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第 ₁₅ 回

前期 復習

期 試験 い

• 8 ^{月 5 日＆金＇ 1 限}

– A23 ^{＆ 1 生＇}

– A22 ^{＆ 2 生以 ＇経済数学Ⅰ (Standard) 同}

• ^{持込 電卓}

• ^{座席 指定席 間違え 座}

比 計算

＆第 ₂ 回 第 ₃ 回＇

• ^{比 計算 考え方}

– ^{比 表現：} _:

– ^{比 値： ＆ 大 さ 1単位 何単位 表}

＇

• ^{比 値 同 比 同}

: = : ⇔ =

– ^{比 計算 ル ル}

1. ^{同 数 割 場 割 簡単 数}

＆比 値 約 ＇

2. ^{数や 数 場 整数 直}

– ^{比 公式：} _{: = : =} ^{＆ 項 積；外項} 積＇

例

• 1 ^{ル；100 1 何 ル ＝}

: = : ⇒ = ⇒ = = .

• 1 ^{ル；100 200 ル 商品 何}

＝

: = : ⇒ = × =

• 1 ^{ル；100 2000 商品 何 ル}

＝

: = : ⇒ = ⇒ =

• 1 ^{ル；100 200 ル 測}

価値 何倍 _→0.5倍

– ^{高 安 考え方＆ 場 ＆ ＇ ＇}

比 計算

＆第 ₂ 回 第 ₃ 回＇

• ^{比 計算 考え方}

– ^{割 ；比 量÷基準量}

• ^{比 量 基準量} _: ^{いう比 考え}

比 値 割

– ^{割 100 パ ン}

表示 変化率 ₌

変化 量 変化前 値

= ^{変化後 値 − 変化前 値} 変化前 値

• ^{基準 時点 く い変化 表 割}

例

• 4600 ^{対 3910 割 数 求}

= ÷ = .

• 3588 ^{7800 対 割 パ ン 求}

= . = %

• 750 0.8^{％ いく ＝}

. % = . ⇒ × . =

• 84 ^{基準量 1.4％ あ 基準量 いく ＝}

. % = . ⇒ × . = ⇒ = ÷ .

=

直線 傾

＆第 ₄ 回 第 ₅ 回＇

• ^{関数 何 ＝}

– ^{関数 一般的表現}

• 2 ^{変数 組} _, = �^{い 各 値 対 1}

在

• ^{決 ＆ 依 決 ＇}

• ^{：独立変数}

• ^{：従属変数}

• � ^{文 ：関数 記号＆文 独立変数 関数＇}

• ^{例＇1次関数：} = � = +

• ^{例＇2次関数：} _{= � = + +}

• ^{変数：今考え い 問 変化 量＆} _, ^＇

• ^{定数：今考え い 問 変化 い量＆} , , , , ^＇

• ^{関数 グラフ 表 ：原則 独立変数 横軸 従属変数 縦}

直線 傾

＆第 ₄ 回 第 ₅ 回＇

• 1^次関数

= +

• ^{:傾 ＆ 1単位増加 く い変化 ＝＇}

• ^{： 片＆} ₌ ^{場 値＇}

• _{> →} ^{1単位増加 ＆ 単位 ＇増加}

• < → ^{1単位増加 ＆ 単位 ＇減少}

• 2^{種類 数 関係 直線 表}

– 1^{次関数 グラフ 表}

• ^{辺 変数＆ ＇ 大 さ 縦軸 右辺 変数＆ ＇ 大 さ 横軸} 表

– ^{縦軸＆ 軸＇ 点：} ₌ – ^{横軸＆ 軸＇ 点：} =

– = + ^{片＆縦軸 交点＇}→ = ^値→= 横軸 交点_{→ =} 場 値

• 1^{次関数 場 少 く 直線 2点 示 ＆ 片 い＇}

直線 傾

＆第 ₄ 回 第 ₅ 回＇

– ^{定点 通 直線}

• ^{あ 点＆} _, ^{＇ 通 傾 直線 い 片} 大 さ いく ＝

= + ⇒ = −

• ^{あ 点＆} _, ^{＇ 通 片 直線 い 傾} 大 さ いく ＝

= + ⇒ = − ⇒ = ⁻

例

• ^{田さ 消費性向＆消費関数 傾 ＇}

0.55 ^{所得＆独立変数＇} 60 ^万

消費＆従属変数＇ ₄₈ 万 あ 田さ

基礎消費＆ 片＇ 求 さい

= . × + ⇒ = − =

• ^{伊東さ 基礎消費 20 万 所得 80}

万 消費 ₆₀ 万 あ 伊東さ

消費性向 求 さい

= × + ⇒ = ⁻ = .

連立方程式

＆第 ₆ 回＇

• ^{連立方程式}

– 2 ^{知数 関係 表 式 2 あ}

値 求

• ^{代入法：片方 式 い 解 ＆} _{= ⋯}

= ⋯ ^{形 直 ＇ 残 式 代入}

• ^{加減法： 係数 え 2 式 足}

引く ₁ 変数 消 残 く

値 求

例

• ^{以 2 1 次関数 交点 連立方程式}

解い 求 さい

=₌ ⁺₊

– ^引く = − ⇒ = , = = ⁻

= − +

– ^引く ₌ ⁸ − ⇒ = , = −

2 ^次方程式

＆第 ₈ 回＇

• 2 ^次方程式

+ + = – 2^{次方程式 解 方}

1. ^{因数 解：} _{+ + = − − =} ^変形 2^{次方程式 解} _{= ,}

2. ^{解 公式：} ₌ ^{− ± −}

– 2^次方程式 _{+ +} ^式 _{= −}

• _{− > ⇒} ^{解 2}

• _{− = ⇒} ^{解 1}

• _{− < ⇒}

例

• ^{都留 業 生産 費用関数} _{= +}

+ ^{与え い ＆ 生産量}

総費用＇

– ^{価格 35 あ 利潤関数 書 さい} 利潤 ₌ 売 ₋ 総費用 ₌ 価格 _× 数 ₋ 総費用

= − + + = − + −

– ^{利潤 50 う 生産量 求 さい}

= − + − ⇒ − + − = ⇒

= ^{− ± − × − × −}_{× −} = ± ⇒

= ,

微

＆第 ₉ 回～第 ₁₂ 回＇

• ^{微 意味}

– ^{微 ： 関数 求}

• ^{関数：接線 傾 教え く 関数}

• ^値→ ^関数 _�^′ →^点＆ _{, �} ^{＇ 接線 傾}

– ^{関数 符号＆正or ＇ 見 増や} _�

増加 減少 わ

• �^′ > → ^{傾 正 → 増や} � ^増加

• �^′ < → ^{傾 → 増や} � ^減少

• �^′ = → ^{傾 ロ → 増や} � ^{変わ い}

– ^{注目 関数 符号 替わ 点} → ^傾 ロ 点 _→ 微 求 関数 ；₀

微

＆第 ₉ 回～第 ₁₂ 回＇

• ^極値

– ^{極大値： 関数 符号 正 変わ 点＆極大＇ 関数} 値

• ^{増加 減少 転 点}→ ^{局所的 最大値＆山頂＇}

• ^{最大化 い場 ＆売 ＇ 極大値 注目}

– ^{極 値： 関数 符号 正 変わ 点＆極 ＇ 関数} 値

• ^{減少 増加 転 点}→ ^{局所的 最 値＆谷底＇}

• ^{最 化 い場 ＆費用 ＇ 極 値 注目}

– ^{極値＆極大値 び極 値＇ い}

• ^{極大値や極 値} _�^′ ₌ ^点 _�

• ^{極大値や極 値 複数 在 能性 あ}

• �^′ = ^あ � ^{極大値 極 値 い場 あ ＆踊}

場 う ＇

– ^前後 �^{′ 符号 変化 い ば 極大値 極 値 い}

微

＆第 ₉ 回～第 ₁₂ 回＇

• ^{関数 最大化 最 化}

– ^{関数 符号 替わ 点 注目} 1. ^{関数 値 ロ 点 探}

2. ^{点 前後 関数 符号 確認}

• ^{正 変化} → ^極大

• ^{正 変化} → ^極

• ^変化 → ^{極大 極 い}

3. ^{極値 関数 範囲 端 点 比較 最大値 最} 値 探

• ^{最大値 候補：極大値 関数 範囲 端}

•

微

＆第 ₉ 回～第 ₁₂ 回＇

– ^{増減表 書く 整理}

1. ^{元 関数} _� ^{微 関数} _�^{′ 求}

2.

3. ^{範囲 端 併 記入}

4. ^{各点 前後 点} _�^{′ 値や符号 記入} 5. ^{間 点 い} _�^′ _> ^{増加＆ ＇}

�^′ < ^{減少＆ ＇ 矢印 記入}

6. ^{極値や範囲 端} _� ^{記入 最 値 最大値} 探

例

• = � = − + ^範囲 ≤ ≤

最大値 最 値 求 さい

�

�′ �

� �

例

1. ^{微 関数 求}

�^′ = ^{− +} = −

2. �^′ = ^{点 求}

�^′ = − = ⇒ =

3. ^増減表 0 _{… 1 … 10} ^記入 4. ^{各点 前後 関数 符号や値 確認}

 = �^′ = − ⇒ −

 = �^′ = ⇒ +

5. ^{矢印 記入}

 = ^{点＆極値＇ 符号 正 替わ 点}→^極

  ^{最大値 候補：範囲 端＆} = ^＇

 ^{最 値 候補：極 値＆} = ^{＇ 範囲 端}

6. ^計算

= ⇒ � =

= ⇒ � =

= ⇒ � =

最 値

最大値

例

� ⋯ ⋯

�′ � − − +

� �

均 限界

＆第 ₁₂ 回＇

• ^{均 限界}

– ^{均○○：あ 数1単位あ ○○}

均 _○○=

○○ あ 数

• ^{例： 均費用}(Average Cost : AC)

– ^{生産量＆あ 数＇1単位あ 総費用}

� = ^�

– ^{限界○○：あ 数 追加的 1単位増加 ○○ 変化}

限界 _○○=

d ○○ あ 数

あ 数 _○○ 関数 微

• ^{例：限界費用}(Marginal Cost : MC)

– ^{生産量＆あ 数＇ 追加的 1単位増や 時 総費用 変化}

� = ^� � ^{総費用関数 生産量 微}

均 限界

＆第 ₁₂ 回＇

– ^{限界○○ 微 求 ?＆例：限界費}

用＇

• ^{総費用関数} _{� =} ^＆_� ^{総費用 生産量＇}

– ^{総費用関数：生産量 決 費用総 教え 関数} – ^値 → ^{総費用関数} _{→ �} ^値

• ^{関数 ′ ：接線 傾 教え く 関数}

– ^値 → ^{関数 ′} → ^点 _, ^{接線 傾} – ^{接線 傾 ： 値 い 1増や}

変化 表

– ^{生産量 追加的 1増や 総費用 変化}

＆限界費用＇ 表

• ^{限界費用：} _{� =} ^�� ₌ ^′

– ^{限界費用 生産量 式 表 関数 限界費用関数 呼ぶ}

– → →

例

• ^{長谷川電機 総費用関数} _{� =} ^＆総費用_� ^{生産 数 ＇} あ 場 考え

– 1000 ^{生産 総費用 求}

� = × =

– 1000 ^{生産 均費用 求}

� = ^� = =

– ^{限界費用関数 求}

� = ^� = =

– 1000 ^{生産 い 限界費用 求}

× =

– 1000 ^{生産 い 11万 追加注文 入 注文 受} 答え

> ^{受 い}

： _{= �}

• ^{経済学 勉強 い 必} = � ^{いう式 出会う}

– ^{価格＆ ＇ 限界費用＆}� ^{＇ 等 く いう式} – ^{ういう意味?}

• ^{数学的 考え}

– ^{企業 利潤 最大 い}

– ^利潤；売 －費用；価格×数－費用 – ^{最大化 点 極値}→^{微 0} – ^{利潤 数 微}

d^利潤 d^{数 =}

× − = − � = ⇒ = �

• ^{常識 考え}

– ^限界費用→^{次 1個 作 費用}

– > � →^{次 1個 作 得 収入＜次 1個 作 必要 費用→作 ば} 儲 _→利潤最大 い

– < � →^{次 1個 作 得 収入：次 1個 作 必要 費用}→^{作 損}

→^{利潤最大 い}

– ^{利潤最大 点} = �

弾力性

＆第 ₁₂ 回＇

• ^弾力性

– ^{弾力性：あ 数 1％増え ほ 数 何％増え} 表 数

– ^弾力性

弾力性 ₌

変化率 変化率

= Δ

前 Δ

前

= ^Δ_{Δ ×} ^前 前

• Δ = ^{変化後 値} _後 − ^{変化前 値} _前 ^{＆ 変化 ＇}

• Δ = ^{変化後 値} _後 − ^{変化前 値} _前 ^{＆ 変化 ＇}

例

• ^{牛乳 価格 1％ 需要 2％増え 需要 価格弾力性}

いく _?牛乳 値 売 高 _?

需要 価格弾力性 ₌

需要 変化率

価格 変化率 _{= − = −}

– ^{値 売 増え ＆} _{× . × × . = × .}

• ^需要関数 _{= −} ^{い 4 1 変化 需要}

価格弾力性 求

– ^変化：4→1^＆－3＇ – ^変化：2→8^＆＋6＇

– ^弾力性

Δ 前 Δ

前

= − ^{= ÷ − = × − = −}

数列

＆第 ₁₃ 回＇

• ^{等差数列：前 数 次 数 差＆公差＇ 一定}

数 列

– ^{＆例＇1 3 5 7 9}

– ^{第 項 数：} _{� = + −} – ^{第 項 和：} ₊ ^{� �−}

• ^{等比数列：前 数 次 数 比＆公比＇ 一定}

数 列

– ^{＆例＇1 2 4 8 16}

– ^{第 項 数：} _{� =} ^�− – ^{第 項 和： −}₋ ^�−

数列

＆第 ₁₃ 回＇

• ^{無限等比数列 和}

 > ⇒ > ∞ , < − ∞

 = ⇒ > ∞ , < − ∞

 < − ⇒ ∞ − ∞ ^{交互 ＆ 数 掛 算}

回数 ＇

− < < ⇒

例

• ^{初項1 公差2 等差数列 5番目 数 5番目 数} 和 求

– 5^{番目 数} _{+ − × =}

– 5^{番目 数 和} ₊ ^{× − ×} ₌

• ^{初項1 公比0.5 等比数列 5番目 数 5番目 数} 和 無限 和 求

– 5^{番目 数} _{× .} ⁻ _{= × =}

– 5^{番目 数 和 × − .}_{− .} ⁻ ₌ ^{× −}_{. = × = 8} – ^{無限 和} _{− . =}