(1)
(2)
初等量子力学演習
(Wednesday August 2, 2017)期末試験 解答例
&
解説
1
問題
1.
次の問題を解け。
(20
点
)
1-1.
次の
3
つの現象や実験を，光の粒子性を示すものと
波動性を示すものとに分けよ。
•
光電効果
•
ヤング・テイラーの実験
•
コンプトン効果
答．
粒子性：光電効果，コンプトン効果，
波動性：ヤング・テイラーの実験
1-2.
φ
(
x
,
t
)
, χ
(
x
,
t
)
を任意の関数とする。
⟨
φ, χ
⟩
を積分
で表わせ。また，
⟨
φ, χ
⟩
と
⟨
χ, φ
⟩
の関係を書け。
答．
空間
1
次元の場合，内積の定義は
⟨
φ, χ
⟩
=
∫
∞−∞
φ
∗(
x
,
t
)
χ
(
x
,
t
)
dx
(1)
また
⟨
χ, φ
⟩
=
∫
∞−∞
χ
∗(
x
,
t
)
φ
(
x
,
t
)
dx
なので
⟨
χ, φ
⟩
=
⟨
φ, χ
⟩
∗.
(2)
1-3.
一般に，波動関数
ψ
(r
,
t
)
の規格化
∭
∞−∞
|
ψ
(r
,
t
)|
2d
3r
=
∭
∞−∞
ψ
∗(r
,
t
)
ψ
(r
,
t
)
d
3r
=
1
(3)
は時刻に依存しない。この結果から何が言えるか?
（上
式が時刻に依存しないことは示さなくて良い。）
答．
波動関数の規格化
(3)
が時刻に依存しないので，
任意の時刻に
1
度だけ規格化すれば，Schrödinger
方程
式で時間発展する限り，いかなる時刻でも規格化条件が
成り立つ。よって各時刻毎に規格化する必要は無い。つ
まり全確率が保存し，どの時刻においても波動関数の絶
対値の
2
乗は確率密度と見なせる。これは，
Schrödinger
方程式による時間発展が，ユニタリであることに因る。
問題
2.
波動関数が
ψ
(r
,
t
)
=
f
(
t
)
u
(r
)
と変数分離できる
とする。これを
Schrödinger
方程式に代入し，
f
(
t
)
およ
び
u
(r
)
が満たすべき方程式を導け。変数分離で生じる
定数は
E
とする。
(20
点
)
答．
与えられた波動関数を
Schrödinger
方程式に代入
すると
i
ℏ
∂
∂
t
f
(
t
)
u
(r
)
=
[
−
ℏ
22
m
△
+
V
(r
)
]
f
(
t
)
u
(r
)
.
両辺を
ψ
(r
,
t
)
=
f
(
t
)
u
(r)
で割ると
i
ℏ
f
(
t
)
∂
f
(
t
)
∂
t
=
1
u
(r
)
[
−
ℏ
22
m
△
+
V
(r
)
]
u
(r
)
(4)
となる。ここで左辺は
t
だけの関数，右辺は
r
だけの関
数である。いま
t
と
r
は互いに独立な変数なので，(4)
が任意の
t
と任意と
r
とで成立するには，両辺とも定
数でなくてはならない。この定数を
E
とおいて整理す
ると
i
ℏ
df
(
t
)
dt
=
E f
(
t
)
,
(5)
[
−
ℏ
22
m
△
+
V
(r
)
]
u
(r
)
=
E u
(r
)
.
(6)
を得る。
(6)
は時間に依らない
Schrödinger
方程式と呼
ばれ，定常状態の考察に用いられる。
問題
3.
波動関数
ψ
(
x
)
=
N e
− α2(x−b) 2
+ik x
で表される粒子
について調べる。
(30
点
)
3-1.
規格化条件より
N
を決定し，規格化された波動関
数を定めよ。
答．
規格化の定義とガウス積分の公式より
∫
∞−∞
ψ
∗(
x
)
ψ
(
x
)
dx
=
|
N
|
2∫
∞−∞
e
−α(x−b)2dx
=
|
N
|
2∫
∞−∞
e
−αy2d
y
=
√
π
α
|
N
|
2
=
1
.
x
−
b
=
y
と変数変換した。
N
を正の実数に選べば
N
=
(
α
π
)
14従って規格化された波動関数は
ψ
(
x
)
=
(
α
π
)
14e
− α2(x−b) 2
+ik x
.
(7)
3-2.
確率密度
ρ
(
x
)
を求め図示せよ。
答．
確率密度の定義より
ρ
(
x
)
=
ψ
∗(
x
)
ψ
(
x
)
=
√
α
π
e
−α(x−b)2
.
(8)
x
=
b
を中心とし，頂点の値
ρ
(
b
)
=
√
α
π
のガウス関数。
3-3.
粒子を観測したとき，
x
>
b
の範囲に見つかる確率
はどれだけか?
答．
図より確率密度
ρ
(
x
)
は
x
=
b
を境に線対称なの
で，
x
≶
b
に見つかる確率も半分ずつ。つまり粒子を観
測したとき，
x
>
b
の範囲に見つかる確率は
1
2
となる。
3-4.
位置の期待値
⟨
x
⟩
を計算せよ。
答．
期待値の定義とガウス積分の公式より
⟨
x
⟩
=
∫
∞−∞
ψ
∗(
x
)
x
ψ
(
x
)
=
√
α
π
∫
∞−∞
x e
−α(x−b)2dx
=
√
α
π
∫
∞−∞
(
y
+
b
)
e
−αy2
d
y
=
b
.
(9)
最後は，奇関数を
−∞
から
∞
まで積分すれば
0
になる
初等量子力学演習
(Wednesday August 2, 2017)期末試験 解答例
&
解説
2
問題
4.
x
軸上を運動する質量
m
の粒子に
(30
点
)
V
(
x
)
=
{
0
(
0
≤
x
≤
L
)
,
∞ (
上の範囲外
)
のようなポテンシャルが作用している。
以下，
0
≤
x
≤
L
の範囲で考える。
4-1.
エネルギー
E
に対応する波動関数を
u
(
x
)
とし，定
常状態の
Schrödinger
方程式を書け。
答．
定常状態に対する一般の
Schrödinger
方程式は
(
−
ℏ
22
m
d
2dx
2+
V
(
x
)
)
u
(
x
)
=
Eu
(
x
)
.
いま
0
≤
x
≤
L
の範囲では
V
(
x
)
=
0
で一定の自由粒子
なので，Schrödinger
方程式は
−
ℏ
22
m
d
2u
(
x
)
dx
2=
Eu
(
x
)
.
(10)
4-2.
境界条件
u
(
0
)
=
u
(
L
)
=
0
を採用し，系のエネル
ギー準位
E
nおよび線形独立な規格化された波動関数
u
n(
x
)
を求めよ。量子数
n
の値を明示すること。
E
>
0
として良い。
答．
(10)
の一般解は
u
(
x
)
=
A
sin
k x
+
B
cos
k x
.
ただし
k
=
√
2
mE
ℏ
.
(11)
境界条件より
u
(
0
)
=
B
=
0
,
u
(
L
)
=
A
sin
k L
=
0
.
よって波数
k
は，整数
n
を用いて
k
n=
π
L
n
(12)
と表される。これより
u
n(
x
)
=
A
sin
n
π
L
x
.
(13)
ここで正弦関数の偶奇性から
u
−n(
x
)
=
−
u
n(
x
)
なので，
u
−n(
x
)
は
u
n(
x
)
と独立ではない。また
n
=
0
は，恒等的に
u
(
x
)
=
0
の自明解しか与えないため，
n
は
正整数だけに限られる。(11)
を
E
について解けば
E
n=
ℏ
2k
2n
2
m
=
π
2ℏ
22
mL
2n
2,
n
=
1
,
2
,
3
, . . .
(14)
となり，離散化されたエネルギーレベルが得られる。
ちなみに
E
≤
0
では与えられた境界条件を満たす非
自明な解が存在しないため，
E
>
0
に限った。
(13)
を規格化すると
∫
L0
u
∗n(
x
)
u
n(
x
)
dx
=|
A
|
2
∫
L0
sin
2n
π
L
x dx
=
L
2
|
A
|
2=
1
.
∴
A
=
√
2
L
ここで
A
を正の実数に選んだ。従って規格化された波
動関数は
u
n(
x
)
=
√
2
L
sin
n
π
L
x
(
n
=
1
,
2
,
3
, . . .
)
(15)
と決まる。
4-3.
波動関数
u
n(
x
)
に対して，運動量の期待値
⟨
p
ˆ
⟩
を計
算せよ。
答．
任意の量子数
n
の波動関数
u
n(
x
)
に対して
⟨
p
ˆ
⟩
=
∫
∞−∞
u
∗n(
x
)
ℏ
i
du
n(
x
)
dx
dx
=
2
ℏ
iL
∫
∞−∞
sin
n
π
L
x
d
dx
sin
n
π
L
xdx
=
2
ℏ
iL
∫
∞−∞
sin
n
π
L
x
cos
n
π
L
xdx
=
ℏ
iL
[
sin
2n
π
L
x
]
L0
=
0
(16)
の通りに，運動量の期待値は
0
になる。これは，波動関
数
(15)
を
u
n(
x
)
=
1
2
i
√
2
L
(
e
iknx
