第11回演習問題 lecture Shinya Sugawara(菅原慎矢)

11 

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全文

(1)

統計学

I

演習

,

11

:

標本分布

:

演習

菅原慎矢

June 30

連絡事項

• 7/7小テスト。範囲は標本分布(この演習問題の範囲)

• 来週の補講7/5,6は演習時間なし

• 小テスト練習のため、問題多めにしています。今日解説できない分は自習して下 さい

• 小テストの得点への質問などはメールでお願いします。

– ただし、TAが一人入院中で、小テスト1については帰ってきていない答案が

あり、返事が遅れる可能性があります

– 期末テスト採点後になると、事務を通じて成績再評価願を出すことになり、手

続きが面倒になります

1

演習問題

1

標本平均

1

母集団N(1,16)からn = 100の無作為標本を採ったとき、標本平均X¯ について、巻末

の標準正規分布表を用いて以下に答えよ

1. ¯X≥2となる確率を求めよ。 2. P( ¯X ≤x) = 0.90となるxを求めよ

2

標本平均

2

(2)

2. E( ¯X+ ¯Y)を求めよ 3. Cov( ¯X,Y¯)を求めよ

4. V( ¯X+ ¯Y)を求めよ

3

標本分散

1

χ2分布表, t分布表は後半に添付している

X1, ..., Xnを、N(µ, σ2)からの無作為標本とする。i= 1, ..., nについてZi = (Xi−µ)/σ

とする

1. Z2

2 の従う分布を求めよ

2. (1/σ2)∑n

i=1(Xi−µ)2の従う分布を求めよ

4

標本分散

2

母集団分布をN(0,4)とする大きさn= 11の無作為標本{X1, ..., X11}を取り、標本分散

S2を求めた。以下の問いに巻末のχ2分布表を用いて以下を求めよ

1. P(S2 9)の取り得る範囲を答えよ。回答はa P(S2 9) bという形で表記

せよ

2. P(2≤S2 6)の取り得る範囲を答えよ。

5

標本分散

3

t分布に関して、巻末の分布表を用いて以下を求めよ。

1. t∼t(30)の時、P(t ≥q) = 0.1となるqを求めよ

2. t∼t(30)の時、P(|t| ≥q) = 0.01となるqを求めよ

6

標本分散

4

母集団分布をN(0,4)とする大きさn = 9の無作為標本{X1, ..., X11} を取り、標本分散

S2を求めたところ、S2 = 4であった。以下の問いに答えよ。なお、T 統計量は、σ2

未知の時にこれをS2で置き換えた時の、X¯ の標準化であると解釈できる

• T 統計量を書け。この統計量の従う分布は何か • P(|T| ≥q) = 0.05となるqを求めよ

(3)

2

解答

1

標本平均

1

1.

X¯ N(1,4/25)。従ってZ = [ ¯X E( ¯X)]/

V( ¯X) = ( ¯X −1)/(2/5) とすると

Z ∼N(0,1)。これを用いて

P( ¯X ≥2) = P(X¯−1

2/5 ≥ 2−1

2/5

)

(1)

= P(Z ≥2.5) (2)

= 1−P(Z ≤2.5) (3)

≃ 1−0.9938 (4)

= 0.0062 (5)

2.

今Z = ( ¯X−1)/(2/5)とするとZ ∼ N(0,1). またP(Z ≤ t) = 0.90となるtは1.285 (1.28と1.29の間)。従って

0.90 = P(Z ≤1.285) (6)

= P(X¯ −1

2/5 ≤1.285

)

(7)

= P( ¯X ≤(2/5)×1.285 + 1) (8)

= P( ¯X ≤(2/5)×1.285 + 1) (9)

= P( ¯X ≤1.5140) (10)

2

標本平均

2

1. E( ¯X) =µX, E( ¯Y) =µY

2.

E( ¯X+ ¯Y) = E( ¯X) +E( ¯Y) =µX +µY (11)

(これはX, Y の独立性などに依存しない) 3.

Cov( ¯X,Y¯) =E( ¯XY¯)−E( ¯X)E( ¯Y) = α−µXµY (12)

4.

V( ¯X+ ¯Y) = V( ¯X) +V( ¯Y) + 2Cov( ¯X,Y¯) (13)

= σ 2 X nX + σ 2 Y nY

(4)

3

標本分散

1

1. Z2

2 ∼χ2(1)

証明: Z1, ..., Zkを独立に標準正規分布に従う確率変数とする。これらk個の確率変数

の二乗の和について

W =Z2

1 +...+Zk2 ∼χ2(k) (15)

となることがχ2分布の定義。

この定義に当てはめる。今Z2

2 は、標準正規分布に従う1個の確率変数の二乗なので、

Z2

2 ∼χ2(1)

注意: X ∼F は、確率変数Xが分布F に従う、という意味

2. 今Zi = (Xi−µ)/σとすると、Zi ∼ N(0,1)でありすべてのi, jについてZi, Zjは

独立. 従って∑n

i=1Zi2 ∼χ2(n)。これを利用して

1

σ2 n

i=1

(Xi−µ)2 = n

i=1

(Xi−µ

σ )2 (16) = n ∑ i=1 Z2 i (17)

∼ χ2(n) (18)

4

標本分散

2

1. 今U = n−1

σ2 S2 ∼χ2(n−1). σ2 = 4, n−1 = 10より

P(S2 9) = P( σ2U

n−1 ≥9

)

(19)

= P(U ≥ 9(n−1)

σ2

)

(20)

= P(U ≥ 9×10

4

)

(21)

= P(U ≥22.5) (22)

χ2分布表より、df = 10の列を利用する。P(U 23.21)P(U 22.5)P(U 20.48)

なので

(5)

2.

P(2≤S2 6) = P(2 σ2U

n−1 ≤6

)

(24)

= P(2(n−1)

σ2 ≤U ≤

6(n−1)

σ2

)

(25)

= P(20/4≤U ≤60/4) (26)

= P(5≤U ≤15) (27)

= P(U ≥5)−P(U ≥15) (28)

3.94≤ 5 ≤ 9.34, 12.55 ≤ 15 ≤ 15.99となるため、P(U ≥ 5), P(U ≥ 15)はそれぞれ

0.500と0,950, 0.100と0.250の間にある。これを利用し

0.5−0.25 ≤ P(5≤U ≤15)≤0.95−0.1 (29)

0.25 ≤ P(5≤U ≤15)≤0.85 (30)

5

標本分散

3

1. t分布表のdf = 30の行より、q= 1.31 3.2.

0.01 = P(|t| ≥q) = 2P(t≥q) (31)

よって

P(t ≥q) = 0.005 (32)

となるqが求めるもの。t∼t(30)よりq = 2.75

6

標本分散

4

1.

T = X¯ −µ

S2/n ∼t(n−1) (33)

今µ= 0, n = 9, S2 = 4なので

T = X¯

2/3 = 3 ¯X/2∼t(8) (34)

2.

P(T ≥q) = 0.025 (35)

(6)

3 上の問題より

0.025 = P(T ≥2.31) (36)

= P(3 ¯X/2≥2.31) (37)

= P( ¯X ≥2×2.31/3) (38)

= P( ¯X ≥1.54) (39)

(7)
(8)
(9)
(10)
(11)

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参照

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