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H28 basic statistics assign

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(1)

基礎統計学(確認課題)

1

統計的指標

1.1

データの中心と偏り

1.2

代表値

[確認課題1] 「算術平均・メディアン・モード」

4つのデータx1, x2, x3, x4について、3種類の代表値(算術平均・メディアン・モード)を計算するとき、

モード >メディアン>算術平均

となるような4つのデータを定めよ。

(解答例)

4つのデータとしては、xi={2,4,9,9} などが考えられる。このとき、

算術平均 x= 6、メディアンM ed(x) = 6.5、モード(最頻値)9

であるから、モード>メディアン> 算術平均となる。

[確認課題2] 「年収の高い企業を探す」

大学卒業後に就職したい会社を選定するにあたり、「年収」を最も重視すべき基準とし、新卒1年目の平

均年収(算術平均)を会社ごとに調べることにした。この調べ方に問題はないだろうか、あるとすればど

のような問題があるか。

(解答例省略)

1.3

分散度

[確認課題3] 「1次変換による算術平均・分散・標準偏差の持つ性質」

次の10個のテータについて、算術平均xを求めよ。さらに、1次式yi =−2xi+ 4に代入して得られた値

yiについて、算術平均yを求めた上で、分散と標準偏差について、(3)や(4)が成り立つことを確認せよ。

4, 10, 9, 7, 12, 6, 5, 8, 11, 8

(解答例)

算術平均はx= 8である。また、yi=−2xi+ 4を用いると、

−4, 16, 14, 10, 20, 8, 6, 12, 18, 12

であり、yiの算術平均y=−12 となる。このことから、y=−2x+ 4が成り立つことが分かる。一方、分散と標

準偏差は、それぞれV (x) = 6、V (y) = 24、s(x) =

6、s(y) = 2

6であることから、V (y) = (−2)

2

V(x)、

(2)

基礎統計学(第

4

回)

2

度数分布

[確認課題4] 「度数分布表の作成∼統計的指標の算出」

あるスーパーの1日における駐車場利用台数を50日間調査したところ、次のような結果が得られた。こ

のデータについて、度数分布表を作成するとともに、算術平均と分散の値を求めよ。ただし、度数分布表

の作成にあたっては、最初の階級の最小値は0とし、スタージェスの公式を用いて、階級の数および級間

隔を定めよ。

27 50 28 29 21 21 29 37 15 11 27 9 32 46 13 30 36 29 15 24 35 36 40 30 44 25 22 14 37 36 38 20 35 43 20 25 26 47 25 25 36 39 25 12 14 33 44 33 32 14

(3)

基礎統計学(第

5

回)

3

回帰と相関

[確認課題5] 「線形回帰における回帰係数の推定式」

次の2式を導出せよ。

a=

x2 i

yi−xixiyi

n

x2 i −(

xi) 2

b= n

xiyi−xiyi

n

x2i (

xi) 2

(解答例)

na+bxi =

yi (1)

axi+b

x2i =xiyi (2)

(2)より、

bx2i =axi+

xiyi

b= −a

xi+xiyi

x2 i

(3)

(3)を(1)に代入すると、

na+bxi =

yi

na+−a(

xi) 2

+

xixiyi

x2 i

=yi

a

nx2i xi

2

=x2i yi−

xi

xiyi

となる。よって、

a=

x2i

yi−xixiyi

n

x2 i −(

xi)

2 (4)

となり、(4)を(1)に代入すると、

b= n

xiyi−xiyi

n

x2 i −(

xi) 2

が得られる。

[確認課題6] 「線形回帰における回帰係数の推定1」

次の表は、2010年8月から2011年3月までの8ヶ月間において、月初めの米ドル為替レート(円/ドル)

と銀1gあたりの平均価格(円/g)をまとめたものである。米ドル為替レートをx、銀1gあたりの平均

価格をyとして、線形回帰式y=a+bxの回帰係数a, bを求めよ。

(解答例)

a=

x2 i

yi−xixiyi

n

x2 i −(

xi)

2 =

54969×590663×48788

8×549696632 465.9

b= n

xiyi−xiyi

n

x2 i −(

xi) 2 =

8×48788663×590

8×549696632 −4.732

(4)

表3.1: 米ドルと銀1gの価格

米ドル xi 86 84 83 80 84 82 82 82

銀価格yi 53 58 64 73 81 79 85 97

[確認課題7] 「線形回帰における回帰係数の推定2」

次の表は、全国に店舗がある大手スーパーに関するデータである。最寄駅からの距離(km)をx、月間平

均売上高(万円)をyとして、線形回帰式y=a+bxの回帰係数a, bを求めよ。また、「最寄駅からの距

離」以外で、回帰変数として相応しいと思われるデータを3つ挙げよ。

表3.2: 店舗データ

店舗名 駅からの距離xi 月間平均売上高yi

新宿 1.25 736

池袋 0.80 734

渋谷 0.29 534

名古屋 1.15 508

草津 0.92 451

京都 2.34 433

山科 1.36 454

大阪 2.26 667

京橋 2.30 393

天王寺 2.29 402

神戸 1.19 546

宝塚 2.68 314

姫路 0.75 502

明石 0.34 585

岡山 2.74 268

三宮 0.51 600

(解答例)

a =

x2 i

yi−xixiyi

n

x2 i −(

xi)

2 =

44.4667×812723.17×10730.72

16×44.466723.172 645.7

b = n

xiyi−xiyi

n

x2 i −(

xi) 2 =

16×10730.7223.17×8127

16×44.466723.172 −95.13

(5)

基礎統計学(第

6

回)

[確認課題8] 「線形回帰における決定係数と相関係数」

次の表は、ある年における田の耕地面積(万ha)とコメの生産高(万t)を8都道府県で知らべたもので

ある。田の耕地面積をx、米の生産高をyとして、決定係数r

2

と相関係数rをそれぞれ求めよ。

表3.3: 耕地面積と米の生産高

耕地面積 xi 22 15 10 13 10 10 9 7

米の生産高yi 63 63 41 51 39 36 35 32

(解答例)

r = n

xiyi−xiyi

{n

x2 i −(

xi) 2

}{n

y2 i −(yi)

2

}

= 8×4693−96×360 (8×1308962

) (8×172863602 )

0.9062

また、決定係数r

2

0.8212 となる。

[確認課題9] 「順位相関係数」

次の表は、ある年の世界の主要10都市における人口(万人)と生計費指数の関係を表したものである。人

口と生計費指数の順位に関する相関係数r

rankを求めよ。ただし、いずれのデータについても、値の大き

い方を上位とする。

表3.4: 主要都市における人口と生計費指数

都市 人口 生計費指数 人口順位xi 生計費順位yi

デリー 988 83.6 4 9

ニューヨーク 836 100 5 3

ブエノスアイレス 297 77.7 10 10

ベルリン 339 86.1 8 8

ソウル 1003 97.6 3 4

マドリード 321 86.5 9 7

モスクワ 1049 102.5 2 2

ロンドン 828 96.2 7 5

東京 849 138.4 6 1

北京 1151 88.9 1 6

(解答例)

rrank = 1 6

(xi−yi) 2

n(n2

−1)

= 1 6×88 10×(102

(6)

基礎統計学(第

8

回)

4

確率

4.1

確率の概念

[確認課題10] 「確率を評価するためのアプローチ」

次のそれぞれの場合において、確率を評価するための適当なアプローチを答えよ。

(a) サッカー欧州選手権(EURO2016)で、開催国のフランスが優勝する確率

· · · 主観的アプローチ

(b) 1組のトランプのカードから1枚引いたとき、そのカードがダイヤである確率

· · · 先験的アプローチ

(c) ある部品製造会社で作られている部品の1セット(1000個)あたりの不良品の数

· · · 経験的アプローチ

4.2

標本空間

[確認課題11] 「標本空間と標本点」

硬貨3枚を投げ、表が出た場合をH、裏が出た場合をT と表す。このとき、

(a) HとTを用いて標本空間Sを表せ。

(b) 3枚全て表となる確率を求めよ。

(c) 2枚以上表となる確率を求めよ。

(解答例)

(a) 標本空間Sは以下の通り:

S={(H, H, H), (H, H, T), (H, T, H), (T, H, H), (H, T, T), (T, H, T), (T, T, H), (T, T, T)}

(b) 標本空間Sより、3枚全て表となる確率は

1

8 である

(c) 標本空間Sより、2枚以上表となる確率は

1

2 である

[確認課題12] 「標本空間と標本点」※ 解答例が抜けていました

サイコロ1個を2回投げ、出た目を(1回目,2回目)と表す。このとき、

(a) 標本空間Sを表せ。

(b) サイコロの出目の和が7になる確率を求めよ。

(c) 1回だけ3の目が出る確率を求めよ。

(解答例)

(a) 標本空間Sは以下の通り:

S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5),(1, 6), (2, 1), (2, 2),(2, 3), (2, 4), (2, 5),(2, 6),

(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),

(7)

(b) さいころの出目の和が7になる事象Aは、

A={(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}

であるから、P(A) =

6 36 =

1

6 である。

(c) 1回だけ3の目が出る事象Bは、

B={(1, 3), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 3), (5, 3), (6, 3)}

であるから、P(B) =

10 36 =

5

18 である。

[確認課題13] 「モンティ・ホール問題(改訂版)」

先ほどのゲームのルールに変更があり、

(1) 3つのドア(A, B, C) に(景品,ヤギ,ヤギ)が無作為に入っている。

(2) モンティはドアの内1つを必ず開ける。

(3) モンティの開けるドアは、必ずヤギの入っているドアである。

(4) プレーヤーはドアを1つ選ぶ。

(5) モンティはプレーヤーに「ドアを選び直して良い」と必ず言う。

となった場合、ドアを変更をすべきであろうか。

(解答例) プレイヤーが1つドアを選んだ後の状況を考えると、次の2つのパターンが考えられる。ここで、残

表4.1: 最初のドア選択後の状況

選択したドア 残りドア1 残りドア2

パターン1 景品 ヤギ [ヤギ]

パターン2 ヤギ 景品 [ヤギ]

りドア2がモンディが開けたドアである。パターン1においては、残りのドアを開けるとヤギがいるから、ド

アを変更すると景品はもらえない。一方、パターン1については、モンティがヤギのいるドアを開けると、景

品のあるドアが残されることになる。このことから、ドアを変更すると景品がもらえる確率は

1

2 となり、変

更しない場合の

1

2 と変わらない。

4.3

順列と組合せ

[確認課題14] 「重複順列」

8つの文字K, A, N, A, Z, A, W, Aの並べ方は何通りあるか。

(解答例)

8つの文字K, A, N, A, Z, A, W, A の順列を考えると、Kは1文字、Aは4文字、Nは1文字、Zは1文字、

Wは1文字あるから、

8!

1!×4!×1!×1!×1! = 1680

(8)

基礎統計学(第

9

回)

4.4

確率の算出

[確認課題13’] 「加法定理」※ 番号が重複していました

1から20までのそれぞれの数字を記した20枚のカードがある。このカードを1枚引いたとき、

(a) 引いたカードの数字が2で割り切れる確率を求めよ。

(b) 引いたカードの数字が3で割り切れる確率を求めよ。

(c) 引いたカードの数字が2または3で割り切れる確率を求めよ。

(解答例)

(a) カードの数字が2で割り切れる事象をAとすると、

A={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} となるから、P(A) =

10 20 =

1

2 である。

(b) カードの数字が3で割り切れる事象をBとすると、

B={3, 6, 9, 12, 15, 18} となるから、P(B) =

6 20 =

3

10 である。

(c) カードの数字が2かつ3で割り切れる確率はP(A∩B) =

3

20 である。ここで、加法定理を用いると、

P(AB) =P(A) +P(B)P(AB) = 1 2 +

3 10 −

3 20 =

13 20

である。

[確認課題14’] 「条件付き確率」※ 番号が重複していました

[確認課題12] において、事象A1「サイコロの1回目の出目が3」が起こったときに、A2「出目の和が7

以上」が起こる確率 P(A2|A1)を求めよ。また、事象A1′「サイコロの1回目の出目が5」の場合の条件

付き確率P(A2|A1′) を求めよ。

(解答例)乗法定理より、

P(A2|A1) =

P(A1∩A2)

P(A1)

であるから、P(A2|A1) = 1

2 である。また、同様に計算すると、P(A2|A1′) =

5

6 である。

基礎統計学(第

10

回)

4.5

ベイズの定理

[確認課題15] 「ベイズの定理」

ある地方では、住民の1000人に1人の割合で、ある病気に感染しているという。検査薬によって、感染

していれば0.98の確率で陽性反応が出る。ただし、感染していない場合 にも、0.01の確率で陽性の反応

が出るという。今、1人の住民に陽性反応が出たとき、この住民が感染者である確率を求めよ。

(解答例)

病気に感染している確率をP(D)とする。また、検査薬によって陽性反応が出るという事象をTで表し、感

染者と悲感染者のそれぞれにおいて陽性反応が出る確率をP(T|D), P

T|DC

(9)

このとき、陽性反応が出た人が感染者、非感染者である確率は、

P(D|T) = P(D∩T)

P(T) , P

DC|T= P

DCT P(T)

で求められる。ここで、ベイズの定理より、P(D|T), P

DC|T

は、

P(D|T) = P(T|D)P(D)

P(T|D)P(D) +P(T|DC)P(DC) =

0.98×0.001

0.98×0.001 + 0.01×0.999 0.0893

P

DC|T

= P

T|DC

P

DC

P(T|D)P(D) +P(T|DC)P(DC) =

0.01×0.999

0.98×0.001 + 0.01×0.999 0.9107

である。

5

確率分布

5.1

確率変数

[確認課題16] 「確率分布」

サイコロ2個を投げ、出た目の大きい方の数を確率変数xとするとき、この確率分布を表で示せ。

(解答例)

x 1 2 3 4 5 6 合計

確率

1 36 1 12 5 36 7 36 1 4 11 36 1

5.2

確率分布における期待値と分散

[確認課題17] 「離散確率分布の期待値」

サイコロ2個を投げ、出た目の和を確率変数xとするとき、期待値E(x)を求めよ。

(解答例)確率分布は以下の通り:よって、期待値E(x)は、

x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 合計

P(x) 1 36 1 18 1 12 1 9 5 36 1 6 5 36 1 9 1 12 1 18 1 36 1

E(x) = x∈S

xP(x) = 2× 1

36 + 3× 1

18 + 4× 1

12 +· · ·+ 10× 1

12 + 11× 1

18 + 12× 1 36 = 7

である。

[確認課題18] 「離散確率分布の期待値」

今年の「グリーンジャンボ宝くじ」の当選くじの内訳(当選金額と当選本数)を調べた上で、当選金額を

(10)

等級 当選金額x 当選本数 確率P(x) xP(x)

1 400000000 1 0.0000001 40.00

1等前後 100000000 2 0.0000002 20.00

1等組違 100000 99 0.0000099 0.99

2 10000000 1 0.0000001 1.00

3 100000 500 0.0000500 5.00

4 5000 100000 0.0100000 50.00

5 300 1000000 0.1000000 30.00

※ 宝くじは1ユニット1000万本のくじで構成される

(解答例)確率分布は以下の通り:

よって、1枚あたりの当選金額の期待値E(x)は、

E(x) = x∈S

xP(x) = 146.99 (円)

である。

[確認課題19] 「離散確率分布の期待値」

([確認課題17]の続き)サイコロ2個を投げ、出た目の和を確率変数xとするとき、分散V(x)を求めよ。

(解答例)

[確認課題17]より、期待値E(x) = 7であるから分散V (x)は、

V (x) = x∈S

{xE(x)}2P(x) = x∈S

(x7)2P(x) = 35 6

[確認課題20] 「離散確率分布の期待値」

サイコロ2個を投げ、出た目の和を4で割った余りを確率変数xとするとき、期待値E(x)および分散

V (x)を求めよ。

(解答例)

確率分布の表は以下の通り:よって、期待値E(x)は、

x 0 1 2 3 合計

P(x) 1 4

2 9

1 4

5 18 1

E(x) = x∈S

xP(x) = 0× 1

4 + 1× 2

9 + 2× 1 4 + 3×

5 18 =

14 9

である。また、分散V (x)は、

V(x) = x∈S

{xE(x)}2P(x) = x∈S

x14

9 2

P(x) = 211 162

である。

[確認課題21] 「離散確率分布の応用」

(11)

のイベントへの参加料を1回100円とするとき、どのようなくじの内訳にすれば主催者側に収益が出るだ

ろうか。等級は最大3つまで設定してよいものとする。ただし、いずれの等級も「互いに背反」でなけれ

ばならない。また、1等の賞金は200円で、いずれかの等級が当選する確率は50%以上でなければならな

い。(ヒント:収益 = 1回の参加料−1回の当選金額の期待値)

(解答例)

1等:「1の目が出た」、2等:「2の目が出た」、3等:「3の目が出た」と設定し、それぞれの賞金xを200円、

30円、10円とすると、確率分布は以下の通り:

等級 賞金x 確率P(x) xP(x)

1 200 1

6

200 6

2 30 16 5.00

3 10 16

5 3

合計

1

2 40.00

このとき、いずれかの等級が当選する確率は50%であり、賞金の期待値E(x)は、

E(x) = x∈S

xP(x) = 200× 1

6 + 30× 1

6 + 10× 1

6 = 40.00 (円)

(12)

基礎統計学(第

11

回)

5.3

確率分布

(1)

[確認課題22] 「二項分布」

コイン2枚を1度に投げるという試行を5回繰り返したとき、全てのコインが表になる回数が1回以上と

なる確率を求めよ。

(解答例)

この事象は二項分布に従うので、n= 5, p=

1 2

2 = 1

4 とすると、この分布は、

P(x) =5 Cx

1 4

x 1 1

4 n−x

(x= 0, 1, · · ·,5)

と表される。全てのコインが表になる回数が1回以上となる確率は、

5

x=1

P(x) = 1P(0) = 1

1 1 4

5

= 781 1024

となる。

[確認課題23] 「ポアソン分布」

ある金融機関が1日あたり平均3枚の不渡小切手(口座の残高不足による決済不能の小切手)を受け取る。

このとき、1日に不渡小切手を0枚から10枚受け取る(x= 0, 1, 2, · · · , 10)確率をそれぞれ求めよ。

(解答例)

1日あたりの不渡手形の平均枚数はλはλ= 3である。よって、この確率分布P(x)は、

P(x) = 3·e

−3

x! (x= 0, 1, · · ·)

であり、それぞれの枚数となる確率は、

P(0)0.0498, P(1)0.1494, P(2)0.2240, P(3)0.2240, P(4)0.1680, P(5)0.1008

P(6)0.0504, P(7)0.0216, P(8)0.0081, P(9)0.0027, P(10)0.0008

となる。

[確認課題24] 「ポアソン分布」

ある型の溶接機による前月の溶接箇所を検査したところ、不良部分が5ヵ所発見された。この溶接機で1ヵ

月溶接したとき、不良箇所が2ヵ所以内である確率を求めよ。

(解答例)

1ヵ月あたりの平均の不良箇所はλ= 5である。よって、この確率分布P(x)は、

P(x) = 5·e

−5

x! (x= 0, 1, · · ·)

となる。よって、1ヵ月あたりの不良箇所が2ヵ所以内である確率は、

P(0x2) = 2

x=0

P(x)0.1247

(13)

[確認課題25] 「超幾何分布」

1組のトランプ52枚から10枚を選ぶとき、その中のハートの枚数が2枚である確率を求めよ。

(解答例)

題意よりN = 52であり、この中にハートは13枚(Np = 13)存在する。10枚(n= 10)の内、ハートの枚

数を確率変数xとすると、この確率分布P(x)は、

P(x) = 13Cx×39C10−x 52C10

(x= 0, 1, · · ·10)

となる。10枚の内、ハートが2枚となる確率P(2)は、

P(5) = 13C2×39C8 52C10

0.3033

となる。

[確認課題26] 「非復元抽出」

日常に見られる非復元抽出の事例を挙げよ。

(例) ババ抜きで隣のプレイヤーからカードを1枚引く

(例) 歳末イベントなどでスピードくじを引く

基礎統計学(第

12

回)

5.4

確率分布

(2)

[確認課題27] 「正規分布」

正規分布N

6, 52

において、P(4≤x≤15)の確率を求めよ。

(解答例)

µ= 6, σ = 5より、

z= x−6 5

となり、確率を求める区間(4≤x≤15)は、標準正規分布N

0, 12

において(−0.4≤z≤1.8)に置き換えら

れる。数値表にてそれぞれの確率を調べるとx= 0.4のとき「.1554(0.1554)」、x= 1.8のとき「.4641(0.4641)」

と書かれている。ここで、

P(0.4z1.8) =P(0z0.4) +P(0z1.8) = 0.6195

(14)

基礎統計学(第

13

回)

6

統計的推定

6.1

標本分布

[確認課題28] 「母集団比率の信頼区間」

無作為に選んだ大学生250名について運転免許を持っているかどうかを調査したところ、120名が運転免

許を所有していた。信頼係数95%で、運転免許を持っている大学生の割合の信頼区間を求めよ。

(解答例)

標本大きさn= 250の標本分布において、pˆ=

120

250 であるとき、母集団の比率の95%信頼区間は、

120 250 −p

2

≤(1.96)2p(1−p) 250

となり、この不等式を解くとp0.4188,0.5418が得られる。よって、この母集団の比率は0.4188 ≤p≤0.5418

となる。

[確認課題29] 「母集団比率の信頼区間」

ある番組を見た視聴者100人について調査したところ、その内の40人がその番組が面白かったと答えた。

信頼係数99%で、その番組が面白かったと答えた人の割合の信頼区間を求めよ。

(解答例)

標本大きさn= 100の標本分布において、pˆ=

40

100 であるとき、母集団の比率の99%信頼区間は、

40 100 −p

2

≤(2.57)2p(1−p) 100

となり、この不等式を解くとp0.2841,0.5283が得られる。よって、この母集団の比率は0.2841 ≤p≤0.5283

となる。

基礎統計学(第

14

回)

6.4

 区間推定(続き)

[確認課題30] 「母集団比率の信頼区間(再掲)」

ある番組を見た視聴者100人について調査したところ、その内の40人がその番組が面白かったと答えた。

区間推定の近似計算 を用いて、信頼係数99%で、その番組が面白かったと答えた人の割合の信頼区間を

求めよ。

(解答例)

標本大きさn= 100の標本分布において、pˆ=

40

100 であるとき、pˆ=

40

100 であるとき、母集団の比率の99%

信頼区間を近似計算すると、

40

100 −2.57

40 100

1 40

100

100 ≤p≤

40

100 + 2.57

40 100

1 40

100

100

(15)

[確認課題31] 「母集団の平均値の信頼区間」

ある地区で、10世帯について1ヵ月の電気料金を調査したところ、次の結果を得た。この地区の1世帯あ

たりの平均電気料金(単位:円)について信頼係数95%で区間推定せよ。

5900 4300 4200 3800 5200 4500 5100 6200 4700 4100

(解答例)

この母集団の分散σ

2

は未知であることから、標本分散σ

2

xを代用する。標本の平均xと分散σxは、それぞれ

x= 4800, σx= 790.2であり、これを先の不等式に代入すると、

x1.96 √σx

n ≤ µ ≤x+ 1.96 σx

√ n

48001.96×790√ .2

10 ≤ µ ≤4800 + 1.96× 790.2

10

表 3.1: 米ドルと銀 1g の価格 米ドル x i 86 84 83 80 84 82 82 82 銀価格 y i 53 58 64 73 81 79 85 97 [ 確認課題 7] 「線形回帰における回帰係数の推定 2 」 次の表は、全国に店舗がある大手スーパーに関するデータである。最寄駅からの距離( km )を x 、月間平 均売上高(万円)を y として、線形回帰式 y = a + bx の回帰係数 a, b を求めよ。また、 「最寄駅からの距 離」以外で、回帰変数として相応しいと思われるデータを

参照

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