2014年度 統計学入門学年末試験(解答付) 担当：福地純一郎 問題1 X ∼N(40,4) とする。このときP(X ≦43)を求めよ。
解答 Z = (X−40)/2とけば、Zは標準正規分布にしたがう。
P(X ≦43) =P
(
X−40
2 ≦
43−40 2
)
=P(Z ≦1.5) = 1−P(Z >1.5) = 1−0.0668≒0.933
問題2 ドミノピザのLサイズのピザの半径(cm)は確率変数であり，平均16(cm)，分散1 の正規分
布にしたがうものとする。このLサイズピザの面積の期待値を求めよ。ただし、ピザは完全な円で あると仮定する。
解答 X2の期待値を求めるために、公式
V(X) = E(X2
)−(E(X))2を用いる。この場合、ピザの半
径をXで表せば、
面積の期待値= E(πX2
) =πE(X2
) =π(V(X) + (E(X))2
) = π(1 + 162
) = 257π
問題3 ある工場では針がねを製造しており、この針金の長さX(cm)は正規分布N(20, 0.4)にした がうものとする。この針金を折り曲げて作る正方形の面積の期待値を求めよ。ただし針がねの太さは 無視してよい。
解答 問題2と同様に計算する。
面積の期待値= E(
(X/4)2)
= (16)−1E(X2) = (16)−1(V(X)+(E(X))2) = (16)−1(0.4+202) = 25.025 問題4 サッカーのチームAとBが試合をするときチームAの点数をX, チームBの点数をY とす る。(X, Y)の同時確率分布が以下の表で与えられているが、３箇所の数字が見えないようにしてあ る。
X Yの
0 1 2 3 周辺確率分布
0 0.06 0.08 0.04 0.02 0.20
1 0.15 0.20 0.08 0.05 0.48
Y 2 0.09 0.12 0.05 0.01 0.27
3 0.01 0.02 0.02 0 0.05 Xの周辺確率分布 0.31 0.42 0.19 0.08
X = 2かつY = 2となる確率は何か。
解答 上の表のように、□を埋める。したがって答えは0.05。
問題6 ある大学の陸上部では，400mリレー走の練習をしている．A君，B君，C君，D君の順に第 1，2，3，4走者である．400mリレー走でのA君，B君，C君，D君の100mのタイム(秒)は独立で それぞれ正規分布N(13,0.40), N(12,0.20), N(12,0.11), N(12,0.10)に従うものとする．このチーム の400mリレー走のタイムの確率分布を求めよ．
解答 N(49, 0.81)
問題7 ある選挙区で，100人の有権者を無作為に抽出して調べたところ，A党の支持者が70人で
あった．この選挙区におけるA党の支持率pに対する(近似的)信頼係数95%の信頼区間を求めよ．
解答 2016年度の授業では、この問題を解くための内容（母比率の信頼区間）を詳しく扱わなかった ので、解答を省略する。
問題8 確率変数X1とX2は独立で、どちらも正規分布N(µ, σ 2
)にしたがうものとする。このとき、
(
X1−µ
σ
)2
+ (
X2−µ
σ
)2
の確率分布は何か。 解答 自由度2のχ2
分布。（χ2
分布の定義を見よ。）
以下のデータに基づいてを問題9と問題10を解きなさい。陸上競技の選手のBさんが、1000m走 り、そのタイムを9人がストップウオッチで測定したところ（単位は秒）、
182,183,184,184,185,186,186,187,188
であった。
問題9 このデータの標本分散s2を求めよ。
解答 ∑9
i=1(xi −x) 2
= 30だから、s2
= 30/8 = 3.75.
問題10 測定タイムが正規分布N(µ, σ2
)にしたがうと仮定し、母平均µの信頼係数95%の信頼区間
を求めよ。ヒント√15≒3.87を用いて良い。
解答 まず s
√nを計算する。
s √
n =
√
s2
n =
√ 30 8×9 =
√ 15 4×9 =
√
15/6≒3.87/6 = 0.645
t0.025(8) = 2.306なので、
s √
n ×t0.025(8)≒0.645×2.306≒1.487 したがって
x− √s
n ×t0.025(8) =185−1.487 = 183.51, x+ √s
n ×t0.025(8) =185 + 1.487 = 186.49 信頼係数95%の信頼区間は[183.51, 186.49]
問題11 スターバックスコーヒーでは、トールサイズのコーヒーが容量が350mlであるとして販売 している。私の友人が、トールのコーヒーを10回購入して毎回容量を計測したところ、容量の平均
はx¯ = 352(ml)、標本標準偏差はs = 2(ml)であった。容量が正規分布N(µ, σ2
)にしたがうと仮定 し、帰無仮説をH0 :µ= 350, 対立仮説をH0 :µ̸= 350として有意水準5%の仮説検定を行うときの
結果を選択しなさい。ただし、√10 = 3.16を用いること。 解答 検定統計量の実現値は
x−350
s/√n =
352−350 2/√10 =
√
10≒3.16
問題12 あるスポーツクラブでは、ダイエットプログラムを提供していて、このプログラムを3日間 続けると、体重減少量が平均で500gを超えると宣伝している。このことを検証するために、16人が このプログラムを3日間体験し、体重減少量(g)を測定したところ平均はx¯= 510(g)、標本標準偏差
はs= 28(g)であった。体重減少量を正規分布N(µ, σ2
)にしたがう確率変数の実現値と考え、母平均 µが500より大きいかどうかを仮説検定によって判断する。この問題で適切な帰無仮説を設定しなさ い。
解答 H0 :µ≤500 v.s. H1 :µ >500
問題13 問題12について、検定統計量（t統計量）の値を求めよ。
解答
x−510
s/√n =
510−500 28/√16 =
10
7 ≒1.43
問題14 母平均についての仮説検定において、帰無仮説のもとで検定統計量の値がある値を超える 確率が十分小さいとき帰無仮説を棄却する。このあらかじめ定めておく確率のことを何と呼ぶか。
解答 有意水準
問題5 以下の図に描かれているのは正規分布の確率密度関数であるが、この正規分布の正確な名前 を答えよ。
10 20 30 40 50 60 70 80 90
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
