E in MeExam2009 最近の更新履歴 物理学ノート E in MeExam2009

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全文

(1)

力学演習

期末試験

August 5, 2009

x

y

r

ϕ

r

問題1. デカルト座標系xyと2次元極座標r; 'について以下の問いに答えよ。

1-1. x; yとr; 'との関係を書け。

1-2. 2次元極座標系の単位ベクトルerとe'のx; y成分を求めよ。

1-3. 2次元極座標系の座標と単位ベクトルを用いて、位置ベクトルrを表せ。

1-4.速度ベクトルを求めよ。

1-5.加速度ベクトルを求めよ。

F

m3

m2

m1

-S

1

S

1

-S

2

S

2

a 問題2. 右図のように、滑らかな平面上で質量m1; m2; m3の物体を糸で連

結し直線上に置いた場合を考える。

2-1. m1を力F で引くと全体が加速度aで動いた。それぞれの糸の張力

をS1、S2として、質点m1; m2; m3に対する運動方程式を書け。

2-2.上の運動方程式から全体の加速度aと糸の張力S1、S2を求めよ。

問題3. バネの一端を固定し他端に質量mの質点をつける。つり合いの位置を原点、バネが伸びる方向をx軸

と選ぶ。原点からxずれたときの復元力をf = cxとし、この復元力以外の力は働かないとする。

3-1.質点が平衡の位置からずれたときに働く力を図示せよ。

3-2.運動方程式を書け。

3-3.運動方程式の一般解を求めよ。

3-4.周期Tを求めよ。

3-5.初期条件を各自で指定し、そのときの解を求めよ。

問題4. 次の保存力についてポテンシャルU を求めよ。

4-1.重力 Fz= mg; ただしU(z = 0) = 0とする。

4-2.単振動 Fx= cx; ただしU(x = 0) = 0とする。

4-3.万有引力 Fr= G

Mm

r2 ; ただし U(r = 1) = 0とする。

以下の問題

5. 10.

の中から

2

つの大問を選択して答えよ。

(3問以上答えた場合は、点数の高い2問で採点する。)

問題5.重力と速度に比例する空気抵抗f = kmvが働くとき、初速度0で落下する質点mの運動を考える。

5-1.鉛直下方をy軸とし、運動の概略(力と速度などの方向)を描け。ただしt = 0でy = 0とせよ。

5-2. kの次元を求めよ。(わからなければSI単位系での単位を求めよ。)

5-3.運動方程式を書け。

5-4. y方向の速度vy(t)を求めよ。

5-5.落下距離y(t)を求めよ。

5-6.十分時間が経った後(t k 1)での、終端速度v1およびy1(t)を求めよ。

(2)

問題6. バネ定数cのバネの一端を固定し他端に質量mの質点をつけ、水平方向にバネを振動させる。この質

点に速度vに比例する抵抗力f = 2kmvが働く場合を考える。以下、バネの重さは無視する。

6-1.バネの伸びる方向をx軸とし、質点が平衡の位置からずれたときに働く力を図示せよ。

6-2.抵抗が無い場合の角振動数! =

r c

mを用いて運動方程式を書け。

6-3.抵抗が比較的小さいk < !の場合、減衰振動となることを示せ。

6-4.この減衰振動の周期Tを求めよ。

6-5. x(t)をtの関数としてグラフで表せ。

r+ r

v

r

r

O

問題7. 角運動量に関して以下の問いに答えよ。

7-1.質点mに働く力を力F として角運動量lの時間微分を求めよ。

7-2.質点に働く力が中心力の場合、角運動量が保存することを示せ。

7-3.角運動量が保存するなら、質点の運動が平面内に限られることを示せ。

✎この平面がxy平面になるように座標系を選べ。

7-4.同様に角運動量が保存する場合、質点の速度のz成分vzが0になることを示せ。

7-5.右図のように、時刻tでrにあった質点mが、時刻(t + t)にr + rに進んだ。時刻tでの速度を

vとして面積速度を求めよ。

7-6.面積速度を角運動量lを使って表せ。

7-7.質点に働く力が中心力の場合、面積速度が一定となることを説明せよ。

R

O O'

x

y t 秒後

O' θ P

r' A

B

問題8. 半径Rの車輪が等速vで転がっている場合を考える。車輪の中心O0が

原点を通り過ぎた時刻を0とする。

8-1.車輪の角速度!をRとvを使って表せ。

8-2.時刻0で地面に接していた車輪上の一点が時刻tで点Pに来たとする。

図のを!を使って表せ。

8-3. O0から見た点Pの座標r0 とすると、原点Oから見た点Pの座標r

r = r0+ r0と書ける。rを求めよ。

8-4.点Pの速度v = _rを求めよ。

8-5.点Pの加速度a = rを求め、r0に比例することを示せ。

8-6.車輪の頂上の点Aと地面に接している点Bでの速度を求めよ。

問題9. 惑星の運動について考える。惑星の位置を太陽を原点とする2次元極座標(r; ')で表すと、太陽から

の万有引力F は、F (r) =

GMm

r2 erと書ける。ここで太陽の質量をM、惑星の質量をmとした。ある条

件で、惑星の公転軌道r(')が楕円を描くことを示せ。

問題10. 水平面内で一端Oの周りに、定角速度!で回転する滑らかな直線に束縛された質点の運動について

考える。棒から質点に働く力をSと記す。

10-1.慣性系だけを用いて考えた場合、運動の概略図(座標や働く力など)を書け。

10-2.慣性系における運動方程式を書け。

10-3.運動方程式の一般解を求めよ。

10-4. t = 0でOから距離arのところで質点が静止していたという初期条件を選び、質点の座標を求めよ。

10-5.質点に作用する力Sを求めよ。

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