解答 経済統計 鹿野研究室 ha05a

経済統計・宿題 _#05 （解答）

担当：鹿野（大阪府立大学）

提出期限： 2014 年 08 月 01 日（金）pm 17:45、１階事務室前の提出 Box

解答

1. 以下、係数推定値下のカッコ内の数字は、有意性検定の_t値である。

(a) ^{北海道内の}_{n = 89}公立病院のコブ・ダグラス型生産関数。患者数対数値（_qi)を、総 従業員対数値（_li）と稼働ベッド数対数値（_ki)に回帰。

^qi = 0.44

(2.78)^{+ 0.72}(10.82)^{ℓi+ 0.18}(2.54)^ki

, _{n = 89,} R^¯2_{= 0.95.} (1)

(b) 2014^年FIFA^{ワールドカップの}GL^{における、}_{n = 32}チームの勝ち点と開催地（ブラ

ジル）までの距離の関係。勝ち点（_pointi)を、距離（_disti）とポッド（_podi）に回帰。 dist_i^{だけに単回帰}: point^_{i = 6.96}

(6.82)^{− 0.35}(−3.00)^{disti, n = 32, R}

2 = 0.23, ⁽²⁾ disti^とpodi^に重回帰: point^_i = 9.22

(9.23)^{− 0.16}_(−1.55)^{disti− 1.49}_(−4.06)^{podi, n = 32,}

R¯²= 0.48. (3) 2. (a) ^{独立な標本の標本平均}X^¯ の期待値・分散は一般に_{E( ¯X) = µ}、_{Var( ¯X) =} ^σ

2

n ^{。ポアソン}

母集団ならば_{µ = λ}、_σ² _{= λ}なので、

E( ˆλ) = E( ¯X) = λ, Var( ˆλ) = Var( ¯X) = ^λ

n^{. (4)}

(b) ˆλ = ¯^Xを標準化すると、中心極限定理より

Z = _√^{ˆλ − λ}

λ/n ^{∼ N(0, 1). (5)}

解説

1. データ分析を行ったら必ず、必要な数値を式や表にまとめること。問題_1-(b)のように、 いくつかの回帰分析の結果をまとめる場合は、次のような表が便利。

モデル₁ モデル₂ 推定値 _t値 推定値 _t値 勝ち点（_{pointi) 6.96 6.82 9.22 9.23} 距離（_disti） _{-0.35 -3.00 -0.16 -1.55}

ポッド（_podi） _{-1.49 -4.06}

決定係数 _{0.23 0.48}

サンプル数 _{32 32}

1

(a) 単回帰と重回帰で、同じ説明変数の係数推定値や_t値が大幅に変わることがある。こ の例では、_podiを加えると、_distiが統計的に有意でなくなる。

(b) ^{コブ・ダグラス型生産関数}_{Q = AL}^β1K^β2は、対数変換により次のように線形化できる。 log Q = log^ALβ1Kβ2= log(A) + log(L^β1) + log(K^β2) = log(A) + β1log(L) + β2^log(K).

(6) ここで_{qi= log Qi}、_{α = log A}、_{ℓi = log Li}、_{ki= log Ki}と置き、誤差項_uiを加えれば 次の重回帰モデルを得る。

q_{i = α + β1}ℓ_{i+ β2}k_{i+ ui}. (7) 2. ポアソン分布の分布関数 _{f (x) =} ^e

−λ_λ^x

x! ^{の対数をとると}

log f (x) = −λ + x log(λ) − log(x!). ⁽⁸⁾

よって対数尤度関数（講義ノート_#27）は

log L(λ) =^{ }−λ + log(λ)Xi− log(Ci^!)= −nλ + log(λ)

X_{i− c, c =}^log(X_i!). (9)

上式を_λで微分しゼロと置けば、最大化の一階条件、そして最尤推定量を得る。 d log L(λ)

dλ ^{= −n +} 1 λ

Xi = 0. ⇒ ^{ˆλ = 1}_n

Xi = ¯^{X. (10)}

λの最尤推定量は、標本平均であることがわかる。（余力のある方は、フィッシャーの情報 量から _ˆλの漸近分布の分散を求めてみて下さい。）

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