E in QMExam2017 ans 最近の更新履歴 物理学ノート E in QMExam2017 ans

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全文

(1)

初等量子力学演習

(Wednesday August 2, 2017)

期末試験 解答例

&

解説

1

問題

1.

次の問題を解け。

(20

)

1-1.

次の

3

つの現象や実験を,光の粒子性を示すものと

波動性を示すものとに分けよ。

光電効果

ヤング・テイラーの実験

コンプトン効果

答.

粒子性:光電効果,コンプトン効果,

波動性:ヤング・テイラーの実験

1-2.

φ

(

x

,

t

)

, χ

(

x

,

t

)

を任意の関数とする。

φ, χ

を積分

で表わせ。また,

φ, χ

χ, φ

の関係を書け。

答.

空間

1

次元の場合,内積の定義は

φ, χ

=

−∞

φ

(

x

,

t

)

χ

(

x

,

t

)

dx

(1)

また

χ, φ

=

−∞

χ

(

x

,

t

)

φ

(

x

,

t

)

dx

なので

χ, φ

=

φ, χ

.

(2)

1-3.

一般に,波動関数

ψ

(r

,

t

)

の規格化

−∞

|

ψ

(r

,

t

)|

2

d

3

r

=

−∞

ψ

(r

,

t

)

ψ

(r

,

t

)

d

3

r

=

1

(3)

は時刻に依存しない。この結果から何が言えるか?

(上

式が時刻に依存しないことは示さなくて良い。)

答.

波動関数の規格化

(3)

が時刻に依存しないので,

任意の時刻に

1

度だけ規格化すれば,Schrödinger

方程

式で時間発展する限り,いかなる時刻でも規格化条件が

成り立つ。よって各時刻毎に規格化する必要は無い。つ

まり全確率が保存し,どの時刻においても波動関数の絶

対値の

2

乗は確率密度と見なせる。これは,

Schrödinger

方程式による時間発展が,ユニタリであることに因る。

問題

2.

波動関数が

ψ

(r

,

t

)

=

f

(

t

)

u

(r

)

と変数分離できる

とする。これを

Schrödinger

方程式に代入し,

f

(

t

)

およ

u

(r

)

が満たすべき方程式を導け。変数分離で生じる

定数は

E

とする。

(20

)

答.

与えられた波動関数を

Schrödinger

方程式に代入

すると

i

t

f

(

t

)

u

(r

)

=

[

2

2

m

+

V

(r

)

]

f

(

t

)

u

(r

)

.

両辺を

ψ

(r

,

t

)

=

f

(

t

)

u

(r)

で割ると

i

f

(

t

)

f

(

t

)

t

=

1

u

(r

)

[

2

2

m

+

V

(r

)

]

u

(r

)

(4)

となる。ここで左辺は

t

だけの関数,右辺は

r

だけの関

数である。いま

t

r

は互いに独立な変数なので,(4)

が任意の

t

と任意と

r

とで成立するには,両辺とも定

数でなくてはならない。この定数を

E

とおいて整理す

ると

i

df

(

t

)

dt

=

E f

(

t

)

,

(5)

[

2

2

m

+

V

(r

)

]

u

(r

)

=

E u

(r

)

.

(6)

を得る。

(6)

は時間に依らない

Schrödinger

方程式と呼

ばれ,定常状態の考察に用いられる。

問題

3.

波動関数

ψ

(

x

)

=

N e

− α

2(x−b) 2

+ik x

で表される粒子

について調べる。

(30

)

3-1.

規格化条件より

N

を決定し,規格化された波動関

数を定めよ。

答.

規格化の定義とガウス積分の公式より

−∞

ψ

(

x

)

ψ

(

x

)

dx

=

|

N

|

2

−∞

e

−α(x−b)2

dx

=

|

N

|

2

−∞

e

−αy2

d

y

=

π

α

|

N

|

2

=

1

.

x

b

=

y

と変数変換した。

N

を正の実数に選べば

N

=

(

α

π

)

14

従って規格化された波動関数は

ψ

(

x

)

=

(

α

π

)

14

e

− α

2(x−b) 2

+ik x

.

(7)

3-2.

確率密度

ρ

(

x

)

を求め図示せよ。

答.

確率密度の定義より

ρ

(

x

)

=

ψ

(

x

)

ψ

(

x

)

=

α

π

e

−α(x−b)2

.

(8)

x

=

b

を中心とし,頂点の値

ρ

(

b

)

=

α

π

のガウス関数。

3-3.

粒子を観測したとき,

x

>

b

の範囲に見つかる確率

はどれだけか?

答.

図より確率密度

ρ

(

x

)

x

=

b

を境に線対称なの

で,

x

b

に見つかる確率も半分ずつ。つまり粒子を観

測したとき,

x

>

b

の範囲に見つかる確率は

1

2

となる。

3-4.

位置の期待値

x

を計算せよ。

答.

期待値の定義とガウス積分の公式より

x

=

−∞

ψ

(

x

)

x

ψ

(

x

)

=

α

π

−∞

x e

−α(x−b)2

dx

=

α

π

−∞

(

y

+

b

)

e

−αy

2

d

y

=

b

.

(9)

最後は,奇関数を

−∞

から

まで積分すれば

0

になる

(2)

初等量子力学演習

(Wednesday August 2, 2017)

期末試験 解答例

&

解説

2

問題

4.

x

軸上を運動する質量

m

の粒子に

(30

)

V

(

x

)

=

{

0

(

0

x

L

)

,

∞ (

上の範囲外

)

のようなポテンシャルが作用している。

以下,

0

x

L

の範囲で考える。

4-1.

エネルギー

E

に対応する波動関数を

u

(

x

)

とし,定

常状態の

Schrödinger

方程式を書け。

答.

定常状態に対する一般の

Schrödinger

方程式は

(

2

2

m

d

2

dx

2

+

V

(

x

)

)

u

(

x

)

=

Eu

(

x

)

.

いま

0

x

L

の範囲では

V

(

x

)

=

0

で一定の自由粒子

なので,Schrödinger

方程式は

2

2

m

d

2

u

(

x

)

dx

2

=

Eu

(

x

)

.

(10)

4-2.

境界条件

u

(

0

)

=

u

(

L

)

=

0

を採用し,系のエネル

ギー準位

E

n

および線形独立な規格化された波動関数

u

n

(

x

)

を求めよ。量子数

n

の値を明示すること。

E

>

0

として良い。

答.

(10)

の一般解は

u

(

x

)

=

A

sin

k x

+

B

cos

k x

.

ただし

k

=

2

mE

.

(11)

境界条件より

u

(

0

)

=

B

=

0

,

u

(

L

)

=

A

sin

k L

=

0

.

よって波数

k

は,整数

n

を用いて

k

n

=

π

L

n

(12)

と表される。これより

u

n

(

x

)

=

A

sin

n

π

L

x

.

(13)

ここで正弦関数の偶奇性から

u

n

(

x

)

=

u

n

(

x

)

なので,

u

n

(

x

)

u

n

(

x

)

と独立ではない。また

n

=

0

は,恒等的に

u

(

x

)

=

0

の自明解しか与えないため,

n

正整数だけに限られる。(11)

E

について解けば

E

n

=

2

k

2

n

2

m

=

π

2

2

2

mL

2

n

2

,

n

=

1

,

2

,

3

, . . .

(14)

となり,離散化されたエネルギーレベルが得られる。

ちなみに

E

0

では与えられた境界条件を満たす非

自明な解が存在しないため,

E

>

0

に限った。

(13)

を規格化すると

L

0

u

n

(

x

)

u

n

(

x

)

dx

=|

A

|

2

L

0

sin

2

n

π

L

x dx

=

L

2

|

A

|

2

=

1

.

A

=

2

L

ここで

A

を正の実数に選んだ。従って規格化された波

動関数は

u

n

(

x

)

=

2

L

sin

n

π

L

x

(

n

=

1

,

2

,

3

, . . .

)

(15)

と決まる。

4-3.

波動関数

u

n

(

x

)

に対して,運動量の期待値

p

ˆ

を計

算せよ。

答.

任意の量子数

n

の波動関数

u

n

(

x

)

に対して

p

ˆ

=

−∞

u

n

(

x

)

i

du

n

(

x

)

dx

dx

=

2

iL

−∞

sin

n

π

L

x

d

dx

sin

n

π

L

xdx

=

2

iL

−∞

sin

n

π

L

x

cos

n

π

L

xdx

=

iL

[

sin

2

n

π

L

x

]

L

0

=

0

(16)

の通りに,運動量の期待値は

0

になる。これは,波動関

(15)

u

n

(

x

)

=

1

2

i

2

L

(

e

iknx

e

−iknx

)

(17)

と書き換えると分かりやすい。(17)

は,

p

=

k

の波と

p

=

k

の波との同じ割合での重ね合わせなので,正味

の運動量が打ち消されている。いわゆる定常波を作っ

ていることになる。

古典的な粒子で例えると,

0

x

L

内で

x

の正方向

に進む粒子が,

x

=

L

の剛体壁で弾性衝突してそのまま

負方向に進み,また

x

=

0

の剛体壁で弾性衝突して正方

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参照

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