E in QMExam2015 最近の更新履歴 物理学ノート E in QMExam2015

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全文

(1)

初等量子力学演習 期末試験

(Thursday August 6th 2015)

1

解答用紙は縦長に用い,左上に綴るスペースを空け,答案は表だけに書く。

全ての用紙の上部に氏名・学籍番号を記入する。

プランク定数

h

または

,光速

c

は断らずに用いてよい。

単に結果を書くだけでなく,結果までの論理が分かるように言葉も用いて説明する。

ガウス積分

−∞

e

−αy2

dy

=

π

α

は証明せずにを用いてよい。

問題

1.

次の問題を解け。

(

20

)

1

-1.

静止した質量

m

の電子に,波長

λ

の光子を弾性的に正面衝突させると,波長が

λ

に変化した。波長の変化

λ

=

λ

λ

が,

h, c, m

で表せるとして,それを次元解析で求めよ。無次元の比例定数と角度については決まら

ない。

1

-2.

交換関係

[ ˆ

A

B,

ˆ

C

ˆ

D

ˆ

]

を計算し,中に積のない

4

つの交換関係で表わせ。

1

-3.

φ

(

x, t

)

, χ

(

x, t

)

を任意の関数とする。

φ, χ

を積分で表わせ。また,

φ, χ

χ, φ

の関係を示せ。

問題

2.

長岡

ラザフォードによる古典的な水素原子模型について考える。静止した陽子を中心として,クーロン力

によって電子が半径

r

,速さ

v

で等速円運動している。この系の全エネルギー

E

および円運動の角速度

ω

r

の関

数として求め,グラフで表わせ。

E

の減少に伴って,

r

ω

がどのように変化するか説明せよ。この結果から予想

されるスペクトルと,実際に観測されるスペクトルにはどんな違いがあるか

?

(

20

)

問題

3.

波動関数

ψ

(

x

) =

N e

−α(x−b)2/2+ikx

について調べる。

(

30

)

3

-1.

規格化条件より

N

を決定し,規格化された波動関数を定めよ。

3

-2.

確率密度

ρ

(

x

)

を求め図示せよ。

3

-3.

位置の期待値

x

を計算せよ。

3

-4.

運動量の期待値

p

ˆ

を計算せよ。

3

-5.

存在確率の流束

j

(

x

)

を計算せよ。

問題

4.

直線上を運動する質量

m

の自由粒子について,

0

x

L

の範囲で考える。

(

30

)

4

-1.

エネルギー

E

に対応する波動関数を

u

(

x

)

とし,定常状態のシュレーディンガー方程式を書け。

4

-2.

エネルギー

E

を持つ波動関数の一般解は

u

(

x

) =

Ae

ikx

+

Be

−ikx

と書ける。各項はどのような解を表すか

?

4

-3.

周期境界条件

u

(0) =

u

(

L

)

, u

(0) =

u

(

L

)

を課して系のエネルギー準位

E

n

および線形独立な波動関数

u

n

(

x

)

を求めよ。特に,量子数

n

を明確に定めること。

4

-4. 0

x

L

の範囲で規格化された波動関数を求めよ。

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参照

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