zemi 2012 0215

行列やベクトルを含んだ演算を行なう上での重要な考え方

∼「逆行列の補題定理」の証明を例として∼

筑波大学 生命環境学群 生物資源学類3年次 環境工学コース 流域管理研究室 山崎一磨 2012/02/20公開

2012/02/15の流域研のゼミで山崎が発表した内容のまとめ。

行列やベクトルが入り混じってる計算をするときには，「ある文字式の『実体』が何者であるのかを常に意 識する』——この態度が重要であることを説く。これがメイン。それを説いた上で，「そうすると，複雑な公 式も簡単に証明できちゃうのですよ，奥さん」と話を展開する。ここで例として使われる「逆行列の補題定 理」の証明は，あくまでオマケである。

1 _準備

1.1 _{行列の計算規則}

(a)行列の積

行列Aに対して行列Bを右からかけるとき，Aの列数とBの行数が一致していないと，そもそも積は定義 できない。そして，積の結果は，（Aの行数× Bの列数）行列になる。すなわち：

A B = C

(m × k)(k × n) (m × n) ← (行の数×列の数)

(b)行列の分配法則

行列A, B, Cについて，次の等式が成り立つ：

(A + B)C = AC + AB (1.1)

(c)スカラーは前に出せる

行列A, Bおよびスカラーxについて，次の等式が成り立つ：

A(xB) = xAB (1.2)

(d)スカラーでくくれる

行列Aおよびスカラーx, x^′について，次の等式が成り立つ：

xA + x^′A = (x + x^′)A (1.3)

1.2 _{特別な行列の定義}

逆行列

n次正方行列Aに対して，

AA⁻¹ = A⁻¹A = E (Eはn次の単位行列） これが成り立つような行列A⁻¹のことを，Aの逆行列とよぶ。

転置行列

ある行列Aについて，行と列を入れ替えた行列をAの転置行列とよぶ。 転置行列は，元の行列の左上にtをつけることで表現する。

たとえば，Aが次のような2次正方行列であるとする：

A =^{(a b} c d )

このとき，^tAは，Aの1行目を第1列として，Aの2行目を第2列とした次のような行列になる：

tA =^{(a c}_{b d} )

ここで，n次列ベクトルを(n × 1)行列であると見なせば，列ベクトルについて転置を行うこともできる。 たとえば，^bを次のような2次の列ベクトルであるとする：

b₌^(b1 b₂ )

このとき，^tbは，列を行に持っていくことで，次のようになる：

t_b

=(b₁ b₂⁾ すなわち，列ベクトルを転置すると行ベクトルになる。

◦

これ以降，このテキストの中では，

• A, B, Cはn次正方行列であるとする。

• b, cはn次列ベクトルであるとする。

• x, x^′はスカラーであるとする。

また，適宜，n次列ベクトルを「(n × 1)行列」と見なし，n次行ベクトルを「(1 × n)行列」と見なす。

2 _{重要な考え方}

行列やベクトルを含んだ演算を行なう上で，1つの重要な考え方がある。

それは「ある文字式の『実体』が何者なのかを常に意識すること」である。どういうことか。

たとえば，「A」とは何だろう? ——何って，n次正方行列だ。さっきそう定義した。 では，「^b」とは何だろう? ——何って，n次列ベクトルだ。これもさっき定義した。

それでは，「Ab」とは何だろうか?

Aは行列，^bはベクトル，では，その積は何か? 行列か，ベクトルか，はたまたスカラーか?

……これはベクトルである。n次列ベクトルである。

実際，^bを(n × 1)行列と見なせば，行列の計算規則(a)から，

Ab → (n × n行列) (n × 1行列) → (n × 1行列) (2.1)

「Ab」は，行列とベクトルから構成されるけど，それらの積は，実体としてベクトルなのである。

同様に，色々と考えてみよう。

b^tc_{はどうだろうか?} 列ベクトルと行ベクトルとの積である。

……これは行列である。n次正方行列である。

実際，^bを(n × 1)行列，^tcを(1 × n)行列と見なせば，

b^tc _{→ (n × 1行列) (1 × n行列) → (n × n行列) (2.2)}

では，^{tc b}はどうだろうか? 行ベクトルと列ベクトルとの積である。

……これはスカラーである。 実際^*1，

t_{c b}

→ (1 × n行列) (n × 1行列) → (1 × 1行列) → スカラー (2.3)

では，ABはどうだろうか。正方行列と正方行列との積である。

……これは行列である。n次正方行列である。 実際，

AB → (n × n行列) (n × n行列) → (n × n行列) (2.4)

では，^{tc btc}はどうだろうか。行ベクトルと列ベクトルと行ベクトルとの積である。

……これはベクトルである。n次行ベクトルである。実際，式(2.2)を使って，

t_{c b}t_c

→ (1 × n行列) (n × n行列) → (1 × n行列)

◦

こういう感じである。

行列やベクトルが複数個ふくまれる文字式が，実体としては何なのか。上のように，行列の積の規則を手が かりにしてそれを考える。あんまり大したことのように感じないかも知れないが，この考え方は，行列やベク トルが含まれる計算をする上での強力な武器になるのだ。

次の例を通して，それを確かめてみよう。

3 「逆行列の補題定理」の証明

次の公式を逆行列の補題定理と呼ぶ:

(A + b^tc)⁻¹= A⁻¹−^A−1b

t_c

A⁻¹

1 +^tcA^{−1b (3.1)}

（ただし，^A+ b^tcが逆行列を持つこと，および，^tcA−1bが−1にならないことが条件）

◦

実を言うと，私は，この公式の使いどころをよく知らない。重要性もよく知らない。ググった感じ，信号処 理とかノイズ除去とかの工学に踏み入っていくと，どこかで使うようだ。

しかし，ここで見たいのは，「割りと複雑に見えるこの公式も，上の考え方を持っていれば意外とすんなり 証明できること」だけである。ということで，この公式の使いどころや重要性にまでは立ち入らない。

◦

さて，「実体を意識する」の観点に従って，式(3.1)の中にある文字式の実体を確かめてみよう：

左辺の「A + b^tc」。Aはn次正方行列である。では，「^btc」は何か? 式(2.2)より，こいつの実体はn次正 方行列である。ということは，この部分は，n次正方行列とn次正方行列の和であり，結局，実体としてはn 次正方行列である。左辺は，この行列A + b^tcの逆行列であるが，n次正方行列であることには変わりない。 左辺はn次正方行列である。

次に右辺。

第1項のA⁻¹はn次正方行列で問題ない。

第2項の分子の「A^−1btcA⁻¹」はどうだろうか。真ん中の「^btc」の実体は，式(2.2)より，n次正方行列で ある。すると，この文字式はn次正方行列とn次正方行列とn次正方行列との積であり，式(2.4)より，実体 としてはn次正方行列である。では，分母にある「^tcA^−1b」はどうだろうか。「A^−1b」の実体は，式(2.1)よ り，n次の列ベクトルである。。すると，この文字式はn次の行ベクトルとn次の列ベクトルとの積であり，

式(2.3)より，実体としてはスカラーである。結局，第2項は，ごちゃごちゃしているが全体としては結局の

ところn次正方行列である。

従って，第1項も第2項もn次正方行列であり，その和としての右辺もn次正方行列である。

以上から，式(3.1)は，きちんと，

n次正方行列 = n次正方行列 という形になっていることがわかる。OK。

◦

それでは証明である。

式(3.1)の両辺に行列A + b^tcを右から^*2かける。すると，左辺は，逆行列の定義より単位行列Eとなる。 ここで，右辺も，同じく単位行列Eとなれば式(3.1)の成立が証明される。2つの式に同じ操作を施した結果 が等しくなるのは，元々が等しかったからだと言えるから。

従って，ここからは，次の式が単位行列になることを確かめる作業となる。 (

A⁻¹−^A−1b

t_c

A⁻¹ 1 +^tcA^−1b

)

(A + b^tc) (3.2)

◦

まず，「準備」の項で確認した行列の計算規則(b)を使う。分配法則である。 式(3.2)について，A + b^tcを1つの行列だと見なして分配すると，

A⁻¹(A + b^tc) − ^{( A−1b}

t_c

A⁻¹ 1 +^tcA^−1b

)

(A + b^tc)

こんどは，A + b^tcのうち，Aと^btcとをそれぞれ別の行列とみなし，第1項・第2項でそれぞれ分配法則 を使う。第2項の1/(1 +^tcA^−1b)は，くくっておく：

E + A^−1btc− ¹ 1 +^tcA^−1b

{A^−1btc+ A^−1btcA^−1btc} (3.3)

さて，複雑に見えるが，あと3手である。

キーは，いちばん後ろの「A^−1btcA^−1btc」と，まだ使っていない行列の計算規則の残りの2つ，そして，

「実体を意識しろ」である。ここからの展開を，少し考えてみてほしい...

◦

それでは，証明を仕上げよう。

注目するべきは「A^−1btcA^−1btc」である。この文字式の実体はn次正方行列である（確かめてみてくださ い）。ここで，この式の3文字目・4文字目・5文字目(「^tcA^−1b」)だけに注目してみよう。上で見たよう，n 次正方行列とn次列ベクトルとの積(「A^−1b」)はn次列ベクトルである。そして，n次行ベクトルとn次 列ベクトルとの積はスカラーであった! つまり，この部分だけを見れば，これはスカラーなのだ!!。

従って，ここで，行列の計算規則(c)より，このスカラーの部分を前に出すことができる!! A^−1b(^tcA^−1b)^tc = (^tcA^−1b)A^−1btc

文字だけを見ると「ほんとにそんなことやっていいのか?」と思う変形であるが，実体を考えてみれば，( ) の中の文字式はスカラーなのだ。スカラーである限り，行列の計算規則(c)より，このような変形が可能であ ることが保証されている。あと2手。

この式を，式(3.3)に代入すると，{ }の中は次の左辺のようになり，ここで，行列の計算規則(d)を用いる と右辺への変形が可能である：

{A^−1btc+ (^tcA^−1b)A^−1btc} = ^{(1 +^tcA^−1b)A^−1btc}

ラスト1手。 これにより，式(3.3)は次の式の1行目のようになる。ここで，スカラー同士が約分され2行 目のようになる。さらに，行列同士が打ち消え零行列となり，最後に単位行列Eだけが残される!!：

E + A^−1btc− ¹ 1 +^tcA^−1b

{(1 +^tcA^−1b)A^−1btc}

=E + A^−1btc− A^−1btc

=E

式(3.1)の両辺に（右から）行列A + b^tcをかけることで，両辺が単位行列になり等しくなることが確かめ られた。従って，これにより，逆行列の補題定理の証明が完了した。

◦

<参考文献 平岡 和幸・堀 玄，プログラミングのための線形代数，オーム社，第1版，p63-65 >

以上