E in QMExam2017 ans 最近の更新履歴 物理学ノート E in QMExam2017 ans

初等量子力学演習 (Wednesday August 2, 2017) 期末試験 解答例&解説 1 問題1.次の問題を解け。 (20点)

1-1._次の3つの現象や実験を，光の粒子性を示すものと 波動性を示すものとに分けよ。

•^光電効果

•ヤング・テイラーの実験

•^{コンプトン効果}

答．粒子性：光電効果，コンプトン効果， 波動性：ヤング・テイラーの実験

1-2. φ(x, t), χ(x, t) ^{を任意の関数とする。}⟨φ, χ⟩ ^を積分 で表わせ。また，_{⟨φ, χ⟩}と_{⟨ χ, φ⟩}の関係を書け。

答．空間1次元の場合，内積の定義は

⟨φ, χ⟩ =

∫ _∞

−∞

φ^∗(x, t) χ(x, t)dx ⁽¹⁾ また

⟨ χ, φ⟩ =

∫ _∞

−∞

χ^∗(x, t)φ(x, t)dx なので

⟨ χ, φ⟩ = ⟨φ, χ⟩^{∗. (2)}

1-3.一般に，波動関数ψ_{(r, t)}の規格化

∭ _∞

−∞ ^{|ψ(r, t)|} 2d³_{r =}

∭ _∞

−∞

ψ^∗(r, t)ψ(r, t)d³r = 1 (3) は時刻に依存しない。この結果から何が言えるか? （上 式が時刻に依存しないことは示さなくて良い。）

答．波動関数の規格化(3) が時刻に依存しないので， 任意の時刻に1度だけ規格化すれば，Schrödinger方程 式で時間発展する限り，いかなる時刻でも規格化条件が 成り立つ。よって各時刻毎に規格化する必要は無い。つ まり全確率が保存し，どの時刻においても波動関数の絶 対値の2乗は確率密度と見なせる。これは，Schrödinger 方程式による時間発展が，ユニタリであることに因る。 問題2.波動関数がψ(r, t) = f (t) u(r)^{と変数分離できる} とする。これをSchrödinger方程式に代入し，f_(t)およ びu_(r) が満たすべき方程式を導け。変数分離で生じる 定数はE とする。 (20点) 答．与えられた波動関数をSchrödinger方程式に代入 すると

iℏ ^∂

∂t ^{f(t) u(r) =} [

− ^ℏ

2

2_m^{△ + V(r)} ]

f_{(t) u(r).}

両辺を^ψ(r, t) = f (t) u(r)^で割ると iℏ

f_(t)

∂ f_(t)

∂t ⁼ 1 u_(r)

[

− ^ℏ

2

2_m^{△ + V(r)} ]

u_(r) (4)

となる。ここで左辺はt だけの関数，右辺は_r だけの関 数である。いま t と _r は互いに独立な変数なので，(4) が任意の t と任意と _r とで成立するには，両辺とも定 数でなくてはならない。この定数を E とおいて整理す ると

iℏ^df(t)

dt ^{= E f(t), (5)} [

− ^ℏ

2

2_m^{△ + V(r)} ]

u(r) = E u(r). ⁽⁶⁾ を得る。⁽⁶⁾は時間に依らない Schrödinger_{方程式と呼} ばれ，定常状態の考察に用いられる。

問題3.波動関数ψ_{(x) = Ne}⁻

α

2(x−b)²+ik x_{で表される粒子}

について調べる。 (30点) 3-1. 規格化条件より N を決定し，規格化された波動関 数を定めよ。

答．規格化の定義とガウス積分の公式より

∫ _∞

−∞

ψ^∗(x)ψ(x)dx = |N |²

∫ _∞

−∞

e^{−α(x−b)2}dx

= _{|N |}²

∫ _∞

−∞

e^−αy2_{dy =}^{√ π} α^{|N |}

2= 1.

x_{− b = yと変数変換した。}N _{を正の実数に選べば}

N = ^(α π

)¹₄ 従って規格化された波動関数は

ψ_{(x) =} (_α

π )¹₄

e⁻

α

2(x−b)²+ik x_{. (7)}

3-2._確率密度 ρ_{(x)を求め図示せよ。} 答．確率密度の定義より

 ρ_{(x) = ψ}^∗_{(x)ψ(x) =}^{√ α} π ^e

−α(x−b)²_{. (8)}

x = b^{を中心とし，頂点の値 ρ}(b) =^{√ α}

π ^{のガウス関数。} 3-3.粒子を観測したとき，x > bの範囲に見つかる確率 はどれだけか?

答．図より確率密度 ρ_(x)は _{x = b}を境に線対称なの

で，x ≶ bに見つかる確率も半分ずつ。つまり粒子を観

測したとき，x > bの範囲に見つかる確率は ¹

2 ^となる。

3-4.位置の期待値 _⟨x⟩を計算せよ。

答．期待値の定義とガウス積分の公式より

⟨x⟩ =

∫ _∞

−∞

ψ^∗_{(x)xψ(x) =}^{√ α} π

∫ _∞

−∞

x e^{−α(x−b)2}dx

= ^{√ α} π

∫ _∞

−∞^{(y + b) e}

−αy²_dy

= b. ⁽⁹⁾

最後は，奇関数を _−∞から_∞まで積分すれば⁰になる ことを使った。

初等量子力学演習 (Wednesday August 2, 2017) 期末試験 解答例&解説 2 問題4. x軸上を運動する質量mの粒子に (30点)

V_{(x) =}

{0 (0 ≤ x ≤ L),

∞ (^{上の範囲外}) のようなポテンシャルが作用している。

以下，⁰ _{≤ x ≤ L}の範囲で考える。

4-1.エネルギー E に対応する波動関数をu_(x)とし，定 常状態のSchrödinger方程式を書け。

答．定常状態に対する一般のSchrödinger方程式は (

− ^ℏ

2

2_m d²

dx^{2 + V(x)} )

u(x) = Eu(x).

いま⁰ _{≤ x ≤ L} の範囲ではV_{(x) = 0}で一定の自由粒子 なので，Schrödinger方程式は

− ^ℏ

2

2_m

d²u_(x)

dx^{2 = Eu(x). (10)}

4-2. 境界条件 u(0) = u(L) = 0 ^{を採用し，系のエネル} ギー準位 E_n および線形独立な規格化された波動関数 u_n(x)を求めよ。量子数nの値を明示すること。E > 0 として良い。

答．(10)の一般解は

u(x) = A sin k x + B cos k x. ただし

k =

√2_mE

ℏ ^{. (11)}

境界条件より

u(0) = B = 0, u(L) = A sin k L = 0. よって波数k は，整数nを用いて

k_{n =} ^π

L^{n (12)}

と表される。これより

u_n(x) = A sin^nπ

L ^{x. (13)}

ここで正弦関数の偶奇性から

u_{−n(x) = −un(x)}

なので，u_−n(x) はu_n(x)と独立ではない。また _{n = 0} は，恒等的にu_{(x) = 0}の自明解しか与えないため，nは 正整数だけに限られる。(11)をE について解けば

E_{n =} ^ℏ

2k²_n 2_m ⁼

π^2ℏ2 2_mL^{2 n}

2, n = 1, 2, 3, . . . ⁽¹⁴⁾

となり，離散化されたエネルギーレベルが得られる。 ちなみにE _{≤ 0} では与えられた境界条件を満たす非 自明な解が存在しないため，E > 0に限った。

(13)を規格化すると

∫ L 0

u^∗_n(x)un(x)dx =| A|²

∫ L 0

sin^{2 nπ} L ^{x dx}

=^L_{2 |}^A|² = 1.

∴ _{A =}

√2 L

ここで Aを正の実数に選んだ。従って規格化された波 動関数は

u_{n(x) =}

√2 L ^sin

nπ

L ^x (n = 1, 2, 3, . . . ) ⁽¹⁵⁾ と決まる。

4-3.波動関数u_n(x)に対して，運動量の期待値_{⟨ ˆp⟩}を計 算せよ。

答．任意の量子数nの波動関数u_n(x)に対して

⟨ ˆp⟩ =

∫ _∞

−∞

u^∗_n(x)^ℏ i

du_n(x) dx ^dx

= 2ℏ iL

∫ _∞

−∞

sin^nπ L ^x

d dx^sin

nπ L ^xdx

= 2ℏ iL

∫ _∞

−∞

sin^nπ L ^{x cos}

nπ L ^xdx

= ℏ iL

[

sin^{2 nπ} L ^x

]L

0 ^{= 0 (16)}

の通りに，運動量の期待値は0になる。これは，波動関 数(15)を

u_{n(x) =} ¹ 2_i

√2 L^(e

iknx

− e^−iknx) ⁽¹⁷⁾

と書き換えると分かりやすい。(17)は，_{p = ℏk} の波と p =−ℏk の波との同じ割合での重ね合わせなので，正味 の運動量が打ち消されている。いわゆる定常波を作っ ていることになる。

古典的な粒子で例えると，⁰ _{≤ x ≤ L}内で xの正方向 に進む粒子が，_{x = L}の剛体壁で弾性衝突してそのまま 負方向に進み，また_{x = 0}の剛体壁で弾性衝突して正方 向に進む運動をくり返す。よって正方向に進む粒子と 負方向に進む粒子が全く同じ量だけ存在するのである。