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第 ₁₀ 回

検定①

本日 容

• ^検定

– ^{帰無仮説 対立仮説}

– ^{検定 基本}

– ^棄却域

– ^{両側検定 片側検定}

– P ^－値

– ^過誤

• ^{第 1 種 過誤}

• ^{第 2 種 過誤}

前回 復習

＆ア＇ 石川：

9 ≈ . ^、東京： ≈ .

＆イ＇ 標準誤差：

標本分散

�−

� − �

− ⁼

. × .

− ^{≈ .}

. × .

− ^{≈ .}

前回 復習

＆ ＇＆ ＇ 信頼区間： 均 前後 標準誤

差×標準正規分布表 求 数

区間

• ^{例えば、石川 95 ％信頼区間 場合、}

– ^{標準正規分布表 0.975 1.96}

– ^{標準誤差 0.02}

– ^{、 均＆ 0.13 ＇ 前後} _{. × . ≈ .}

区間 _0.09 、 _0.17

前回 復習

東京

0.06 標準誤差＆_0.01＇ 1.96^倍_→^約0.02

0.04 0.08

石川

0.13 標準誤差＆_0.02＇ 1.96^倍_→^約0.04

0.09 ^0.17

東京 均 95％ 確 率 範

石川 均 95％ 確率 範

、東京 均 ₉₅％ 確率 _0.08以 石川 均 ₉₅％ 確率 _0.09以

• ^{中間アンケ 満足度}

– ^{満足； 4 、 あ あ満足； 3 、 不満； 2 、不満}

； ₁ 、

– ^{均： 3.29 、分散： 0.42 、観測数： 49}

– ^{、 均 90 ％信頼区間}

標準誤差 _:

. ≈ .

– 90% ^{信頼区間：} _{. − . × . , . +}

. × . ^{→3.14 ～ 3.44}

検定

• ^{推定 、未知 数 得}

• ^{得 数 推定値 妥当性 検討 必要 あ}

– ^{推定 、 集団 一部 取 出 標本 利用 行う}

– ^{大数 法則 中心極限定理 、標本 十分 大 ば、}

理論的 数 正 推定

– ^{、標本 取 方 、実際 得 推定 結果}

変わ 、真 数 可能性 あ

– ^{例＇硬貨投 い 、一般的 表 裏 出 確率 半分}

• ^{、実際 硬貨 投 場合、 う 半分 回数表 出} 限 い

– ^{そ 程度大 い 、許容 検討}

検定

帰無仮説 対立仮説

• ^{検定 行う前 、仮説 立 必要 あ}

– ^{調べ い数値 ＆ ＇}(null hypothesis) ^いう

• ^{例＇硬貨投 、表 出 確率＆ 均＇ 0.5 あ}

• ^{例＇男女比率＆ 均＇ 0.6 あ}

– ^{帰無仮説 、} � ^{いう記号 用い 、次 う 表さ}

� :^{調べ い 数} = ^数値

• ^{例＇硬貨投 、 表 出 確率}� 0.5 ^{あ いう帰無仮説 、}

� : � = .

– ^{帰無仮説 正 い、 いう仮説 ＆ ＇}(alternative hypothesis) ^いう

• ^{例＇硬貨投 表 出 確率 0.5 い}

• ^{例＇男女比率 0.6 い}

– ^{対立仮説 、} _�� ^{いう記号 用い 、帰無仮説 否定 表さ}

�_�:^{調べ い 数} ≠ ^数値

• ^{例＇硬貨投 、帰無仮説} � : � = . ^{、対立仮説}

�_�: � ≠ .

帰無仮説 対立仮説

• ^{検定 、帰無仮説 対立仮説 正 い}

＆確率 高い＇ 確認 作業

– ^{さ 言えば、 帰無仮説 正 い 確認}

作業

– ^{、帰無仮説 正 い 確認}

場合、そ 検定 意味 有 いう

– ^{帰無仮説 正 い＆帰無仮説 正 い可能性}

一定以 い＇ いう結論 得 場合、 帰無仮

説 棄却さ 検定 有意 あ いう

– ^{帰無仮説 正 い可能性 一定以 あ 場合 、}

帰無仮説 棄却さ い 検定 有意 い

いう

例

• ^{子供 帰宅時間 い 考え}

– ^{帰宅時刻 、授業 何時間目 あ 、習い い 、等} 異

– ^{ぴ 同 時間 帰 ＆例えば、午後7時 う 帰}

＇ 稀

– ^{、 い い同 う 時間＆午後6時30分 7時30分、 ＇} 考え

– ^{最近、子供 帰宅時刻 早い 、 塾 さ い} い _? い 疑惑 生

– ^{そ 、仮説検定}

– ^{塾 行 場合、帰 標準的 時刻 午後7時} – ^{あ 程度 期間 取 、 均帰宅時刻 取}

– ^{そ 均帰宅時刻 対 、}

� : ^{均帰宅時刻} = ^時

�_�: ^{均帰宅時刻} ≠ ^時

検定 基本

• ^{検定 基本 、＆帰無＇仮説 値 得}

値 差 0 否

– ^{仮説 値 値 差 0 あ ば、仮説 正}

い 考え

– ^{仮説 値 値 差 0 あ ば、仮説}

誤 い 可能性 あ ＆少 、 一致

い＇

• ^{例えば、標本 均} _� ^{、仮説 均}

時 、

� − =

成 立 い う 検証

検定 基本

• ^{計算 、 う 0 少 い}

– ^{例＇硬貨投 、投 回数 う 半分 表}

少 い

– ^{、通常 差 あ}

• ^{注目 、そ 差 大 い 小さい}

– ^{差 小さ ば、誤差 範 考え 無視}

– ^{差 大 ば、誤差 範 考え 何 原因}

仮説 間違 い 考え う 自然

• ^{何 基準 大 い 小さい 考え ?}

– ^{分析対象 、引 算 場合 絶対値 異}

• ^{そ 、＆ ＇ 利用}

検定 基本

• ^{中心極限定理 、標本 十分 大 ば、標本 均 分布}

正規分布

– ^{均 分布 正規分布 、 均 分布 正規分布} – ^{標準誤差＆}_��^{＇ 用い 基準化 ば、標準正規分布}

� = ^{� −}_��

�� = ^標本分散 観測数

– _{� 0} ^{近い う 判断 ば い}

– ^{そ 数 ＆偶然＇起 確率 、標準正規分布表 見 ば計算} – ^{、標準正規分布表 使う場合} _� ^{、t-分布表 使う場合} _� ^い

う記号 用い 多い＆前回講義参照＇

イ

• ^{差 絶対的 大 さ 、元 数 大 さ}

変わ

– ^{例＇硬貨投 ば、差 一番大 1}

– ^{例＇日経 均 13000 、 い 分析 場合 、}

1000 ^{単 起 不思議 い}

• ^{標準誤差 大 さ 、 数 大 さ}

変わ

• ^{、 標準誤差何個分 いう単 ＆} _� ^{＇ 用い}

、元 数 大 さ 左右さ 離 い

距離 測

– ^{標準誤差 割} → ^{基準化さ 、元 数 大 さ}

均 ₀ 、分散 ₁ 正規分布 い

イ

• ^{帰宅時間 考え}

– ^{性格 子供 、寄 道 い 家 帰}

場合 、帰宅時刻 狭い範 入

– ^{性格 子供 、面白い あ 寄 道}

う 場合 、帰宅時刻 ば あ 、範 広い

– ^{場合、 子供 帰宅時刻 標誤差差 小さ 、}

性格 子供 帰宅時刻 標準誤差 大 い いう

– ^{仮 、同 20 分帰宅時刻 、 子供}

割 あ 、 子供 何 あ い

不安

– ^{、普段 帰宅時刻 ば ＆標準誤差＇ 比べ 、 20}

分 いう数 大 い 小さい 考え い 差

あ

棄却域

• ^{大 さ 基準化 ば、標準正規分布表 、 そ}

大 い あ 確率 知

– ^例＇ _{� =} ^{場合、標準正規分布表 見 約0.84}→1 ^右 確率 約_0.16→ イ 方向 同 大 さあ 、₁ 大 い 確率 _0.32→ 、₁ 大 い 約₃₂％ 確率 起 – ^例＇ _{� =} ^{場合、標準正規分布表 約0.98}→2 ^{右 確}

率 約_0.02→ イ 方向 同 大 さあ 、₂ 大 い 確率 _0.02→ 、₂ 大 い 約₄％ 確率 起

• ^{逆 言う 、あ 基準 確率＆十分 小さい 考え 確}

率＇ 決 ば、標準正規分布表 基準 _� 値 知

• ^そ _� ^{大 い ば、確率的 起 い 起}

い 、仮説 誤 い 判断さ _→ そ 範

いう＆仮説

さ

領域＇

両側検定 片側検定

• ^{通常、仮説 正負 い ＆大 、小さ}

＇ わ い

– ^{例＇硬貨 歪 い 、表 出 確率 0.5 い 、表 出}

い 裏 出 い わ い

– ^{そ う 場合 、棄却域 正負両側 ＆ ＇ 行う}

• ^{場合 、仮説 い 方向 特定 場合 あ}

早い う 検証 ば い

– ^{そ う 場合 、棄却域 い 方向 ＆ ＇} 行う

• ^{両者 違い 、対立仮説 設定 仕方 違い}

両側検定 対立仮説 _{⇒ ��:}調べ い 数 _≠ 数値 片側検定 対立仮説 _{⇒ ��:}調べ い 数 _{> <} 数値

P- ^値

• ^{検定 手順 、}

1. ^{帰無仮説 設定}

2. ^{対立仮説 設定＆ 設定 、両側検定 片側検定 決}

＇

3. ^{起 い 考え 確率 大 さ＆有意水準＇ 決} 4. ^{標準正規分布表 、そ 確率 満 領域＆棄却域＇ 探}

5. _� 計算 、棄却域 入 い う 判定

• ^{入 い} →^{帰無仮説 棄却さ}

• ^{入 い い}→^{帰無仮説 棄却さ い}

• ^{、標準正規分布表 、} _� ^{値 計算 ば、そ 起}

確率 逆算

• � ^{値 計算 、そ 外側 入 確率}

^いう

• ^{手順 3 確率 決 、} � ^{計算 、標準正規分}

布表 _P- 値 計算 、有意水準 議論 場合 多い

検定 手順

中心極限定理 、帰無仮説 均 標準正規分布 従う 対立仮説 決 ＆両側検定 片側検定 決 ＇

有意水準 決

帰無仮説 数値 決

→

有意水準 棄却域 決

� ^{計算 、棄却域}

入 う 調べ

例

• ^{中間アンケ 結果 い}

• ^{帰無仮説： 均；3.3}

– ^{対立仮説： 均：3.3＆片側検定＇}

– ^{先 数 使 計算 、}

� = ^{� −}_{�� =} ^{. − .}_. = .

– ^{片側検定 有意水準10％ 標準正規分布表 1.28}→^棄却 い

– ^{片側検定 0.11 P－値 表 0.5438}→^{約46％ 確率 均3.3} あ わ _3.29以 いう結果 生 う

• ^{帰無仮説： 均；3}

– ^{対立仮説： 均}≠3^{＆両側検定＇} – ^{同様 計算}

� = ^{. −}_. = .

– ^{両側検定 有意水準1％ 標準正規分布表 2.57}→^棄却

う！

• H ^{ゼ R 西高校出身者 割合 い 分析}

• ^{過去 2 間 H ゼ 在籍 学生 76 人、う R 西高校}

出身者 ₉ 人 あ 、 _R 西高校出身者 割合

≈ .

• ^{標準誤差 約 0.04 あ}

• – R ^{西高校出身者 割合 10 ％ あ いう帰無仮説 検定}

さい

– R ^{西高校出身者 割合 5% あ いう帰無仮説 検定}

さい

う！

• ^{R西高校出身者 割合 10% あ}

– ^{対立仮説 割合}≠10^％ – ^{検定統計量 計算 、}

� = ^{. − .}

. ^{≈ .}

– ^{正規分布表 、0.5 数値 0.64}→P-^{値 0.72}→10%^{水準 棄却 い}→^有意

差 い

– ^{、本当 10% 、何 12% 十分 あ う}

• ^{R西高校出身者 割合 5% あ}

– ^{対立仮説 割合}≠5%

– ^{検定統計量 計算 、}

� = ^{. − .}_. ≈ .

– ^{正規分布表 、1.75 数値 0.96}→P-^{値 0.08}→10%^{水準 棄却} →^有意 差 あ

– ^{、本当 5% 、何 12% 可能性 10%以 、}

5% ^{大 い 考え 自然}

う いい話

• ^{以 結果 、 H ゼ R 西高校出身者}

割合 、 _5% 以 あ 考え

• 90% ^{信頼区間 計算 、約 5.9% ～約 18.7%}

• ^{星稜大学 経済学部 学生数 学 約 420 人 、}

90% ^確率 25 ^{人以 学生 入 い}

• ^{実際 、 10 人～ 15 人程度 あ}

• ^{発生 い 理 、所属ゼ 学生 ラ}

ン い 考え

– ^{、所属 い R 西高校出身者 示 合わ 所}

属 い う 見え い 、 う バイア

い わ い

過誤

• ^{検定 あ 確率的 考え 仮説 正 い 否}

判断 い

– ^{仮説 値 値 比べ、 偶然 そ う 差 生}

確率 計算 、判断 い

– ^{、確率 0 い限 起 あ 、}

判断 間違え 可能性 常 在

– ^{例＇サ イプライ イク ア}

• ^{判断 誤 、 2 イプ 分類}

– ^{仮説 正 い わ 、正 い 判断 棄却}

う誤 ＆第一種 過誤＇

– ^{仮説 正 い わ 、正 い 判断 棄却}

う誤 ＆第 種 過誤＇

過誤

仮説 本当 正誤

正 い 誤

検定 結果

正 い ○ 第 種 過誤

誤 第一種 過誤 ○

第一種 過誤

• ^{棄却域 面積 、第一種 過誤 大 さ}

– ^{例えば、有意水準 5 ％ 検定 結果、仮説}

棄却さ

– ^{判断 、 5 ％ いう い確率 起 い}

→ ^{そ 珍 い 起 考え 、仮}

説 間違 い 考え 方 自然 いう根拠

基

– ^{逆 言う 、 5 ％ 確率 起 、 5 ％ 確率}

判断 間違え い

第 種 過誤

• ^{帰無仮説 誤 い わ 、正}

い 判断 う 第 種 過誤

– ^{第 種 過誤 確率 、真 値 分布 、仮説}

分布 重 、棄却域 真 値 分布

近い部分

真 分布 仮説 分布

有意 水準 側 あ ば、

仮説 正 い 判断

判断 確率

大 さ

過誤 関係

• ^{明 う 、 過誤 関係}

オ あ

– ^{第一種 過誤 小さ 、棄却域 小さ}

＆前 ライ 、有意水準 右側 動 ば

い＇

– ^{そう 、第 種 過誤 範 広 う}

– ^{第 種 過誤 範 狭 、有意水準 左}

側 動 ば い

– ^{そう 、棄却域 広 、第一種 過誤}

範 広 う