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第2回

選択 意思決定

本日 容

• ^意思決定

– ^{選択 選好}

– ^{合理的 意思決定}

• ^{ク 含 選択}

• ^{期待効用仮説}

– ^{期待効用 意思決定}

– ^{期待効用仮説 成立条件} – ^{ク 対 態度}

• ^{不確実性 主観確率}

• ^確率 – ^確率

– ^確率変数

– ^{ベイ 公式}

選択 選好

• ^{理論＆あ い 経済学＇ い 、各選択}

対象 対 選好 持 主体 考え

• ^{意思決定 数学 、2 要素 表}

1. 選択対象 集合：_�

2. 選好関係：_≿ ＆ 好 、 く 同 く い好 時 _≿ ＇同 く い好 場合 無 差別 あ いう

• _≿ ^{意味 違う 注意！}

• ^{理論や経済学 け 合理的 主体}

、完備性 推移性 満 う 主体 あ

選択 選好

仮定

– ^{完備性： べ 選択対象 い 、} _≳

≿ ^{必 成 立}

– ^{推移性： べ 選択対象 、 、 対 、}

≿ ≿ ≿

• ^{選好関係 推移性 満 、全 選択}

肢 順位付け 選好順序 呼ぶ

合理的 意思決定

• ^{合理的 意思決定：選択対象 集合} _� ^中

選好順序 一番高い 選ぶこ

• ^{序数的効用： べ 選択対象 対}

大小 順序 選好順序 一致 う 対応さ

1 実数 _� ＆ 組＇

– 序数的効用関数：序数的効用 返 関数 _�

≿ ⇔ � �

• ^{序数的効用 対応さ 数 、大小関係}

い 意味 持

– ^{例＇ ンゴ バナナ い 、あ 自身 序数的効} 用 対応さ さい

合理的 意思決定

• ^{効用関数 使うこ 、＆経済数学Ϩ}

習 ＇最大化問題 合理的 選択 定

式化

– ^{言葉 書けば、 合理的 意思決定 、選択集}

合 _� 効用 _� 最大 選択対象

選ぶこ あ

– ^{数式 表 ば}

max

�

ク 含 選択

• ^{ク 含 選択対象：結果 確率的 定}

選択対象

– ^{確実 選択対象：1 結果 確実 定 選択対} 象

例＇宝く

– 100^{人 1人1万 当 200 宝く 考え} – ^{宝く 買う}→ ^{ク 含 選択対象＆あ う}

わ い 、結果 確率的 決 ＇

– ^{宝く 買わ い}→^{確実 選択対象＆確実 200 節} 約 ＇

ク 含 選択対象

• ^{合理的 意思決定者 、 ク 含 選択対}

象 対 選好順序 持

仮定

意思決定者 、 ク 含 選択対象 対

完備性 推移性 満 選好順序 _≿ 持

期待効用 意思決定

• ^確率 _� ^{結果 起こ 、確率} _{− �} ^結果

起こ ク 含 選択対象 考え

– ^{意思決定者 確実 結果 対 効用} _� ^、 _� 持

– ^{選 得 期待効用} _� ^{＆効用 期} 待値＇

� = � × � + − � × �

• ^{経済学 、期待効用仮説 基 、意思決定}

者 期待効用 最大 選択対象 選択

仮定

期待効用 意思決定

• ^{ク 含 選択対象 関 選好順序}

≿ ⇔ � ≿ �

• ^{序数的効用 期待効用仮説 成立 い場合 あ} 点 注意!

– 2 ^効用関数 _{� = , � = , � = � =} , � = , � = ^{考え、選択対象 30％ 、}

70％ 、選択対象 確実 考え

• ^{序数効用 い} � � � ^{い 同}

＆完備性 推移性 満 ＇

• ^{期待効用 計算 、}

� = . × + . × = . = �

� = . × + . × = . = �

• ^{、期待効用仮説 成立 い}

期待効用仮説 成立条件

仮定

– ^独立性： _≿ ^{ば任意 確率} _� ^対 _{� + −}

期待効用仮説 成立条件

• ^{フォン ノイ ン＝ ン ュ ン効用関数：}

完備性、推移性、独立性、連続性 4 条件

べ 満 効用関数

– ^{こ 、期待効用仮説 必 成立}

– ^{経済学入門や クロ経済学 習う効用関数 、基本} 的 フォン ノイ ン＝ ン ュ ン効用関数

• ^選好順序 _≿ ^{期待効用仮説 満 、対応}

フォン ノイ ン＝ ン ュ ン効用

関数 ＆正一次変換 除 ＇一意 在

– ^{逆 いう 、正一次変換 あ ば選好順序 関} 期待効用仮説 満

ク 対 態度

• ^{ク 対 態度：期待値 等 い ク 含}

選択対象 確実 選択対象 い 、

– ^{ク回避型：確実 選択対象 選ぶ}

– ^{ク選好＆ 容＇型： ク 含 選択対象 選ぶ} – ^{ク中立型：無差別 あ}

• ^数学的

– ^{効用関数 関数 あ} → ^ク回避型 – ^{効用関数 関数 あ} → ^ク選好型

– →

ク 対 態度 効用関数

効用 効用 効用

効用関数

態度 対応？ 結果 期待値 同 期待効用

確実 効用

不確実性 主観確率

• ^{客観確率： 結果 現実的＆客観的＇ 起} 確率

• ^{主観確率： 結果 い 、意思決定者} 主観的 設定 確率

– ^{客観確率 分 い＆決 い い＇事象 特 不確} 実 事象 いう

• ^{ベイ ン仮説：不確実 事象 直面 意思決定} 者 事象 確率 主観的 予想 、主観的確率

期待効用 最大 選択対象 選択

– ^{不確実 事象 含 選択対象 い 期待効用仮説}

• ^{ベイ ン仮説 基 く意思決定論 ベイ ン意思} 決定論 いう

確率

• ^{確率：偶然性 含 来事＆事象＇ 起こ や さ 度合} い

• ^{状態空間： べ 起こ う 要素 集合}

• ^{事象：状態空間 中 要素＆ 集合＇}

– ^{さいこ 目 要素}

– ^{偶数 奇数 3以 う 要素 集 集合}

• ^{余事象：状態空間 あ 事象 引い 残}

• ^状態空間 _Ω ^{、事象 、以 条件 満} う 各事象 対応 実数 事象 _� 確率 いう

1.

2. _{Ω =}

例＇さいこ

• ^{さいこ 目 1～6 、}

– ^{状態空間：} _{, , , , ,} – ^要素： , , , , ,

• ^{さいこ 場合}

– ^{目 可能性 イナ い}

, , ⋯ , – ^{必 1～6}

– ^{例えば事象 偶数＆} Ω =^{＇ 奇数＆ ＇ 考え 、}

• = , , ^、 = , , ^、 = ∅

• = ^、 = ^、 + =

• = , , , , , = Ω = Ω =

• _{+ = =}

確率変数

• ^{確率変数：状態空間} _Ω ^各要素 _� ^{対 実数}

� ^{対応さ 関数}

– ^{確率変数 有限個 値} _{, ⋯ , �} ^＆全体

� ^＇

– ^状態空間 _Ω ^{確率 定義さ い}

– ^{確率変数 あ 値} _� ^{事象 確率} _��

�_� = � ∈ Ω � = _�

• ^＆_� ^{＇確率分布：確率 ベク} � = � , ⋯ , �_�

– ^確率分布 _� ^{以 満}

1. _�� , � = , ⋯ , � 2. _{� + ⋯ + �� =}

確率変数

• ^{確率変数 期待値}

= � + ⋯ + �

=

�=

�

�

例＇さいこ

• ^{各面 フ ベッ A～F 書 さいこ 考え}

– ^状態空間 Ω = , , , , ,

– ^{確率変数 、} = = , = = , = = , =

= , = = , = = ^考え

• ^{確率変数 1 確率}

� = � ∈ Ω � = = =

• ^{全部足 1}

• ^仮 � = ⋯ = � = ^、

= × + × + ⋯ + × = .

– ^{確率変数 、} _{= = = = , = = =}

= ^考え

• ^{確率変数 1 確率}

� = � ∈ Ω � = = = , ,

• ^仮 � = � = ^、

= × + × = .

ベイ 公式

• ^{事象 独立 あ ：各事象 要素 共通部分 確率 、各事象} 確率 積

= ×

– ^{事象 独立 あ 、各事象 起 確率 、他 事象 起} 確率 影響 け い

• ^{条件付確率：あ 事象 起 いう条件 、 事象 起} 確率

• ^{ベイ 公式：}

= – ^{事象 独立 、} ₌

– ^{イ ＇事象 独立 あ} →^{他 事象 起 確率 影響 け} い_→他 事象 起 う 起 い 関係 い_→ 事象 起 確率 け 見 ば い

= ^× =

ベイ 公式

• ^{同時確率：2 確率変数}

� �

^{同時 確率 =}

^{, =}

– 同時確率分布：同時確率

確率分布

– 2 ^確率変数

^同時

確率分布 べ う 値

対

=

, =

= =

× =

例＇先輩 助言

• ^{あ 、経済数学ϩa 授業 う}

迷 い

– ^{花田 講義 今 こ い}

– ^{基本的 数学 得意 、石 先生 講義} 成績 良 、 確率 良い成績 、 確率 悪い成績 来 予想

– ^{以前、花田 講義 こ あ 先輩 参考} 意見 聞い こ

– ^{、こ 先輩 花田 経済数学ϩa 講義 履} 修 こ い 、経済数学Ϩや計 経済学、 統計学 他 科目 予想 助言 あ

例＇先輩 助言

1. _{こ 先輩 いい加減 人 、 日 気分 適当} 返事

– ^{こ 先輩 講義 難易度 関係 く 確率 簡単 いう}

2. _{こ 先輩 い い自分 同 実力 性格 、こ}

先輩 難 い 思う 自分 難 い、簡単 思う 自分 簡単 あ 、経済数学ϩa

講 い い 、先輩 予測 外 こ あ

– ^{良い成績 確率 先輩 簡単 言}

く

– ^{悪い成績 確率 先輩 難 い 言 く}

例＇先輩 助言

• ^{各 同時確率 表 さい}

• ^{先輩 簡単 いわ 、良い成績}

確率 計算 さい

例＇先輩 助言

1.いい加減 先輩

先輩 助言

楽勝 イ

成績

良い成績 悪い成績

先輩 助言

楽勝 イ

成績

良い成績 悪い成績

例＇先輩 助言

2.頼 先輩