第6回補助資料スライド lecture Shinya Sugawara(菅原慎矢)

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全文

(1)

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統計学

I

および演習 第

6

回 確率 補助資料

菅原慎矢

(2)

13枚のトランプが配られたとき、ダイヤが7枚含まれる確率は? 根源事象の総数: 52枚から13枚引く組み合わせ: 52C13

条件を満たす事象の数: 「13枚のダイヤのカードから7枚を引く組み合わ

せの数」×「ダイヤでない39枚のカードから6枚を引く組み合わせの数」

=13C7×39C6

求める確率: これらの比

(3)

例題

5.1(1)

壺に4個の青玉, 2個の赤玉が入っているとする

6個の玉を順番に取り出して並べる際に、赤玉が並ぶ確率は?

根源事象の総数: 6個の玉を並べる順列: 6P6= 6! 条件を満たす事象の数: 5×2×4!

6個の玉が並んでいるとき赤玉が並ぶ場所: 1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6の5つ

そえぞれの場所で、赤玉1が先,2が後にくるものと、赤玉2が先, 1が後にくるも

のの2通り

赤玉が並んだ後の4カ所に青玉が並ぶ順列の数は4P4= 4!

(4)

めよ 考え方(1)

P(A) = 1/4

P(B): 「13枚のハートから2枚引く組み合わせ」/「52枚のカードから2枚 引く組み合わせ」=13C2/52C2= 1/17

二枚ともハートなら、1枚目はハートでないと行けない。よってA∩B=B

条件付き確率の定義より

P(B|A) = P(A∩B)

P(A) =P(B)/P(A) = 4/17 (1)

考え方(2)

制約された標本空間で考えると、1枚目がハートなので、2枚目を引くとき51

枚のカードしかなく、そこから12枚しかないハートを引く確率なので、

12/51 = 4/17

(5)

5.3

赤青二つのゆがみのないサイコロを投げるとき,赤のサイコロが偶数になる

事象をA,青のサイコロが2以下になる事象をBとする サイコロにゆがみがないため、これらの事象は独立である P(A) = 1/2,P(B) = 1/3,P(A∩B) = 6/36 = 1/6 =P(A)P(B) P(A|B) = 6/12 = 1/2 =P(A),P(B|A) = 6/18 = 1/3 =P(B)

赤 /青 1 2 3 4 5 6

1 B B

2 AB AB A A A A

3 B B

4 AB AB A A A A

5 B B

(6)

USBメモリーに、外見の全く同じ偽物がある 純正品A,偽物Acの市場シェアは95:5

つまりP(A) = 0.95, P(Ac

) = 0.05

不良品であるという事象をBとすると、

P(B|A) = 0.01(純正品が不良品である確率は1%)

P(B|Ac

) = 0.5(偽物が不良品である確率は50%)

警察がある家を捜索し、多くのUSBメモリーを確保した。これらはすべて

純正品か、すべて偽物かのどちらかである。しかし、外見からでは区別がつ かない

ここで確保したうちの1つを取り出しテストしたところ、不良品であった。

では、これらがすべて偽物である確率はいくらか

(7)

例題

5.5,

回答

求めるもの: P(Ac

|B)(テストした一つが偽物だったという情報を得たとき に、すべてが偽物であるという事後確率)

ベイズの公式より、P(Ac|B) =P(AcB)/P(B). ここで

P(Ac

∩B) = P(B|Ac )P(Ac

) = 0.5∗0.05 = 0.025 (2)

P(A∩B) = P(B|A)P(A) = 0.01∗0.95 = 0.0095 (3) P(B) = P(Ac

∩B) +P(A∩B) = 0.025 + 0.0095 = 0.0345(4)

よってP(Ac

|B) = 0.025/0.0345 = 0.725

事前確率はテストを行う前の段階で、これらがすべて純正品である確率であ り、これは市場シェアであるP(Ac) = 0.05。つまり、このテストから得ら

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参照

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