Sintesi Sistemi Lineari
Rango (o caratteristica) di una matrice A:
si dice che la matrice A ha caratteristica r se la matrice A possiede un minore non nullo di ordine r e se sono nulli i minori di ordine r+1 ottenuti orlando il minore con una qualsiasi riga e una qualsiasi colonna di A.
Teorema di Rouchè-Capelli: un sistema di m equazioni lineari in n incognite ammette soluzioni una o infinite se e solo se la caratteristica della matrice incompleta è uguale alla caratteristica della matrice completa
A matrice incompleta= matrice dei coefficienti delle incognite
A’ matrice completa= matrice incompleta + la colonna dei termini noti
Se m=n e det(A) 0 il sistema si risolve con il metodo di Cramer
z z y y x x
, dove
è il determinante calcolato dalla matrice dei coefficienti delle incognite, xè il determinante della matrice dei coefficienti delle incognite a cui è stata sostituita la prima colonna con la colonna dei termini noti, analogamente per….
Se m=n e det(A)=0 e se la caratteristica(A)= caratteristica (A’)=r ci sono
r n
soluzioni (n=numero incognite, r= caratteristica)
Se m=n e det(A)=0 e se la caratteristica(A) caratteristica (A’) non esistono soluzioni.
Se n (numero incognite)>m (numero equazioni) la soluzione non può essere unica, o è o è nessuna
Se n (numero incognite)<m (numero equazioni) la soluzione, se la caratteristica(A)= caratteristica (A’)=r, basta togliere l’equazione in più.
