確率論入門 経済統計 鹿野研究室

担当：鹿野（大阪府立大学）

2014 年度前期

はじめに

前回の復習

 二次元データの散布図：正の相関、負の相関。

 共分散と相関係数、共分散と散布図の対応関係。

今回学ぶこと

 確率論とは何か？

 事象。

 確率。

 テキスト該当箇所：_4.1∼4.3章。

1 ^{確率論とは何か？}

1.1

^{確率論： 「偶然」を制御する}

 例：コイントス。何が出るか、事前に分からない。しかし次の二点は、事前に確定。

1. コインを投げたら表と裏、どちらかが出る。 2. 歪みななければ、表の出る確率₌ ¹

2^{、裏の出る確率=} 1 2^。

 例：サイコロ。何が出るか、事前に分からない。しかし次の二点は、事前に確定。

1. ^{サイコロを投げたら}1 ∼ 6^{のどれかが出る。} 2. ^{歪みななければ、}1 ∼ 6の各目が出る確率は全て¹

6^。

 _Remark：上記二つの例の共通点。

1. ^{前もって「 」を全て列挙できる。（∴}「ナニが起こるか分からな い」のではなく、「ドレが起こるか分からない」状態。）

2. 「起こりうること」それぞれに、数量で「 」を与える・測ることが できる。

1

 確率論の基本概念：試行・事象・確率

⊲ 試行：偶然に左右され、事前に結果が分からない行動を、 （確率的試行）と 呼ぶ。例：「サイコロを振る。」

⊲ 事象：試行の結果として起こり得る事柄を、 と呼ぶ。例：「サイコロを振っ て₁が出る。」

⊲ 確率：事象それぞれの起こりやすさを測った数量を、 と呼ぶ。例：「サイコ ロを振って₁が出る確率は¹

6^。」

 確率論：事象を列挙してその全てに確率を与え、偶然の背後にある秩序・規則性を整理す る手法を、 と呼ぶ。

⊲ ∴^確率論₌「偶然」を制御し、人間の管理下に置く技術。

⊲ 統計的推測（講義ノート_#01）と確率論：標本から母集団の性質を推測する際に発生 する、分析結果の偏りや誤差_→確率論を使えば、「限られたサンプル数で、どうす れば偏り・誤差を小さくできるか」を議論できる。

2 ^事象

2.1

標本空間・標本点と事象

 標本空間：起こりうる結果を全て並べた集合を と呼び、_Ω（大文字のオメ ガ）で表す。

⊲ 例：コイントスの標本空間は_{Ω = {}裏_,表_}。

⊲ 例：サイコロの標本空間はΩ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}^。

⊲ ∴_Ωは、分析している試行に応じて変わる。

 標本点：標本空間の要素を と呼び、任意の標本点を_ω（小文字のオメガ）で表 す。_{ω∈ Ω}。

⊲ ^{例：コイントスの}_Ω^は、2^{つの標本点（}ω₌^裏,^{表）から成る。}

⊲ ^{例：サイコロの}_Ω^は、6^{つの標本点（}ω= 1, 2, . . . , 6^{）から成る。}

 事象：標本点_ωを組み合わせて出来る集合を と呼び、_Aで表す。（複数ある場合 は_{A, B}など。）∴事象は標本空間の部分集合。_{A ⊂ Ω}。

⊲ 例：サイコロの標本空間Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}^{で、事象「奇数」は}A = {1, 3, 5}^。事象

「₃より大きい」はA = {4, 5, 6}^{。事象「2」は}A = {2}^。

⊲ ∴標本点ωを、「事象_Aを作るための最小単位」と考えれば良い。

 _Remark： による表記法_⇒事象を統一的に扱う。

⊲ ^{はじめに標本空間}_Ω^{ありき：まず}_Ω（大枠）を設定し、その部分集合として任意の 事象_{A ⊂ Ω}を表現。

#㧦A ߣ B ߪឃ෻

ǡ

&㧦A ߩ⵬੐⽎ A

ǡ

A B

%㧦Ⓧ੐⽎ AъB

ǡ

A B

$㧦๺੐⽎ AыB

ǡ

A B

A

A

図_1:事象の図示（ベン図）

2.2

^{事象の演算}

 排反（図_1A）：標本空間_Ω上の二つの事象_Aと_Bについて、_Aと_Bが同時に起こりえな い場合、_Aと_Bは互いに であるという。

⊲ A^{に含まれる標本点}ω∈A^と、B^{に含まれる標本点}ω∈B^{に、共通部分が 。}

⊲ ^{例：サイコロ投げ}Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}^{に関する二つの事象、「奇数」}B = {1, 3, 5}^と「2」 A = {2}^{は、互いに排反。}

 和事象（図_1B）：_Ω上の二つの事象_Aと_Bについて、「_Aと_Bのうち、少なくとも一方が 成立（_{⇔A B}）」という事象を と呼び、次のように表記。

A ∪ B. (1)

⊲ ∪^{は「カップ」と読む。}A^とBを全てカップの中に入れるイメージ。

⊲ ^例：Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}（サイコロ）上の事象、「₄より大きい」_{A = {5, 6}}と「奇数」 B = {1, 3, 5}^{の和事象は}

A ∪ B = ^（4より大きいか、または奇数）_{. (2)}

 積事象（図_1C）：_Ω上の二つの事象_Aと_Bについて、「_Aと_Bの双方が成立（_{⇔A B}）」 という事象を と呼び、次のように表記。

A ∩ B. (3)

⊲ ∩^{は「キャップ」と読む。}A^とB^{の共通部分をキャ}ップ＝帽子で上から抑えるイメージ。

⊲ ^例：Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}^{上の二つの事象、「4より大きい」}A = {5, 6}^{と「奇数」}B = {1, 3, 5}^{の積事象は}

A ∩ B = ^（4より大きく、かつ奇数）_{. (4)}

 _Remark：_Web検索で言えば、単体の事象_Aや_Bは「 検索」、和事象_{A ∪ B}

は「 検索」、積事象_{A ∩ B}は「 検索」。

⊲ ベン図から明らかな通り、 。∴ _{A ∩ B}は、_{A ∪ B}よりキツイ条件。

⊲ ^{例：「英語ができて（}A^）、かつ日本語ができる（_B）」は、「英語か、または日本語が できる」よりもキツイ条件。

 空事象：標本点を一つも含まない事象を と呼び、 と表記。

⊲ 普通の数で言えば、ゼロに該当する概念。

⊲ 積事象_∩と空事象∅を使えば、「_Aと_Bが排反」とは 。

 補事象（図_1D）：_Ω上の事象_Aについて、「_Aが起こらない（_⇔A の事象が起こ る）」という事象を （余事象）と呼び、_A^Cと表記。

⊲ ^標本空間_Ω^上で、A^CはAの残り。空事象で表せば、_A^Cとは A ∩ A^C _{= ∅}



カブらない

, A ∪ A^C _{= Ω}



足してちょうど全体に

. (5)

⊲ 例：サイコロ投げに関する事象A = {1, 3, 5}^{（奇数）の補事象は、}

A^C ₌ ^（偶数）. (6)

3 ^確率

3.1

^{確率の公理}

 確率：標本空間_Ω上の事象_Aの起こりやすさを定量的に示した数字を と呼び、

Pr(A) (7)

と表記する。（確率probability^{の頭文字。）}

⊲ _Pr(A)が確率であるために必要な条件は？_⇒確率の公理。

 確率の公理系：以下の性質が成立するならば、_Pr(A)を_Ω上の事象_Aの確率として扱う。 これを （コルモゴロフの公理）と呼ぶ。

1. ^{全ての事象}_{A ⊂ Ω}^{について 。}

2. ^。

3. ^{互いに排反な事象}A, B^について

Pr(A ∪ B) = ^{. (8)}

 _Remark：日常で使う確率概念は、確率の公理系に合致。

1. ^{確率は、 の間に入るもの。（最小値}0^、最大値1^{と規格化。）}

2. ^{サイコロで「}1^か2^か3^か4^か5^か6^{が出る」確率は？}⇒Pr(1 ∪ 2 ∪ 3 ∪ 4 ∪ 5 ∪ 6) = ^。 3. ^{サイコロで}1^、2^、3は互いに排反（同時に成立しない）。ところで₁か₂か₃が出る

確率は？_⇒Pr(1 ∪ 2 ∪ 3) = ¹₆+ ¹₆ +¹₆ = ^。

3.2

^{ラプラスによる確率}

 ラプラスによる確率の定義：標本空間_Ωには_N個の標本点_ωがあり、それらは同様に確 からしいとする。このうち、事象_Aに相当する標本点が_R個あれば、_Aの確率は

Pr(A) = ^R N ⁼

A^{の該当部分}

Ω^{全体 (9)}

これを と呼ぶ。いわゆる割合。

⊲ 多くの場合、このやり方で、確率の公理に矛盾せずに確率を割り振ることができる。

 例：サイコロを振り、₅より小さい目が出る確率は？

⊲ ^標本空間Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}^{。∴標本点の数 。}

⊲ ^事象「5^{より小さい目」は}A = {1, 2, 3, 4}^{。∴事象Aと整合的な標本点の数 。}

⊲ ^以上から

Pr(A) = ⁴

6 ^{= . (10)}

 _Remark：ラプラスの定義の長所と短所

⊲ 長所：日常的に使われる確率の計算法。 （＝標本点の数）に基づくため、 順列や組み合わせの数の公式が適用できる。

⊲ ^短所1：確率を定義する前から「同様に確からしい」（∴等確率）を仮定しているた め、トートロジー。数学の定義として破綻している。

⊲ ^短所2^：「同様に確からしい」という仮定は本当か？

まとめと復習問題

今回のまとめ

 確率論：事象と確率を基に、「偶然」を制御する技術。

 事象と確率。

復習問題

出席確認用紙に解答し（用紙裏面を用いても良い）、退出時に提出せよ。

1. サイコロを二つ投げる試行の標本空間_Ωと、そこで定義される事象を考える。（ヒント： 以下は標本空間の一部。）

Ω =

⎧⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎩

(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) (3, 1) (3, 2)

(4, 1) (4, 2) (5, 1) (5, 2) (6, 1) (6, 2)

⎫⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎬

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎭

. (11)

例えば事象「二つの目が等しい」はA = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}^。 (a) 事象「二つの目の合計が₄より小さい（目の合計_<4）」は_{B =}＿＿。

(b) 事象「二つの目が等しいか、またはその合計が₄より小さい」は（ウ）_{A ∪ B =}＿＿。 (c) 事象「二つの目が等しく、かつその合計が₄より小さい」は（エ）_{A ∩ B =}＿＿。

A ∩ B ⊂ A ∪ Bであることが確認できる。

2. ラプラスの定義に従って確率を求めると、Pr(A ∪ B) =^＿＿、Pr(A ∩ B) =^＿＿。