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統計学
I
および演習 第
6
回 確率 補助資料
菅原慎矢
13枚のトランプが配られたとき、ダイヤが7枚含まれる確率は? 根源事象の総数: 52枚から13枚引く組み合わせ: 52C13
条件を満たす事象の数: 「13枚のダイヤのカードから7枚を引く組み合わ
せの数」×「ダイヤでない39枚のカードから6枚を引く組み合わせの数」
=13C7×39C6
求める確率: これらの比
例題
5.1(1)
壺に4個の青玉, 2個の赤玉が入っているとする
6個の玉を順番に取り出して並べる際に、赤玉が並ぶ確率は?
根源事象の総数: 6個の玉を並べる順列: 6P6= 6! 条件を満たす事象の数: 5×2×4!
6個の玉が並んでいるとき赤玉が並ぶ場所: 1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6の5つ
そえぞれの場所で、赤玉1が先,2が後にくるものと、赤玉2が先, 1が後にくるも
のの2通り
赤玉が並んだ後の4カ所に青玉が並ぶ順列の数は4P4= 4!
めよ 考え方(1)
P(A) = 1/4
P(B): 「13枚のハートから2枚引く組み合わせ」/「52枚のカードから2枚 引く組み合わせ」=13C2/52C2= 1/17
二枚ともハートなら、1枚目はハートでないと行けない。よってA∩B=B
条件付き確率の定義より
P(B|A) = P(A∩B)
P(A) =P(B)/P(A) = 4/17 (1)
考え方(2)
制約された標本空間で考えると、1枚目がハートなので、2枚目を引くとき51
枚のカードしかなく、そこから12枚しかないハートを引く確率なので、
12/51 = 4/17
例
5.3
赤青二つのゆがみのないサイコロを投げるとき,赤のサイコロが偶数になる
事象をA,青のサイコロが2以下になる事象をBとする サイコロにゆがみがないため、これらの事象は独立である P(A) = 1/2,P(B) = 1/3,P(A∩B) = 6/36 = 1/6 =P(A)P(B) P(A|B) = 6/12 = 1/2 =P(A),P(B|A) = 6/18 = 1/3 =P(B)
赤 /青 1 2 3 4 5 6
1 B B
2 AB AB A A A A
3 B B
4 AB AB A A A A
5 B B
USBメモリーに、外見の全く同じ偽物がある 純正品A,偽物Acの市場シェアは95:5
つまりP(A) = 0.95, P(Ac
) = 0.05
不良品であるという事象をBとすると、
P(B|A) = 0.01(純正品が不良品である確率は1%)
P(B|Ac
) = 0.5(偽物が不良品である確率は50%)
警察がある家を捜索し、多くのUSBメモリーを確保した。これらはすべて
純正品か、すべて偽物かのどちらかである。しかし、外見からでは区別がつ かない
ここで確保したうちの1つを取り出しテストしたところ、不良品であった。
では、これらがすべて偽物である確率はいくらか
例題
5.5,
回答
求めるもの: P(Ac
|B)(テストした一つが偽物だったという情報を得たとき に、すべてが偽物であるという事後確率)
ベイズの公式より、P(Ac|B) =P(Ac∩B)/P(B). ここで
P(Ac
∩B) = P(B|Ac )P(Ac
) = 0.5∗0.05 = 0.025 (2)
P(A∩B) = P(B|A)P(A) = 0.01∗0.95 = 0.0095 (3) P(B) = P(Ac
∩B) +P(A∩B) = 0.025 + 0.0095 = 0.0345(4)
よってP(Ac
|B) = 0.025/0.0345 = 0.725
事前確率はテストを行う前の段階で、これらがすべて純正品である確率であ り、これは市場シェアであるP(Ac) = 0.05。つまり、このテストから得ら
