回帰モデルの拡張 計量経済学 鹿野研究室 note14

担当：鹿野（大阪府立大学）

2013 年度後期

はじめに

前回の復習

 二次関数（交差項）モデル。

 対数線形モデル⇒弾力性の推定。

今回学ぶこと

 回帰分析でダミー変数を利用。

 ダミー変数の高度な使い方。

 テキスト該当箇所 ：_5.2章。

1 回帰モデルとダミー変数

1.1 ダミー変数とは？

 _Remark：データ（変数）は、必ずしも数量で記録されるわけではない。

⊲ 例：性別。アンケートの回答者iが男_or女。

⊲ ^{例：産業。企業iが製造業}or^{非製造業。}

⊲ ^「個体iが、どちらに属するか」（属性・状態）⇒量的ではなく な情報。

 ダミー変数：個体iが、ある属性・状態に該当しなければ₀、該当すれば₁となる変数 D_i=

⎧⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎩

0 if ^{iが○ ○ に該当しない},

1 if ^{iが○ ○ に該当する}, i = 1, 2, . . . , n, ⁽¹⁾

を、 と呼ぶ。

⊲ iがどちらのグループに入るかを区別する 「ラベル」。

⊲ ^{質的な情報（男}or女など）を、分析者が機械的に数量 （_{0 or 1}）に置き換え。

 例：学生_{n = 24}人の身長と性別のデータ。

⊲ 身長は数量だが、 性別は質的情報。⇒女性ダミーに置き換え。 1

⊲ ^{学生iが女性ならばD}i _{= 1}、そうでなければ（男性ならば）D_{i = 0}。

D_{i =}

⎧⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎩

0 if ^iが男性,

1 if ^iが女性. ⁽²⁾

具体的には、_Excel上で以下の置き換え。 番号 身長 性別

1 180 ^男

2 170 ^男

... ^... ^...

21 155 ^女

22 165 ^女

23 160 ^女

24 175 ^男

⇒

番号 身長 女性ダミー

1 180 0

2 170 0

... ^... ^...

21 155 1

22 165 1

23 160 1

24 175 0

 レファレンスグループ ：ダミーの値にD_{i = 0}と割り当てられた方のグループ （上の例で は男性）を、 と呼ぶ。（_reference＝参照、参考。）

⊲ ダミー変数を使う際は、 どちらのグループをレファレンスに置いても良い。

⊲ ただし、どちらのグループがレファレンスなのか必ず明記。（例：「女ならD_{i = 1}、そ うでないならD_{i= 0}」と明記。）

 例：（講義ノート_#12のマンションのデータ） 中古マンション価格、 最寄駅所要時間、 築 年数、面積を、ワンルームダミー （間取りが_1Kなら₁、それ以外なら₀）でグループ分 け⇒平均を比べてみる。

ワンルーム

Yes No ^差

価格 _{1528.10 4289.20 -2761.10} 最寄駅時間 _{6.14 9.66 -3.52}

築年数 _{13.19 15.41 -2.22}

面積 _{20.14 61.40 -41.27}

n _{37 157}

⊲ 平均的に、ワンルームはレファレンス（ワンルーム以外の間取り）より約₂₇₆₁万円

。ワンルームは価値が低い ？

⊲ 価格以外も両グループで顕著な差が。_...ワンルームは 。

⊲ ∴^差額2761万円は、純粋に「部屋がワンルームであること」の市場評価を測ってい るとは言い難い。⇒重回帰分析で、部屋の間取り以外の要素を （講 義ノート_#12）。

1.2 ダミー説明変数

 ダミー変数D_iを説明変数とする回帰モデル

Y_{i = α + + ui,} D_{i= 0, 1. (3)}

を考える。古典的仮定_CR1∼CR5（講義ノート_#08・_#11）は成り立つとする。

⊲ Yi^もDi^も数値⇒OLS^でα, β^{の推定は可能。}

⊲ Diの回帰係数_βは、どんな意味がある ？（何を測っている？）

 D_iの係数_βの意味：_CR1よりD_iは非確率、_CR2より_E(ui_{) = 0 →(3)}式の期待値は

E(Yi_{) = α + βD}i. (4)

⊲ Di_{= 0}^{の場合の期待値を}E(Yi)Di₌₀^（「Di _{= 0}^{グループ」の平均）、D}i _{= 1}^{の場合の期}

待値を_E(Yi)D

i₌₁^（「Di = 1グループ」の平均）と置けば、

D_{i = 0} ⇒ _E(Yi₎D_i=0= α + β · 0 = ^{, (5)} D_{i = 1} ⇒ _E(Yi)D

i₌₁= α + β · 1 = ^. (6)

⊲ E(Yi)Di₌₀^とE(Yi)Di₌₀^の差は

E(Yⁱ)^Di₌₁⁻E(Yⁱ)^Di₌₀



グループ平均の差

= ^β



係数

. (7)

∴Y_iをD_iに回帰した₍₃₎式の回帰係数_βは、 に相当。

 _Remark：₍₇₎式より

E(Yi)D_i=1⁻E(Yi)D_{i=0= 0} ^⇔ _{β = 0.} (8)

∴₍₃₎式の係数_βの有意性検定_{H0: β = 0}は、 に等しい。

⊲ グループ平均の差の検定⇒東大出版会₍₁₉₉₁、_p242∼244)を参照。二標本_t検定。

⊲ ^{回帰分析の利点は ？}：他の説明変数（例えばX_i）を併用した重回帰モデル

Y_{i= α + β1}D_{i+ β2}X_{i+ ui (9)} の_β1は、「 、D_iの違いでY_iにどれだけ差が出るか」（偏回帰 係数、講義ノート_#12）。∴_β1は、単なるグループ平均の差ではない。

 例：中古マンションの価格を、 ワンルームダミーおよびそれ以外の変数に重回帰。 モデル₁ モデル₂

係数 _t値 係数 _t値

定数項 _{4289.17 26.46 1896.26 10.03}

ワンルーム_{D -2761.06 -13.21 -544.81 -3.38} 最寄駅時間 _{-36.79 -3.68}

築年数 _{-61.30 -13.35}

面積 _{60.14 27.19}

¯

R² _{0.25 0.89}

n _{194 194}

⊲ ^モデル1^{：価格をワンルーム}D^だけに 。ちょうど定数項がレファレ ンスの平均価格、 係数が二つのグループの平均価格差と同値に ！

⊲ ^モデル2^{：その他の要素を} でコントロールすると、 ワンルームの市 場評価は−₅₄₄万円程度。∴同一のスペックで比較したとき、純粋に間取りの違いだ けで発生する差額がコレ。 単なる「グループ平均の比較」 ではできない分析。

2 ダミー変数の高度な使い方

2.1 係数ダミー

 係数ダミー：通常の変数X_iとダミー変数D_iとの交差項を説明変数に持つ回帰モデル Y_{i = α + β1}D_{i+ β2}X_{i+ + ui (10)} を考える。これを と呼ぶ。

⊲ 古典的仮定の下で上式の期待値をとり、X_iで微分すると E(Yⁱ_{) = α + β}1^Di+ β2^Xi+ β3^DiXi

X_iで微分

−−−−−−−→

d_E(Yi)

dX_i ^{= β2+ . (11)}

⊲ Di_{= 0}^、Di _{= 1}それぞれの場合について、 上の導関数は D_{i= 0} ⇒

d_E(Yi)

dX_i ^{= β2+ β3·0 = , (12)}

D_{i= 1} ⇒

d_E(Yi)

dX_i ^{= β2+ β3·1 = . (13)}

∴ D_{i= 0 or 1}で、X_iの導関数が だけ異なる。グループ毎にX_iの_E(Yi)への影 響が異なる状況をモデル化する際、 便利。

⊲ 通常の変数同士の交差項モデル （講義ノート_#13） と、意味はだいたい同じ。

2.2 被説明変数がダミー変数

 分析の目的によっては、 がダミーの場合もあり得る。

⊲ ^例：Di ₌既婚ダミー（未婚なら₀、結婚していれば₁）、X_{i =}年収。⇒年収X_iが、 D_{i= 1}（結婚）となる確率に与える影響を推定したい。

⊲ ^例：Di ₌倒産ダミー（企業が存続なら₀、倒産すれば₁）、X_{1i, X2i}, . . . , XKi ₌^企業i

の前年度の財務変数。⇒財務状況から、D_{i= 1}（倒産）となる原因を解明したい。

 線形確率モデル：ダミー変数D_iを被説明変数とする回帰モデル

= α + βXⁱ+ u. ⁽¹⁴⁾

を、 と呼ぶ。（複数の説明変数による重回帰でも良い。）

⊲ β^は、Xiの変化で「D_{i= 1}となる確率_Pr(Di_{= 1)}」がどれだけ変化するかを近似。

 線形確率モデルの問題点 ：線形確率モデルの_OLS予測値 ˆ

D_{i = ˆα + ˆβXi (15)}

は、必ずしも を満たさない。∴「確率」を予測するモデルとして、不適当。

⊲ この場合、線形確率モデルの代わりに、「_{0 ≤}予測値≤ ₁」を満たす別のモデル （プ ロビットなど）を使う。詳しくはこの講義の終盤で。

2.3 二つ以上のグループ分け

 標本が、二つ以上の属性・状態にグループ分けされる場合もある。

⊲ 例：学歴。中卒・高卒・大卒の三つ。

⊲ 例：四季。春・夏・秋・冬の四つ。

 複数の属性・状態も、ダミー変数を上手く使って数値化できる。

⊲ 回帰モデルに取り入れることも可能。⇒宿題_#03参照。

⊲ ^テキストp137∼139^も参照。

まとめと復習問題

今回のまとめ

 説明変数としてのダミー変数。

 ダミーの高度な使い方 ：係数ダミー、線形確率モデル、 複数のグループのダミー。

復習問題

出席確認用紙に解答し （用紙裏面を用いても良い）、 退出時に提出せよ。

1. ^{サラリーマンの年収incomei、勤続年数careeri、女性ダミーDi（男→}0^、女→1^）のデー タがある。

(a) 性別をコントロールした上で、 勤続年数が年収に与える影響を分析するには、 どの ような回帰モデルを設定すれば良いか ？

(b) 勤続年数が年収に与える影響の男女差を分析するには、 どのような回帰モデルを設 定すれば良いか？