2014年度学年末試験の問題と解答

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全文

(1)

2014年度 統計学入門学年末試験(解答付) 担当:福地純一郎 問題1 X ∼N(40,4) とする。このときP(X ≦43)を求めよ。

解答 Z = (X40)/2とけば、Zは標準正規分布にしたがう。

P(X ≦43) =P

(

X40

2 ≦

4340 2

)

=P(Z ≦1.5) = 1P(Z >1.5) = 10.0668≒0.933

問題2 ドミノピザのLサイズのピザの半径(cm)は確率変数であり,平均16(cm),分散1 の正規分

布にしたがうものとする。このLサイズピザの面積の期待値を求めよ。ただし、ピザは完全な円で あると仮定する。

解答 X2の期待値を求めるために、公式

V(X) = E(X2

)−(E(X))2を用いる。この場合、ピザの半

径をXで表せば、

面積の期待値= E(πX2

) =πE(X2

) =π(V(X) + (E(X))2

) = π(1 + 162

) = 257π

問題3 ある工場では針がねを製造しており、この針金の長さX(cm)は正規分布N(20, 0.4)にした がうものとする。この針金を折り曲げて作る正方形の面積の期待値を求めよ。ただし針がねの太さは 無視してよい。

解答 問題2と同様に計算する。

面積の期待値= E(

(X/4)2)

= (16)−1E(X2) = (16)−1(V(X)+(E(X))2) = (16)−1(0.4+202) = 25.025 問題4 サッカーのチームAとBが試合をするときチームAの点数をX, チームBの点数をY とす る。(X, Y)の同時確率分布が以下の表で与えられているが、3箇所の数字が見えないようにしてあ る。

      X Yの

   0 1 2 3 周辺確率分布

  0 0.06 0.08 0.04 0.02 0.20

  1 0.15 0.20 0.08 0.05 0.48

Y 2 0.09 0.12 0.05 0.01 0.27

  3 0.01 0.02 0.02 0 0.05 Xの周辺確率分布 0.31 0.42 0.19 0.08

X = 2かつY = 2となる確率は何か。

解答 上の表のように、□を埋める。したがって答えは0.05。

問題6 ある大学の陸上部では,400mリレー走の練習をしている.A君,B君,C君,D君の順に第 1,2,3,4走者である.400mリレー走でのA君,B君,C君,D君の100mのタイム(秒)は独立で それぞれ正規分布N(13,0.40), N(12,0.20), N(12,0.11), N(12,0.10)に従うものとする.このチーム の400mリレー走のタイムの確率分布を求めよ.

解答 N(49, 0.81)

問題7 ある選挙区で,100人の有権者を無作為に抽出して調べたところ,A党の支持者が70人で

あった.この選挙区におけるA党の支持率pに対する(近似的)信頼係数95%の信頼区間を求めよ.

(2)

解答 2016年度の授業では、この問題を解くための内容(母比率の信頼区間)を詳しく扱わなかった ので、解答を省略する。

問題8 確率変数X1とX2は独立で、どちらも正規分布N(µ, σ 2

)にしたがうものとする。このとき、

(

X1−µ

σ

)2

+ (

X2−µ

σ

)2

の確率分布は何か。 解答 自由度2のχ2

分布。(χ2

分布の定義を見よ。)

以下のデータに基づいてを問題9と問題10を解きなさい。陸上競技の選手のBさんが、1000m走 り、そのタイムを9人がストップウオッチで測定したところ(単位は秒)、

182,183,184,184,185,186,186,187,188

であった。

問題9 このデータの標本分散s2を求めよ。

解答 ∑9

i=1(xi −x) 2

= 30だから、s2

= 30/8 = 3.75.

問題10 測定タイムが正規分布N(µ, σ2

)にしたがうと仮定し、母平均µの信頼係数95%の信頼区間

を求めよ。ヒント√15≒3.87を用いて良い。

解答 まず s

nを計算する。

s √

n =

s2

n =

√ 30 8×9 =

√ 15 4×9 =

15/6≒3.87/6 = 0.645

t0.025(8) = 2.306なので、

s √

n ×t0.025(8)≒0.645×2.306≒1.487 したがって

x √s

n ×t0.025(8) =185−1.487 = 183.51, x+ √s

n ×t0.025(8) =185 + 1.487 = 186.49 信頼係数95%の信頼区間は[183.51, 186.49]

問題11 スターバックスコーヒーでは、トールサイズのコーヒーが容量が350mlであるとして販売 している。私の友人が、トールのコーヒーを10回購入して毎回容量を計測したところ、容量の平均

はx¯ = 352(ml)、標本標準偏差はs = 2(ml)であった。容量が正規分布N(µ, σ2

)にしたがうと仮定 し、帰無仮説をH0 :µ= 350, 対立仮説をH0 :µ̸= 350として有意水準5%の仮説検定を行うときの

結果を選択しなさい。ただし、√10 = 3.16を用いること。 解答 検定統計量の実現値は

x−350

s/√n =

352−350 2/√10 =

10≒3.16

(3)

問題12 あるスポーツクラブでは、ダイエットプログラムを提供していて、このプログラムを3日間 続けると、体重減少量が平均で500gを超えると宣伝している。このことを検証するために、16人が このプログラムを3日間体験し、体重減少量(g)を測定したところ平均はx¯= 510(g)、標本標準偏差

はs= 28(g)であった。体重減少量を正規分布N(µ, σ2

)にしたがう確率変数の実現値と考え、母平均 µが500より大きいかどうかを仮説検定によって判断する。この問題で適切な帰無仮説を設定しなさ い。

解答 H0 :µ≤500 v.s. H1 :µ >500

問題13 問題12について、検定統計量(t統計量)の値を求めよ。

解答

x−510

s/√n =

510−500 28/√16 =

10

7 ≒1.43

問題14 母平均についての仮説検定において、帰無仮説のもとで検定統計量の値がある値を超える 確率が十分小さいとき帰無仮説を棄却する。このあらかじめ定めておく確率のことを何と呼ぶか。

解答 有意水準

問題5 以下の図に描かれているのは正規分布の確率密度関数であるが、この正規分布の正確な名前 を答えよ。

10 20 30 40 50 60 70 80 90

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

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参照

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