E in SMExam2016 最近の更新履歴 物理学ノート E in SMExam2016

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全文

(1)

統計力学演習

(Wednesday February 8th, 2017)

期末試験

1

解答用紙は縦長に用い,左上に綴る余白を空け,表だけに書く。

β

=

(

kT

)

−1

であり,温度

T

の関数と逆温度

β

の関数は同意語とする。

スターリングの公式

N

!

≃ (

N

/

e

)

N

または

log

N

!

N

(

log

N

1

)

を用いて良い。

問題

1.

次の小問に答えよ。

(30

)

1

-1.

ある系におけるミクロカノニカル分布の熱力学的重率を

W

(

U

, δ

U

)

とする。系のエネルギー固有値

E

i

に属する

固有状態

i

に与えられる確率

p

(MC)i

W

(

U

, δ

U

)

を用いて表わせ。

1

-2.

ある物理量

f

ˆ

に対して,統計力学で計算した期待値

f

ˆ

とそのゆらぎ

σ

[

f

ˆ

]

との間に

σ

[

f

ˆ

] ≪

f

ˆ

が成り立つと

き,

f

ˆ

についてどんなことが言えるか。

1

-3.

カノニカル分布の分配関数

Z

(

β

)

から,エネルギーの期待値

H

ˆ

及びヘルムホルツの自由エネルギー

F

(

β

)

導くための関係式を書け。

問題

2.

N

個の独立な調和振動子の全エネルギーは

(40

)

E

(

M

,

N

)

=

N

2

ω

+

M

ω

と書ける。ここで量子数

M

は,非負整数

(

0,

1,

2, . . .

)

である。この系の熱力学的重率

W

(

M

,

N

)

W

(

M

,

N

)

=

(

M

+

N

1

)

!

M

!

(

N

1

)

!

と計算できる。以下,

N

1

とする。

2

-1.

系のエントロピー

S

を求めよ。仮定が必要なら,理由を述べた上で用いて良い。

2

-2.

系の全エネルギー

E

を温度

T

の関数で求め,グラフで表わせ。

2

-3.

熱容量

C

(

T

)

=

E

(

T

,

N

)

T

を計算せよ。

問題

3.

一様な磁場

H

の中に固定された互いに独立な

N

個のスピン系のエネルギーは

(40

)

E

(σ1, σ2, ..., σN)

=

N

j=1

(−

µ

H

σ

j

)

と書ける。σ

j

j

番目のスピン変数

σ

ˆ

j

の固有値で,上向きなら

+

1

を,下向きなら

1

を取る。各スピンは固定さ

れているので,スピン同士の入れ換えは考えなくて良い。

3

-1.

上の式から分かるように,この系ではスピン

1

つあたり

µ

H

σ

のエネルギーを持つ。

1

つのスピンからなる系

の分配関数

Z

(

β,

H

,

1

)

を求めよ。

3

-2.

スピン

1

つの期待値

σ

ˆ

を計算せよ。

3

-3.

互いに独立な

N

個のスピンからなる系の分配関数

Z

(

β,

H

,

N

)

を計算せよ。

3

-4.

磁化

m

ˆ

:

=

1

N

N

j=1

µ

σ

ˆ

j

の期待値

m

ˆ

を計算しせよ。

3

-5.

磁化率

χ

(

β

)

:

=

m

ˆ

H

H=0

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