母数の推定 経済統計 鹿野研究室

担当：鹿野（大阪府立大学）

2014 年度前期

はじめに

前回の復習

 二標本問題：二つの母集団の母平均・母分散を比較。

 二標本_t統計量：母平均の有意差を見極める。

今回学ぶこと

 点推定。

 区間推定。

 テキスト該当箇所：₁₁章。

1 ^点推定

1.1

^{母数の推定}

 母数の推定：母集団分布 _{f (x)}の未知母数_θの値を、統計量_{ˆθ = ˆθ(X1,X2, . . . ,Xn)}から推測 する作業を、母数の と呼ぶ。このとき_ˆθを、_θの と呼ぶ。

⊲ ∴^{推定＝標本}X1^,X2^{, . . . ,}Xnから、母数のおおよその値を求める。

⊲ ^{例：母平均}µ^{（母数）を、標本平均}X^{¯（推定量）で推定。}

⊲ ^注意：「統計的推測」は「推定」と「仮説検定（次回）」を含む広義の言葉。

 _Remark：推定のアプローチとして、点推定と区間推定がある。

⊲ ^{：推定結果を}θ^{の近似値として、「}_{ˆθ =}^{○ ○} 」と点で答える。シンプル。

⊲ ^{（次節）：}ˆθが確率変数であることを考慮_⇒推定結果に幅を持たせ、「△

△ _%の確率で、母数は○ ○ 以上× × 以下の値である」と答える。用心深い。

1

A: Unbiased vs. Biased Estimator

E(θ^~)≠ θ E(θ^{^})= θ f(θ^{^})

g(^~θ)

Efficeint vs. Inefficient Estimator

E(θ^{^})= θ f(θ^{^})

g(θ^~)

図_1:不偏推定量と有効推定量のイメージ

1.2

推定量の採用基準：不偏性と有効性

 推定量をデザインする：分析者は、自由に標本_{X1,X2, . . . ,Xn}を使って推定量 _ˆθを求め、_θ を点推定して良い。

⊲ 分析者が直面する問題：標本をどう使えば、「 」_ˆθが作成できる？

⊲ ^{例：母平均}µ^{を、標本平均}_{X =}^{¯ 1}_n X_i^で推定。... ¯X^がµの推定量として最良である 根拠は？_X¯ より良い_µの推定量は無いのか？

⊲ 推定量の採用基準：具体的に、どんな推定量を「良い推定量」とするか？_⇒不偏性 と有効性。

 不偏性：未知の母数_θとその推定量_ˆθについて

E(ˆθ) = θ ⁽¹⁾

が成立するとき、_ˆθを_θの と呼ぶ。推定量として、最低限満たすべき基準。

⊲ 不偏性はなぜ望ましい？_⇒不偏推定量 _ˆθは、その実現値として_θ（分析者が知りた いターゲット）が出やすい。_...試行を繰り返すと、プラスのズレ、マイナスのズレ が相殺され、偏りなく_θぐらいの値が出る「サイコロ」。

⊲ ^図1A^{：不偏推定量}ˆθ^{と、偏りのある推定量}˜θ^。

⊲ ^{例：講義ノート}#16^よりE( ¯_{X) = µ}^{。∴標本平均}X^{¯ は、 の不偏推定量。}

⊲ ^{例：標本分散}s²_{= n−1}¹ (X_{i− ¯}X)^{2は、期待値をとると}

E(s²_{) = σ}². (2)

∴ _s²は の不偏推定量。（証明：テキスト_p184、練習問題_9.4参照。）

 有効性：母数_θに対し、不偏性の基準を満たす推定量が ある場合、そのうち最も

分散_Var(ˆθ)が小さいものを と呼ぶ。

⊲ 有効性はなぜ望ましい？_{⇒ θ}を軸にした _ˆθのブレが、最も小さい。∴複数ある不偏 推定量の中で、最も精度が高い推定量。

⊲ ^図1B^{：有効推定量}ˆθ^{と、分散で劣る推定量}˜θ^{。二つの推定量} ˆθ^、˜θ^{が、ともに不偏性} を満たす点に注意。

⊲ ^例：µの不偏推定量は複数存在するが、最小分散となるのは標本平均_X¯。∴_X¯は の有効推定量。_X¯ の分散（講義ノート_#16）

Var( ¯_{X) =} ^σ

2

n ⁽³⁾

を下回る_µの不偏推定量を作ることは、不可能。（証明⇒宿題_#04参照。）

 _Remark：標本平均_X¯ で母平均_µを推定するのには、確率論上の合理性（_X¯ の不偏性・有

効性）がある。

⊲ ¯Xの計算は、小学生でも出来る。

⊲ 統計学で問うべきことは、「そこでなぜ_X¯なのか？」⇒その基礎として確率論が必須。

2 ^区間推定

2.1

^標準誤差

 _Remark：不偏性・有効性は、統計量を設計するうえでの理論上の基準。

⊲ ^標本X1^,X2^{, . . . ,}Xn^{が確率変数}⇒ ˆθはあくまで偶然に左右される確率変数。分散_Var(ˆθ) を最小に抑える（有効性）ことは出来ても、ゼロには出来ない。

⊲ ∴実際に標本を用いて点推定を行った際、得られた を評価する 方法は？

 標準誤差：推定量_ˆθの標準偏差

Var(ˆθ)を標本から推定した値を、 （_standard

deviation^{）と呼び、}

s.e.(ˆθ) (4)

と表記。

⊲ 推定量のバラつき具合を、標本から推定。_s.e.(ˆθ)が _⇔精度の 推定。

⊲ 実際のデータ分析では、母数_θの点推定値_ˆθだけでなく、推定の精度を測る_s.e.(ˆθ)も レポート。

 標本平均_X¯ の標準誤差：_X¯ の標準偏差は、₍₃₎式より

Var( ¯_{X) =} √^σ

n^{。（σは未知。）⇒ σ}

を標本標準偏差_s（標本から計算可能）で置き換えた

s.e.( ¯_{X) =} (5)

が、_X¯ の標準誤差。_→コレで_X¯ のブレ具合・精度を評価！

⊲ ^{サンプル数}n^{が多いほど}s.e.( ¯X)^{が （精度が上がる）。}

⊲ ^{正規母集団の}X^{¯ について、}s.e.( ¯X)^を使ってt^{統計量（講義ノート}#17^{）を表すと}

t = ^{X − µ¯}

s/^√n ⁼ ∼ T(n − 1). ⁽⁶⁾

µの信頼区間（後述）の導出で利用。

 例：標本平均_{X = 200}¯ 、標本標準偏差_{s = 100}、サンプル数_{n = 25}。

⊲ ^このときX^{¯ の標準誤差は}

s.e.( ¯_{X) =} ¹⁰⁰_√ 25 ⁼

100

5 ^{= . (7)}

2.2

区間推定：信頼区間の推定

 区間推定：未知の母数_θが、ある確率_αで_L以上_U以下の値を取るとき、

Pr(L < θ < U) = α, ⁽⁸⁾

この区間_{[L, U]}を_θの_{100 × α%} と呼ぶ。信頼区間の下限_Lと上限_Uを標本

から求める作業を、 と呼ぶ。

⊲ ^通常、 %^{信頼区間（}_{α = 0.95}^{）を求める。「}θのはっきりした値は不明だが、 95%^の確率でL^以上U以下の値をとるだろう」という意味。

⊲ 点推定と異なり、幅を持たせた（控えめな）推定結果の見せ方。推定結果が、あく まで確率的試行の産物であることを強調。

⊲ ^信頼区間[L, U]^が _⇔^未知のθの値を、より絞り込んでいる。∴信頼区間は、

狭いほどよい。

 母平均_µの区間推定：標本平均_X¯ による_µの_95%信頼区間

Pr(L < µ < U) = 0.95 ⁽⁹⁾

は、正規母集団ならば

L = ^, U = ^{. (10)}

ただし_t0.025は_t分布の_2.5%臨界値。自由度_{m = n − 1}に依存。

⊲ ∴ s.e.( ¯X)^{が （推定の精度低い）}_⇔^{信頼区間 （ハッキリしない推}

定結果）。

⊲ ^証明：t^分布の2.5%^{臨界値の定義から、} Pr(−t^{0.025<t < t0.025}



(∗)

) = 0.95. ⁽¹¹⁾

t^{統計量の表現}(6)^{式に注意して上式}_(∗)の大小関係を変形すると

−t0.025^<

X − µ¯

s.e.( ¯X) ^{<t0.025 ⇔ − ¯X − t0.025· s.e.( ¯}X) < −µ < − ¯X + t^0.025· s.e.( ¯^X)

⇔ X − t^{¯ 0.025}· s.e.( ¯^X)



=L

< µ < ¯_{X + t0.025· s.e.( ¯}X)



=U

. (12)

よって_{Pr(−t0.025<t < t0.025}) = Pr(L < µ < U) = 0.95^。

 例：_{X = 200}¯ 、_{s = 100}、_{n = 25}。_→母平均_µの信頼区間は？

⊲ ^標準誤差s.e.( ¯_{X) =} ¹⁰⁰_{5 = 20}^。t^{分布（自由度}_{m = 24}^）の2.5%^臨界値はt_{0.025= 2.064}^。

⊲ ∴ µ^の95%^{信頼区間は}

⎧⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎩

L = 200 − 2.064 · 20 = U = 200 + 2.064 · 20 =

まとめ

−−−−−→ [L, U] = [158.72, 241.28]. ⁽¹³⁾

95%^{の確率で、}µ^は_160∼240^{ぐらいの値。}

⊲ ^{正規分布の}µは、何の前提もなければ理論上−∞ < µ < ∞^{。∴信頼区間}158.72 < µ <

241.28は少々広い気もするが、分析前の状態と比べるとだいぶ_µに迫っている！

 母分散_σ²の区間推定：標本分散_s²による_σ²の_95%信頼区間

Pr(L < σ² <_{U) = 0.95} (14)

は、正規母集団ならば

L = ^, U = ^{. (15)}

ただし_χ²

L,0.025^、χ2R,0.025^{はカイ2乗分布の左右2.5%臨界値。自由度}m = n − 1^に依存。

⊲ ^下限L^{に右端臨界値}χ²_R,0.025^、上限U^{に左端臨界値}χ²_L,0.025^{を使う点に注意。}

⊲ ^{証明：カイ}2^{乗統計量（講義ノート}#17^） χ²_{= (n− 1)}^s

2

σ² ∼ Chi(n − 1) ⁽¹⁶⁾

を使い、_Pr(χ²

L,0.025^{< χ} 2_{< χ}2

R,0.025^{) = 0.95を変形して導出。（証明⇒宿題#04参照。）}

 _Remark：データ分析の結果として、推定の精度をレポートする二つの方法。

1. θ^{の点推定値}ˆθ^{と併せて、標準誤差}s.e.(ˆθ)^{を見せる。} 2. ^点推定値ˆθ^{と併せて、}95%^信頼区間[L, U]^{を見せる。}

まとめと復習問題

今回のまとめ

 点推定：不偏性・有効性による推定量の採用基準。

 区間推定：母平均、母分散の_95%信頼区間の意味と求め方。

復習問題

出席確認用紙に解答し（用紙裏面を用いても良い）、退出時に提出せよ。

1. ^{未知の母数}θ（例えば母分散）に対し、標本_{X1,X2, . . . ,Xn}の使い方次第で二つの推定量 ˆθ₁^、ˆθ₂が作成できるとする。また、それぞれの確率分布が次の通りであるとする。

Pr(ˆθ1) = f (ˆθ1) =

⎧⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎩

0.5 for ˆθ_{1= 0.5θ}

0.5 for ˆθ_{1= 1.5θ}^{, Pr(ˆθ2) = g(ˆθ2) =}

⎧⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎩

0.4 for ˆθ_{2= 0.5θ}

0.6 for ˆθ_{2= 1.5θ} ⁽¹⁷⁾

（注意：_ˆθ1と_ˆθ2の実現値は_0.5θ、_1.5θで共通だが、その確率が異なる。）

(a) ˆθ1^とˆθ2、それぞれの期待値を求めよ。（計算結果だけ答えればよい。）

(b) ^{不偏性の観点から、}θの推定量としてどちらが望ましいか？

2. ^{例：標本平均}_{X = 100}^{¯ 、標本標準偏差}_{s = 40}^{、サンプル数}_{n = 16}^{であるとする。}

(a) ¯X^{の標準誤差}s.e.( ¯X)^{を求めよ。}（計算結果だけ答えればよい。）

(b) µ^の95%^信頼区間[L, U]^{を求めよ。}（計算結果だけ答えればよい。）