大阪大学・応用ミクロ経済（2014年2学期） 安田洋祐の研究室 PracticeF New

応用ミクロ経済 ₍₂₀₁₄ 年度・後期 ₎

演習問題 ₂

1. ^{オークション}

売り手と買い手が一人ずついるダブルオークションを考える．各プレイヤーが同時に要求価格p_sとp_bを決 定し，p_s≦ p_bのとき，かつそのときに限り取引が行われる．実際の支払い価格 pは，次の計算式 によって与 えられる₍ただしθは_{0 ≦}θ_{≦ 1}を満たすパラメータ₎：

p=^θp_s+ (1^−θ)pb^．

アイテムに対する価値_vsと_vbは各プレイヤーの私的情報で，それぞれ独立に_{[0, 1]}上の一様分布に従う．ま た，θの値はプレイヤーたちの共有知識とする．この状況をベイジアン・ゲームとして分析するとき，以下の 問に答えなさい．

(a) ^θ= 1のとき，買い手にとって最適な入札戦略₍弱支配戦略₎を求めなさい．

(b) (a)^{の結果をもとに，θ}= 1のもとでの売り手のナッシュ均衡戦略を求めなさい．

(c) ^θ= 0のとき，売り手にとって最適な入札戦略₍弱支配戦略₎を求めなさい．

(d) (c)^{の結果をもとに，θ}= 0のもとでの売り手のナッシュ均衡戦略を求めなさい．

(e) 0 <^θ<1のとき，売り手と買い手のナッシュ均衡戦略をそれぞれ求めなさい．

2. ^{不確実性下の意思決定}

A^さんは100万円を保有しているが，一定の確率で₇₅万円を失う₍所得が₂₅万円になる₎とする．₇₅万円 の損失を被る確率は「努力する」か「しない」かによって変わり，「努力する」場合には

1

3^{，「しない」場合に} は

2

3 であるとする．ここで，_Aさんが「努力する」ことに対するコストを_cとし_(cは非負の実数とする₎，リ スクに対する選好は以下の_vNM効用関数で表されるとする．

u(x) :=^√_{x − c.}

このとき，コストcがどのような条件をみたす時に_Aさんは「努力する」かを答えなさい．

3. ^{モラル・ハザード}

3.1 生産ゲーム

エージェントの₍期待₎効用は賃金wと努力コストeで決まるとし，以下の_vNM関数で表現される． u(w, e) := w − e.

e^{は値として}0 (「努力しない」ことを表す₎か_{7 (}「努力する」ことを表す₎を，_wは任意の実数を取りうると

1

する．エージェントの賃金は成果に依存させることができるとし，成果₀のときの賃金をw₀，成果₁の時の 賃金をw₁とする．以下の表はエージェントの努力に応じた成果の生起確率を表している₍例えば「努力e= 7 の場合には成果₀が_0.2の確率で，成果₁が_0.8の確率で起こる」の様によむ）．

図₁ エージェントの努力水準に応じた成果の生起確率

(a) 賃金が_(w0,w₁)で与えられているとき，それぞれの努力水準_{(e= 0}またはe= 7)^{におけるエージェン} トの期待効用を表す式を求めなさい．

(b) 高い努力水準_{(e= 7)}を得るためのインセンティブ条件_(IC)と参加条件_(PC)を表す式を求め，それぞ れを満たす賃金契約_(w0,w₁)^{の領域を，}w₀を横軸，w₁を縦軸とする₂次元平面上に図示しなさい．た だしエージェントの留保効用₍契約を受け入れなかった時に得られる外部効用₎はU= 4^とする． (c) インセンティブ条件と参加条件をどちらも満たす，最適な賃金を図示しなさい．ただし，雇い主の利得

は「成果_{× 1000 −}賃金 」（の期待値）できまるとする．

3.2 ブロードウェイゲーム

プロデューサーの₍期待₎効用は賃金wと着服金mで決まるとし，以下の_vNM関数で表現される． u(w, m) =^√w+ m

mは値として_{0 (}「着服しない」ことを表す₎または_{5 (}「着服する」ことを表す₎を，wは非負の実数を取りう るとする．プロデューサーの賃金をは利益に依存させることができるとし，利益−100, 100, 500^{のときの賃金} をそれぞれ_w0,w1,w2と表す．以下の表は，プロデューサーの行動に応じた利益の生起確率を表している．

図₂ プロデューサーの行動に依る利益の生起確率

2

(a) 賃金が_(w0,w₁,w₂)で与えられているとき，それぞれの行動_{(m= 0}またはm= 5)^{におけるプロデュー} サーの期待効用を表す式を求めなさい．

(b) 着 服 を さ せ な い_{(m= 0)}た め の イ ン セ ン テ ィ ブ 条 件 と 参 加 条 件 を 表 す 式 を 求 め な さ い ．た だ し プ ロ デューサーの留保効用はU= 0^とする．

(c) プ ロ デ ュ ー サ ー に 着 服 さ せ ず ，か つ 投 資 家 の 期 待 利 得 が₁₀₀以 上 に な る に は ，ど の よ う な 賃 金 の 組 (w0^,w1^,w2)を選べば良いだろうか．ただし，投資家はリスク回避的で，利得は「利益₋賃金」₍の期待 値₎で決まるとする．

4. ^{シグナリング}

労働者が教育に投資するかどうかの選択を持つ．企業は労働者の教育投資に関する選択を観察したうえで (労働者の能力タイプは観察することが出来ない状況で₎雇用するかどうかを決定する．ただし，過去の統計か ら能力の高いタイプと低いタイプとの比率は_{1 : 2}であることが知られているとする．

労働者への報酬は労働者のタイプによらず，雇用されれば₆，雇用されなければ₀である．一方で教育投資 へのコストは労働者のタイプに依存し，能力の高いタイプ_(H)は₃，能力の低いタイプ_(L)は₈のコストを費 やす．また，企業の利得は雇用しなければ₀，能力の高いタイプを雇用すれば₁，能力の低いタイプを雇用す れば₋₁であるとする．このゲームの展開型表現は以下のようになる．ここで，_N，_H，_L，_Cはそれぞれ自然， 能力の高い労働者，能力の低い労働者，企業を表す．また，_ivは教育投資をすること，_ntはしないことを，_yes は雇用すること，_noはしないことを表す₍利得は完全には記入していないので注意₎．

図₃ 労働市場ゲームの展開型表現

(a) 上の展開形ゲームの利得を完全に記入しなさい．ただし，労働者の利得は「労働報酬₋教育投資コス ト」で計算し，木の中心₍点_N)に近い側に記入すること．

(b) このゲームでの戦略はどういうものか．プレイヤーごとに答えしなさい．

(c) 労働者には支配される戦略は存在するだろうか．存在する場合はそれを挙げなさい．

(d) 分離(Separating)型の均衡は存在するだろうか．存在する場合はそれを求めなさい．

(e) ^一括(Pooling)型の均衡は存在するだろうか．存在する場合はそれを求めなさい．

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