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(1)

力学演習

No.5 (May 19, 2010) 簡単な運動I∼落下・投げ上げ・放物運動∼ 1

例題1. 高さy0から初速度0で自由落下する質点*1について以下の問いに答えよ。

mg

mg

t=0

v

0

=0

t

v

y

y

y

0

1-1.鉛直上方をy軸に選び,運動の概略が分かるように図示せよ。高さの基準と

して地面をy= 0とする。

1-2.運動方程式を書け。

md 2

y

dt2 =−mg. (1)

1-3.運動方程式をtで積分し,時刻tにおけるy方向の速度vy(t)を求めよ。 (1)より

d2 y dt2 =−g

d2y

dt2dt=

(−g)dt

dy

dt =−gt+C1 (2)

となる。

初期条件(境界条件): t= 0のときvy(0) = 0→C1= 0と定まる。これを(2)に代入して

vy(t) =

dy

dt =−gt. (3)

1-4.運動方程式をもう一度tで積分し,時刻tでの高さy(t)を求めよ。

dy

dtdt= ∫

(−g)tdt

y(t) =−1 2gt

2

+C2 (4)

となる。

初期条件: t= 0のときy(0) =y0→C2=y0と定まる。これを(4)に代入して

y(t) =−1 2gt

2

+y0 (5)

となる。

1-5.質点が地面に落下する時刻t1を求めよ。また,得られたt1の次元が時間Tであることを確認せよ*2。

y(t1) =−

1 2gt

2

1+y0= 0 (地面の高さは0)

t21=

2y0 g

t1=

2y0

g ∵ t1>0 (6)

物理量Aの次元を[A]と表すと

[t1] = [y0] 1

2[g]−12 = [L]21[LT−2]−12 =T (7)

よってt1の次元は,時間T である。

1-6.vy(t)とy(t)をtの関数としてグラフで表せ。

*1

質点:大きさ0,質量だけを持つ理想的な粒子。

*2

長さL,質量M,時間T,電荷Q,温度Θを基本量と考えることで,全ての物理量は基本量の組み立て単位として表すことがで きる。SI単位系における基本量の単位はそれぞれm,kg,s,C,Kである。ただしSI単位系の基本単位には,電荷でなく電流 Aが採用されている。電流の次元はCT−

1

(2)

2

問題1. 地面から初速度v0で質点を垂直に投げ上げた場合について以下の問いに答えよ。

1-1.鉛直上方をy軸に選び,運動の概略が分かるように図示せよ。高さの基準として地面をy= 0とする。

1-2.運動方程式を書け。

1-3.運動方程式をtで積分し,時刻tにおけるy方向の速度vy(t)を求めよ。 1-4.運動方程式をもう一度tで積分し,時刻tでの高さy(t)を求めよ。 1-5.質点が最高点に到達する時刻thとその高さyhを求めよ。

✎最高点では速度vyが0になることを用いる。

1-6.地面に 落下 する 時刻t1と その瞬 間の 速度vy(t1)を求め よ。ま たt1とthにはど んな 関係 があ るか?

vy(t1)とv0にはどんな関係があるか?

1-7.vy(t)とy(t)をtの関数としてグラフで表せ。

問題2. 水平面のある方向をx軸,鉛直上方をy軸とする。xy平面内の仰角αの方向に*3原点から初速度V

で質点を投げる場合を考える。

2-1.運動の概略が分かるように図示せよ。

2-2.初速度のx成分とy成分をV :=|V|とαを用いて表せ。 2-3.x方向,y方向の運動方程式を書け。

2-4.x方向の運動は容易に解けるので,先に積分してその速度vx(t)と位置x(t)を求めよ。 2-5.y方向の運動方程式をtで積分し,時刻tでの速度vy(t)を求めよ。

2-6.y方向の運動方程式をもう一度tで積分し,時刻tでの位置y(t)を求めよ。 2-7.質点が最高点に到達する時刻thとその高さyhを求めよ。

✎最高点では速度vyが0になることを用いる。

2-8.地面に落下する時刻t1と落下地点のx座標x1を求めよ。またt1とthにはどんな関係があるか。 2-9.x1が最大となる投射角度をαmaxとする。αmaxとその到達距離l:=x1(αmax)を求めよ。V が40m/s の場合,lは何mになるか?

2-10.vx(t), vy(t), x(t), y(t)をtの関数としてグラフで表せ。

2-11.yをxの関数として表し運動の経路を求めよ。またこの経路が放物線となることを確認せよ。

2-12.この質点を点P = (X, Y)にある的に当てるには投射角αをどう選べばよいか。的に命中するとき

の角度αを求めよ。(tanαを求めればよい。)

2-13.初速V で命中させることのできる領域を求めよ。

*3

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