E in QMExam2015 ans 最近の更新履歴 物理学ノート E in QMExam2015 ans

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

全文

(1)

初等量子力学演習

(Thursday August 6th 2015)

期末試験

解答例

&

解説

1

問題

1.

次の問題を解け。

(

20

)

1

-1.

静止した質量

m

の電子に,波長

λ

の光子を弾性的

に正面衝突させると,波長が

λ

に変化した。波長の変

λ

=

λ

λ

が,

h, c, m

で表せるとして,それを次

元解析で求めよ。無次元の比例定数と角度については

決まらない。

λ

と 各 定 数 の 次 元 は

[∆

λ

] =L, [

h

] =ML

2

T

1

,

[

m

] =M, [

c

] =LT

1

。∆

λ

=

h

α

m

β

c

γ

と仮定すれば

L = M

α+β

L

2α+γ

T

αγ

(1)

これが成り立つためには

α

+

β

= 0

(2)

2

α

+

γ

= 1

(3)

α

γ

= 0

(4)

よって

α

= 1

, β

=

1

, γ

=

1

となる。従って

λ

h

mc

.

(5)

1

-2.

交換関係

[ ˆ

A

B,

ˆ

C

ˆ

D

ˆ

]

を計算し,中に積のない

4

の交換関係で表わせ。

交換関係の公式

[ ˆ

A

B,

ˆ

C

ˆ

] = ˆ

A

[ ˆ

B,

C

ˆ

] + [ ˆ

A,

C

ˆ

] ˆ

B,

(6)

[ ˆ

A,

C

ˆ

D

ˆ

] = [ ˆ

A,

C

ˆ

] ˆ

D

+ ˆ

C

[ ˆ

A,

D

ˆ

]

(7)

を用いて

[ ˆ

A

B,

ˆ

C

ˆ

D

ˆ

] = ˆ

A

[ ˆ

B,

C

ˆ

D

ˆ

] + [ ˆ

A,

C

ˆ

D

ˆ

] ˆ

B

= ˆ

A

C

ˆ

[ ˆ

B,

D

ˆ

] + ˆ

A

[ ˆ

B,

C

ˆ

] ˆ

D

+ [ ˆ

A,

C

ˆ

] ˆ

D

B

ˆ

+ ˆ

C

[ ˆ

A,

D

ˆ

] ˆ

B

(8)

1

-3.

φ

(

x, t

)

, χ

(

x, t

)

を任意の関数とする。

φ, χ

を積分

で表わせ。また,

φ, χ

χ, φ

の関係を示せ。

φ, χ

=

−∞

φ

(

x

)

χ

(

x

)

dx

(9)

また

χ, φ

=

−∞

χ

(

x

)

φ

(

x

)

dx

(10)

なので

χ, φ

=

φ, χ

.

(11)

問題

2.

長岡–ラザフォードによる古典的な水素原子模

型について考える。静止した陽子を中心として,クーロ

ン力によって電子が半径

r

,速さ

v

で等速円運動してい

る。この系の全エネルギー

E

および円運動の角速度

ω

r

の関数として表わせ。

E

の減少に伴って,

r

ω

どのように変化するか説明せよ。この結果から予想さ

れるスペクトルと,実際に観測されるスペクトルにはど

んな違いがあるか?

(

20

)

陽子は静止しているので,全エネルギーは電子の運動

エネルギーとクーロン力のポテンシャルの和である。

E

=

1

2

mv

2

e

2

4

πε

0

r

(12)

ここでポテンシャルの基準を

V

(

) = 0

とした。運動

方程式

mrω

2

=

e

2

4

πε

0

r

2

と,

v

=

を用いて

(12)

r

だけで表せば

E

(

r

) =

e

2

8

πε

0

r

.

(13)

図の通り,

E

(

r

)

が減少すれば

r

も減少する。

また,運動方程式より角速度は

ω

(

r

) =

e

2

4

πε

0

r

3

.

(14)

E

(

r

)

が減少,すなわち

r

が減少すれば,

ω

は大きく

なる。

ω

E

の連続関数となるので,古典的には連続スペ

クトルが予想される。しかし実験では,バルマー系列や

ライマン系列といった線スペクトルが得られる。

問題

3.

波動関数

ψ

(

x

) =

N e

−α(x−b)2/2+ikx

について

調べる。

(

30

)

3

-1.

規格化条件より

N

を決定し,規格化された波動関

(2)

初等量子力学演習

(Thursday August 6th 2015)

期末試験

解答例

&

解説

2

規格化の定義とガウス積分の公式より

−∞

ψ

(

x

)

ψ

(

x

) =

|

N

|

2

−∞

e

α(xb)2

dx

=

|

N

|

2

−∞

e

αy2

dy

=

π

α

|

N

|

2

= 1

.

(15)

x

b

=

y

と変数変換した。

N

を正の実数に選べば

N

=

4

α

π

.

(16)

従って波動関数は

ψ

(

x

) =

4

α

π

e

α(xb)2/2+ikx

.

(17)

3

-2.

確率密度

ρ

(

x

)

を求め図示せよ。

確率密度の定義より

ρ

(

x

) =

ψ

(

x

)

ψ

(

x

) =

α

π

e

α(xb)2

.

(18)

3

-3.

位置の期待値

x

を計算せよ。

期待値の定義とガウス積分の公式より

x

=

−∞

ψ

(

x

)

(

x

) =

α

π

−∞

x e

α(xb)2

dx

=

α

π

−∞

(

y

+

b

)

e

αy2

dy

=

b.

(19)

最後は,奇関数を

−∞

から

まで積分すれば

0

になる

ことを使った。

3

-4.

運動量の期待値

p

ˆ

を計算せよ。

同様に

p

=

−∞

ψ

(

x

)

i

∂x

ψ

(

x

)

=

α

π

−∞

i

(

α

(

x

b

) +

ik

)

e

α(xb)2

dx

=

α

π

−∞

k e

α(xb)2

dx

=

k.

(20)

3

-5.

存在確率の流束

j

(

x

)

を計算せよ。

定義より

j

(

x

) =

2

im

(

ψ

(

x

)

∂ψ

(

x

)

∂x

∂ψ

(

x

)

∂x

ψ

(

x

)

)

=

k

m

α

π

e

−α(x−b)2

(21)

問題

4.

直線上を運動する質量

m

の自由粒子について,

0

x

L

の範囲で考える。

(

30

)

4

-1.

エネルギー

E

に対応する波動関数を

u

(

x

)

とし,定

常状態の

Schr¨

odinger

方程式を書け。

自由粒子なので,ハミルトニアンは

H

ˆ

=

2

2

m

d

2

dx

2

である。よって

Schr¨

odinger

方程式は

2

2

m

d

2

dx

2

u

(

x

) =

Eu

(

x

)

(22)

4

-2.

エネルギー

E

を持つ波動関数の一般解は

u

(

x

) =

Ae

ikx

+

Be

−ikx

と書ける。各項はどのような解を表

すか?

k >

0

とすれば,第

1

項は振幅

A

x

の正方向に進

む平面波,第

2

項は振幅

B

x

の負方向に進む平面波

を表す。

4

-3.

周期境界条件

u

(0) =

u

(

L

)

, u

(0) =

u

(

L

)

を課し

て系のエネルギー準位

E

n

および線形独立な波動関数

u

n

(

x

)

を求めよ。特に,量子数

n

を明確に定めること。

与えられた境界条件より

A

+

B

=

Ae

ikL

+

Be

−ikL

,

(23)

A

B

=

Ae

ikL

Be

ikL

.

(24)

従って

k

n

=

2

π

L

n,

n

= 0

,

±

1

,

±

2

, . . .

(25)

(22)

より

E

k

の関係を求めて

(25)

を代入すれば

E

n

=

2

k

2n

2

m

=

2

π

2

2

mL

2

n

2

,

n

= 0

,

±

1

,

±

2

, . . .

(26)

となり,エネルギーが離散化する。(23)

(24)

から,

A

B

に条件は付かない。つまり

Ae

ikx

Be

ikx

線形独立である。よって,線形独立な解は

u

n

(

x

) =

Ce

iknx

(27)

で,

k

n

(25)

で与えられる。

(26)

(25)

から分かるように,

1

つのエネルギー

E

n

に対して,2

つの波動関数

u

n

u

n

縮退

している。

4

-4. 0

x

L

の範囲で規格化された波動関数を求

めよ。

規格化の定義より

L

0

u

n

(

x

)

u

n

(

x

)

dx

=

|

C

|

2

L

= 1

(28)

C

を正の実数に選べば

u

n

(

x

) =

1

L

exp

[

i

2

π

L

nx

]

,

(29)

(

n

= 0

,

±

1

,

±

2

, . . .

)

4

-5.

エネルギー量子数が異なる波動関数同士が直交す

ることを示せ。

n

̸

=

m

として

L

0

u

n

(

x

)

u

m

(

x

)

dx

=

L

0

1

L

exp

[

i

2

π

L

(

m

n

)

x

]

=

1

i

2

π

(

m

n

)

exp

[

i

2

π

L

(

m

n

)

x

]

L

0

= 0

(30)

前問で規格化したので,

u

n

(

x

)

は正規直交系を成す。

L

0

u

Updating...

参照

Updating...

関連した話題 :