Final Solutions 最近の更新履歴 yyasuda's website




Final  Exam: Solutions 

Date: April 3, 2011 

Subject: Game Theory (ECO290E)  Instructor: Yosuke YASUDA   


1.  True or False (6 points) 

Answer whether each of the following statements is true (T) or false (F). You do NOT  need to explain the reason. Please just indicate T or F. 


A) A strategy in dynamic games is the plan of actions, which specifies what the player  will do in the information set reached ONLY on the equilibrium path. 

B) For ANY dynamic games of bargaining, the subgame perfect equilibrium outcome  ALWAYS realizes equal surplus division among players. 

C) In  finitely  repeated  games,  players  cannot  sustain  (as  a  subgame  perfect  Nash  equilibrium)  ANY  action  profiles  that  are  different  from  the  stage  game  Nash  equilibrium in the LAST period. 


Answer: (A) F (B) F (C) T   

2.  Dynamic Game (12 points, moderate) 

Consider the dynamic game described by following game tree.   


a) Translate this game into normal‐form by drawing the payoff bi‐matrix. 

Answer: Figure skipped. Player 1’s strategies are: AE, AF, BE, BF, Player 2’s strategies  are C, D. 

b) Find all pure‐strategy Nash equilibria. How many are there?  Answer: (AE, C) (AF, C) 

1 2 1




(10, 3)

(8, 8)

(0, 5) (1, 1)



c) How many subgames (except for the entire game) does this game have?  Answer: 2 

d) Solve  this  game  by  backward  induction,  and  derive  the  subgame  perfect  Nash  equilibrium. You may state the strategy profile or show it on the game tree. 

Answer: (AE, C)   


3.  Bargaining (8 points, easy) 

Players 1, 2 and 3 are bargaining over how to split the ice‐cream of size 1. In the first  period, player 1 proposes a share (x, y, 1‐x‐y) to players 2 and 3 where each share must  be between 0 and 1. Players 2 and 3 can decide whether accepting the offer or reject it.  If both players accept, then the game finishes and each player gets the proposed shares.  If either one of them rejects, the game moves to the second period, in which the size of  the ice‐cream becomes 60% of the original size due to melting. In the second stage, by  flipping  a  coin,  the  ice‐cream  is  randomly  assigned  to  player  2  or  3  with  equal  probability,  i.e.,  50%  each.  Suppose  that  each  player  maximizes  expected  size  of  the  ice‐cream that she can get. Derive a subgame perfect Nash equilibrium of this game.   

Hint: You can focus on the equilibrium in which both players 2 and 3 accept the offer in  the first period. 


Answer: (x, y, 1‐x‐y)=(0.4, 0.3, 0.3), and players 2 and 3 accepts if and only if their share  is greater than or equal to 0.3. 


4.  Repeated Game (12 points, moderate) 

Consider the following two persons 2 x 2 game.   

1 / 2  L  R 

U  3, 4  0, 6  D  4, 0  1, 2   

A) Find all pure‐strategy Nash equilibria.  Answer: (D, R) 

B) Consider  the  two‐period  repeated  game  in  which  the  above  stage  game  will  be  played  twice.  Suppose  that  the  payoff  for  each  player  is  simply  the  sum  of  the  payoffs  in  the  stage  games.  Then,  can  (U,  L)  be  sustained  as  a  subgame  perfect 



Nash equilibrium? If yes, derive the equilibrium. If not, explain why. 

Answer: No, since the stage game has a unique Nash equilibrium and hence the  unique subgame perfect Nash equilibrium is its repeated play. 

C) Now suppose that the game will be played infinitely many times, and each player  tries to maximize the discounted sum of payoffs with the discount factor δ (< 1).  For  what  value  of  δ,  can  (U,  L)  be  sustained  as  a  subgame  perfect  Nash  equilibrium? 

Hint:  You  can  focus  on  the  trigger  strategy.  Consider  both  players  incentive  constraints, since the game is not symmetric. 

Answer: δ ≥ max{1/3, 1/2} = 1/2.   


5.  Incomplete Information (12 points, think carefully) 

Consider  a  game  of  election  with  asymmetric  information  among  voters  (citizens).  Whether candidate A or candidate B is elected depends on the votes of two citizens.  The  social  situation  may  be  in  one  of  two  states,  a  and  b.  The  citizens  agree  that  candidate A is best if the state is a, and candidate B is best if the state is b. The payoff  for each citizen is symmetric and given as follows: 1 if the best candidate wins, 0 if the  other candidate wins, and 0.5 if the candidates tie. Suppose that citizen 1 knows the  true state, whereas citizen 2 believes that the state is a with probability 0.8 and b with  probability 0.2. Each citizen takes either one of the three actions: vote for candidate A,  vote for candidate B, and not vote. 

A) Consider the corresponding Bayesian game. What is the strategy for each player?  Answer: Player 1: {AA, AB, AN, BA, BB, BN, NA, NB, NN}, Player 2: {A, B, N}.   

Note that a strategy is contingent action plan; player 1 has to decide what she will  do  depending  on  the  realization  of  the  true  state.  First  (/second)  element  corresponds to the strategy when the true state is a (/b).) 

B) Derive the pure strategy Bayesian Nash equilibria. 

Hint:  There  are  two  equilibria,  and  the  one  of  them  involves  weakly  dominated  strategy. 

Answer: (AB, N) and (NB, A) where the latter involves weakly dominated strategy;  NB is weakly dominated by AB. 

To derive NE, you have to check whether players’ strategies become mutual best  replies. It is straightforward that citizen 2 will not take B in equilibrium. So, you can  divide possible equilibria in two cases: citizen 2 takes A or N, then examine which  strategy of citizen 1 becomes equilibrium. 




関連した話題 :

Scan and read on 1LIB APP