14 2 速度と加速度
2.4
速度の合成
R
O
O'
x
y
O'
θ
P
r
'B
A
t
bãt
=0C
D
図4
問題11. 半径Rの車輪が等速vで滑らずに転がっている。車輪上の
一点の座標と速度，加速度を求める。車輪の中心O′が原点Oを通り
過ぎた時刻を0とする。また角速度ωをω :=
v
R と定義する
*4
。以下 (♦,♢)でベクトルのx, y成分を表す。
11-1. Oから見たO′の位置をr0で表す。時刻tでのr0の座標を
求めよ。
【解答】O′ のx座標は車輪が進んだ距離OA=vtに等しい。y座
標は車輪の半径Rに等しい。よって
r0= (vt, R). (2.66)
11-2.時刻0で地面に接していた車輪上の点が時刻tで点Pに来た。図のθをωを使って表せ。
【解答】車輪は滑らないので円弧APとOAとは長さが等しい。AP =Rθより
Rθ=vt, ∴ θ=vt
R =ωt. (2.67)
11-3.O′から見た点Pの位置ベクトルr′を求めよ。
【解答】O′を原点と考えると，r′の大きさはR，偏角は 3
2π−θなので
r′=R
(
cos(3
2π−θ),sin( 3 2π−θ)
)
=R(−sinθ,−cosθ) =R(−sinωt,−cosω). (2.68)
11-4.原点Oから見た点Pの座標rを求めよ。
【解答】r=r0+r′と書ける。(2.66)と(2.68)，およびv=Rωより
r=r0+r′= (Rωt, R) +R(−sinωt, −cosωt) =R(ωt−sinωt,1−cosωt) (2.69)
である*5。t= 0でr= (0,0) =0となり，点Pはきちんと原点にある。またnを整数としてθ=ωt= 2nπ
のとき，点Pは地面に接する。その時のP の座標は
R(2nπ,0) =n(2πR,0). (2.70)
つまりnは車輪の回転数に対応する。
11-5.原点Oから見た点Pの速度v= ˙rを求めよ。
【解答】速度の定義と(2.69)より
v= ˙r= d
dt(r0+r
′) = ˙r
0+ ˙r′
=R(ω−ωcosωt, ωsinωt) =Rω(1−cosωt,sinωt). (2.71)
*4
角速度については，単振動の節で詳しく議論する。 *5
2.5 外積を用いる計算例 15
特にP が地面に接するのはωt= 2nπの時で，その瞬間の速度vAは
vA=Rω(1−cos 2nπ,sin 2nπ) = (0,0) =0. (2.72)
地 面 に 接 す る 瞬 間 ，P は 静 止 し て い る 。こ れ は 車 輪 が 滑 ら な い こ と を 意 味 す る 。車 輪 の 平 行 移 動 の 速
度r˙0 = (v,0) と 回 転 運 動 に よ る 速 度 r˙A′ = (−v,0) の 合 成 で あ る 。一 方P が 車 輪 の 頂 上B に あ る 時 ，
ωt= (2n+ 1)πより，その瞬間の速度vBは
vB =Rω(1−cos(2n+ 1)π,sin(2n+ 1)π) =Rω(2,0) = (2v,0). (2.73)
これも平行移動の速度(v,0)と回転運動の速度(v,0)の合成である。同様に図4の点C，点Dでの速度は
vC = (v, v), vD= (v,−v). (2.74)
それぞれ右斜め上および右斜め下を向いている。
11-6.原点Oから見た点Pの加速度aを求めよ。
【解答】加速度の定義と(2.69)より
a= ¨r=Rω2(sinωt, cosωt) =−ω2r′. (2.75)
常に車輪の中心O′向きに加速度が生じている*6。
2.5
外積を用いる計算例
r
r
+
v
∆
t
v
+
a
∆
t
v
a
∆
t
v
r
v
∆
t
O
O
t
bã∆
t
θ
図5
問題12. 右図は平面上のある1点の回りを運動している物体のある瞬間
の位置ベクトルrと速度v，加速度aを図示したものである。以下，加速
度aと位置ベクトルrとが常に平行な場合を考える。
12-1.時刻tでrとvで作られる三角形（灰色の領域）の面積を面積速
度という。面積速度が 1
2|r×v|と与えられることを示せ
*7
。
【解答】外積の定義より
1
2|r×v|= 1
2rvsinθ. (2.76)
ここでr:=|r|, v:=|v|である。これは図の灰色の三角形の大きさに他な
らない。つまり 1
2|r×v|は面積速度の大きさに等しい。
12-2.面積速度が一定であることを面積速度の時間微分より示せ。
【解答】S(t) := 1
2(r×v)とする。
˙
S= 1
2( ˙r×v+r×v˙) = 1
2(v×v+r×a) = 1
2r×a= 0. (2.77)
ここで加速度と位置ベクトルが平行であることa∥rを用いた。時間による導関数が0なのでSは時刻に依
らず一定である。またこの条件には時刻tが陽に入っていないので，任意の時刻に対して成立する。
*6O′
と共に動く座標系では中心力であることを意味する。回転運動のところで詳しく考察する。 *7
16 2 速度と加速度
12-3.時刻t+ ∆tでの面積速度を計算し，それが時刻tでの面積速度と一致することを示せ。ただし(∆t)
2
のオーダーは無視してよい。
【解答】∆t秒後，位置はr(t+ ∆t) =r+ ˙r∆t+. . .，速度はv(t+ ∆t) =v+ ˙v∆t+. . . となる。よって
S(t+ ∆t) = 1
2[r(t+ ∆t)×v(t+ ∆t)]≃ 1 2
[
(r+ ˙r∆t)×(v+ ˙v∆t) +O((∆t)2)]
≃ 1
2
[
(r+v∆t)×(v+a∆t) +O((∆t)2)]
≃1
2
[
(r×v) + (v×v+r×a)∆t+O((∆t)2)]
=S(t) +O((∆t)2). (2.78)
従ってO(∆t)までの計算でS(t)は一定である。最後の変形で前問と同様にa∥rを用いた。ここではrとv
を別途テイラー展開して外積をとったが，Sを直接テイラー展開しても同じである。もちろんより高次の項ま
で計算してもSが変化することはない。つまりO((∆t)
2
)以上の項は全て0になる。例えばO((∆t)
2
)の項は
(∆t)2
2! S¨= (∆t)2
2!
d2
dt2(r×v) =
(∆t)2
2!
d
dt(v×v+r×a) = 0. (2.79)
最後の変形では，v×v+r×aが恒等的に0であることを用いた。一般にn次の項も
(∆t)n n!
dn
S
dtn =
(∆t)n n!
dn
dtn(r×v) =
(∆t)n n!
dn−1
dtn−1(v×v+r×a) = 0. (2.80)
2.6
余弦定理を用いる計算例
α
u
v
z
y
x
O
A
B
図6
問題13. 港から見て角αをなす二直線に沿って船Aが定速度uで港に近づき，舟
Bが定速度vで港から遠ざかっている場合を考える。港の位置を原点Oとし，港か
ら船A，船Bまでの距離をそれぞれx, yとする。
13-1.船Aと船Bとの距離zをx, y, αを使って書け。
【解答】余弦定理より
z2=x2+y2−2xycosα. (2.81)
図よりz=x−yなのでz
2
= (x−y)2としても同じ。
13-2.2つの船同士の距離zが最小のとき，港から2つの船までの距離の比が
x:y= (v+ucosα) : (u+vcosα) (2.82)
となることを示せ。ここで，u:=|u|, v:=|v|である。
【解答】zが最小になる瞬間，その時間微分は0でなくてはならない。そこで(2.81)の両辺をtで微分し，
˙
x=−u,y˙ =vとすると
2zz˙ = 2xx˙+ 2yy˙−2 ˙xycosα−2xy˙cosα= 0
−xu+yv+uycosα−xvcosα= 0
−x(u+vcosα) +y(v+ucosα) = 0
∴ y
x=
u+vcosα
v+ucosα. (2.83)
これは(2.82)に等しい。ここでx˙ =−uと負号を付けた理由は，船Aは港に近づくためx˙ が負であること
