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E in SMExam2016 最近の更新履歴 物理学ノート E in SMExam2016

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Academic year: 2017

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統計力学演習 (Wednesday February 8th, 2017) 期末試験 1

• 解答用紙は縦長に用い,左上に綴る余白を空け,表だけに書く。

• β = (kT )−1であり,温度T の関数と逆温度 βの関数は同意語とする。

スターリングの公式 N! ≃ (N/e)N または log N! ≃ N(log N − 1)を用いて良い。

問題1.次の小問に答えよ。 (30)

1-1. ある系におけるミクロカノニカル分布の熱力学的重率をW (U, δU)とする。系のエネルギー固有値Ei に属する 固有状態iに与えられる確率p(MC)i をW (U, δU)を用いて表わせ。

1-2. ある物理量 fˆに対して,統計力学で計算した期待値⟨ ˆf ⟩とそのゆらぎσ[ ˆf ]との間にσ[ ˆf ] ≪ ˆf が成り立つと き,⟨ ˆf ⟩についてどんなことが言えるか。

1-3. カノニカル分布の分配関数Z(β)から,エネルギーの期待値 ⟨ ˆH ⟩ 及びヘルムホルツの自由エネルギーF(β)を 導くための関係式を書け。

問題2. N個の独立な調和振動子の全エネルギーは (40)

E(M, N) = N 2

ω + Mℏω

と書ける。ここで量子数 M は,非負整数(0, 1, 2, . . . )である。この系の熱力学的重率W (M, N)は W (M, N) = (M + N − 1)!

M! (N − 1)! と計算できる。以下,N ≫ 1とする。

2-1.系のエントロピーSを求めよ。仮定が必要なら,理由を述べた上で用いて良い。 2-2.系の全エネルギーE を温度T の関数で求め,グラフで表わせ。

2-3.熱容量C(T ) = ∂E(T, N)

∂T を計算せよ。

問題3.一様な磁場H の中に固定された互いに独立なN 個のスピン系のエネルギーは (40)

E1, σ2, ..., σN) =

N

j=1

(−µHσj)

と書ける。σj は j番目のスピン変数σˆj の固有値で,上向きなら+1を,下向きなら−1を取る。各スピンは固定さ れているので,スピン同士の入れ換えは考えなくて良い。

3-1.上の式から分かるように,この系ではスピン1つあたり−µHσ のエネルギーを持つ。1つのスピンからなる系 の分配関数 Z(β, H, 1)を求めよ。

3-2.スピン1つの期待値⟨ ˆσ⟩を計算せよ。

3-3.互いに独立な N 個のスピンからなる系の分配関数Z(β, H, N)を計算せよ。

3-4.磁化m :=ˆ 1 N

N

j=1

µ ˆσj の期待値 ⟨ ˆm⟩を計算しせよ。

3-5.磁化率 χ(β) := ∂ ⟨ ˆm⟩

∂H H =0

を計算せよ。磁化し易いのは,低温と高温のどちらか?

参照

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