X1iはこの回帰分 析の「 」。

⊲ β1^は「X_2i, . . . , XKi^{を一定としたとき、}X_1i^{の変化が平均的な}Yi^{に与える影響」。}

⊲ ^ここでX_2i, . . . , XKi^{を、 と呼ぶ。}

⊲ ^{コントロール変数}X_2i, . . . , XKi^{は分析の上で「 」だが、}β1^{に「他の条件を一}

定_∼」という意味を持たせる上で非常に重要。

 _Remark：非実験データの分析で、「_X1iだけにしか興味が無いから、他の変数は使わず単

回帰分析する」 という考えは、 。

⊲ むしろ、重回帰分析で他の変数の影響をコントロールするべき。

⊲ 係数の統計的有意性も大切だが、「どのような変数をコントロールしたか」 も重要。 分析の評価を左右する。

 例：マンション価格の分析例で、「面積」をコントロールしないと、「最寄駅からの時間」 の係数が正で有意に。

⊲ 分析の素人は、次のような（一見もっともらしい） 結論を下しかねない。「世田谷な どの高級住宅街のマンションの購買層は、より閑静な場所を居住地に求める。従っ て駅から遠いほど価格にプレミアがつく。」

⊲ 正解：駅から近いほどマンションの面積が なる傾向がある。一方、狭いほ どマンション価格は落ちる。∴「最寄駅からの時間」の係数は、「マンションの広さ」 が「価格」に与える影響を拾っているだけ。_⇒実際、「マンションの広さ（面積）」 をコントロールすると、「最寄駅からの時間」 の係数が負で有意になる。

2.3 重回帰分析の限界

 重回帰分析（コントロール変数アプローチ）の限界：データとして 変数 しか、重回帰でコントロールできない。

⊲ ^{一方、データとして} 変数も全てコントロールしないと、 実験デー タと同じ意味での 「因果関係」は立証（推定_→有意性検定）できない。

 例：妊婦の喫煙_X1iが、生まれる子どもの体重_Yi（低体重児）に与える影響の推定。

⊲ 実証上の問題 ：タバコという側面を 「抜き」 にしても、喫煙者と非喫煙者はあらゆ る面で異なる。

∗ 妊婦の学歴や年齢、所得水準などは _⇒重回帰でコントロール可能。

∗ 「子どもの健康への選好」、「リスク全般に対する態度」、「子を想う母性・愛情」 などは _⇒コントロール不可能。

⊲ ^{本当にタバコのせい？}「母親がタバコを吸と低体重児が生まれるんじゃなくて、単に 子どもの健康に無頓着だからタバコも吸うし、 そんな親から生まれる子どもだから 低体重児なんじゃないの ？」_...重回帰分析では反論できない。

⊲ ^{実験で喫煙量}X_1iを妊婦にランダムに与えてみる ？_⇒もってのほか。

 非実験データによる変数間の （causal inference）をめぐる議論は、 計量経済 学の近年の潮流を理解する上で重要。

⊲ 未解決の問題の多い、 先端的なトピックの一つ。 しかし同時に、 経済学実証の古典 的問題（需要曲線・供給曲線の推定）とも密接に関係。

⊲ 回帰分析の考え方自体を、再構築する必要。_⇒古典的回帰モデルからの脱却。この 講義の終盤で、 再考する。

まとめと復習問題

今回のまとめ

 重回帰モデルの回帰係数の意味 （偏回帰係数）と、除外変数バイアス。

 非実験データにおける重回帰分析 ：コントロール変数の重要性。

復習問題

出席確認用紙に解答し （用紙裏面を用いても良い）、 退出時に提出せよ。

1. ^{重回帰モデル}Y_{i = α + β1}X_{1i+ β2}X_{2i+ ui}, E(ui) = 0^{の回帰係数β}1^{は、どんな意味がある}

か？（何を測っているか ？）簡潔に述べよ。

2. ^{上のモデルからから}X_2i^を除いてOLS^{推定すると、}β1の推定に関してどんな問題が生じ るか？簡潔に述べよ。