渡辺悠樹について Haruki Watanabe University of Tokyo JPSJ

南部・ゴールドストーンボソンの統一的理解

渡 辺 悠 樹　

村 山 　 斉

自発的対称性 破 素粒子物理 原子核 物性 冷却原子 天体 更 初期宇宙論 化学 生物 幅広 適

用 重要 考 方 特 連続的 対称性 場合 励起 南部・ 現

長波長・低 現象 決 何種類 南部・

運動量 何次 振 舞 非常 基本的 問題 対 今 調

一般論 最近筆者 南部・ 統一的 理解 一般論 提唱

不変 系 知 南部・ 定理 拡張 今 何

何 分 磁性体 結晶等 例 具体的 解説

1._はじめに

対称性 物理学 分野 重要 概念

例 運動量 角運動量 保存 私

達 住 時間・空間 並進・回転対称性

電荷 保存 量子力学 波動関数 位相 自由

変 確率 変 特 強相関 系

対称性以外 頼 手法 多 対称

性 考 物理現象 考 言

物理学 中心

自発的対称性 破 考 方 2008年 南部 陽一郎氏 物理学賞 受賞 2012年 7 月 粒子（ ）粒子 CERN LHC 加速

器実験 見 改 注目

素粒子物理学 機構 南部氏 提唱

対称性 破 物性物理 系 超流

動 超伝導 位相欠陥 原子核 対相関 中性子星 核物

質 冷却原子系 ・ 凝縮 結晶化

等 相転移 対称性 自発的 破 関

宇宙初期 構造形成 生物

光学異性体 区別 人間 心臓 左 右利

多 自発的対称性 破 例 考 現代

科学 考 方 過去

物理学賞 少 10件以上 関係

自発的対称性 破 考 方 特 強力 理由 一

系 長距離・低 振 舞 完全 対

称性 決 高 予言能力

例 結晶 空間 並進対称性 自発的 破

場所 違 並進 格子 微小

変形 考 音波（量子論 ）

伝 統計力学 結晶 低温 比熱 説明

磁石（強磁性体） 向 良

一 一 電子 系全体 揃 回転

対称性 自発的 破 波（ ） 生

自発磁化 相転移 理解 結 南部氏 理論 湯川秀樹 提唱 中間子

自発的対称性 破 生 励起 考

強 相互作用 摂動論 手 届 強相関 問題

考 方 中間子同士 反応

低 極限 振 舞 定量的 予言 実験 確認

自発的 対称性 破 対称性 連 続的対称性 場合 長距離・低 自由度 生

一般 南部・ 呼

南部・ （相対論的

質量） 絶対零度 揺 重要

一方 多 系 他 励起 有限温度 充分低温 南部・

考 良 超伝導 BCS 理論

南部氏 場 理論 使 整備 考 方 50 年以上 大成功 収

数学的 等質空間 美 幾何学的 構造

持 問題 応用

対称性 同 破 全 違 振

舞 系 50年以上知

南部・

運動量 分散関係 次数 何 一 歩踏 込 基本的 問題 対 個別 例

調 一般的 当 原理

特 近年 冷却電子系 持 原子

・ 凝縮 系

2） _{格子 作 実験的 可能 原子核}

物理 超高密度 系 研究 進 従 一般論 問題 強 認識

最近 筆者 基本的 問題 一 枠組 統一的 理解 手法 提案 ^8） 小文 対 称性 自発的 破 一般的 紹介 始 何 分

解説 具体的 例 使

一般的 法則 予想 最後 証明 簡単 概観

交流



† 国立研究所 / 東京大学 数物連携宇宙研究機

構（WPI）兼任　277 8583 柏市柏 葉 5 1 5　e-mail: hitoshi.murayama@ ipmu.jp

2. 自発的対称性の破れの謎

自発的対称性 破 何 具体的 例 見 説明

2.1 強磁性体のハイゼンベルク模型

身近 磁石 記述 強磁性体 模型

電子 結晶 格子点 隣同士 相互作用

同 向 向 下 形

,

, 0 .

〈 〉

=－ ・i j >

i j

H J

_∑

si＝（ħ/2）σi 電子 〈i, j〉 隣 合

格子点 組 足 上 （簡単

立方格子 考 ） 内積 形 入

全 同時 回転

不変 回転 対称性 持

低温 kT （ħ²/4）J 相互作用

下 隣 同 向

向 基底状態 全 同 向 例

z軸 方向 向 模式的

|0〉= …| ↑↑↑…〉 （2）

書 一次元 考 訳

注意 本来回転対称性 方向

向 基底状態 決 特定

方向 向 実際 状態 y 軸 回

回転 状態 | θ 〉 考 全

/ _{| | |}

cos sin

2 2

〉= 〉 + 〉

iJyθ ^{θ θ}

e ^ ↑ ↑ i↓ （3）

（ 角運動量 演算子 J＝

_∑

演算子 指数関数 回転 演算子

） 元 状態 内積 計算 0| cos

2 ⁰

〈 θ〉=^_ ^θ_^NN ∞

  ^→

→ _（4）

直交 回転 生成子

交換 固有値 変 基底状態

基底状態 全体 向

無限 縮退 分 y軸 回

回転 基底状態 保 y軸回 回転対

称性 自発的 破 同 x軸

回 回 転 e^{i Jxθ/ħ} |↑〉＝|↑〉cos（θ/2）＋i |↓〉sin（θ/2） 基

底状態 変 自発的 破

z軸 回 回転 e^{i Jzθ/ħ |}↑〉＝e^{iθ/2 |}↑〉 基底状態 （位相

除 ）変 対称性 破

回転 場所 少 違 行

考

2 1 1 2

| 0 |

・

・

－ － ＋ ＋

（ ）≡

〉＝ （ ） 〉＝| … …〉

i

i i

y iy

i

i y

i i i i i

i

S s e

S e

∑

∑

k x

k x

k

k k ↑ ↑↓↑ ↑ （5）

運動量 p＝ħk 持 励起状態 波数 k→ 0 極限 S（0） 系全体 一様 回転y

S（0）y 交換

変 S（0）|0〉 別 基底状態y 励起

状態 運動量 極限

励起状態 南部・ 自発的 連続的対称性 破 場合 生 特徴的 励起状態

2.2_{反強磁性体と謎}

同 反強磁性体 考 場合

強磁性体 同 回転対称

,

.

〈 〉

=+ ・i j i j

H J

_∑

符号 変 隣 合 反対方向

向 状態

|_{…↑↓↑↓…〉 （7）}

*¹ 場合 安定 基底状態 書 交番磁化 特定 方向（例 z軸方向） 選 必要 強磁性体 場合 同 z軸 回 回転対称性 保 ^x軸 y 軸回 回転対称性 自発的

破 励起状態

強磁性体 反強磁性体 全 同 対称性 破

持 一歩踏 込

励起状態 何種類 励起状態

運動量 何次（分散関係） 振 舞 基本 的 問題 考 上 例 y軸 回 無限 小回転

_∑

自発的 破 x軸 回 回転 考 良 反強磁性体 場合 二種類 励起状態 破 対称性 Jx Jy 対応 二 独立 南部・

（図 1（a）（b）） 一方強磁性 体 場合 二 励起状態 直交 南部・

一 分 （図 1

（c）） 南部・

反強磁性体 小 運動量 極限 E | p | 一次 小 強磁性体 速 E | p |² 二次 小

同 対称性 破 持

南部・ 個数 分散関係 非

常 基本的 性質 大 違 出 勿論 二

例 長年研究 深 理解

何 一般原理 欠 感 筆者



*¹ _{大 有限（s＝1/2） 状態}

固有状態 ・ 変換 用 1/s

展開後 変換 近似的 基底状態 使 行

2.3_{格子とフォノン}

一 別 例 考 分子 結晶化 格子 作 空間 並進対称性 自発的 破 空間並進 運動量 P＝

_∑

所 置 同 基底状態 直交

場合 同 並進 場所 少

違 行 考

| _{〉= iα|0〉}^i・i

i

p e

∑

k （8）

（α 並進 方向） 励起状態 考

k→ 0 極限 全体 無限小並進 励起 励起

例 二次元 格子 考 x方向 y 方向 二

並進 得 二 南部・

縦波 横波 二 音波 量子化

二 分散関係 E | p | 運動

量 一次

一方 系 位相欠陥（ 解）

解 二次元格子 作 系 最近実験 調 一 分散関係 E | p |² 運動量 二次

2） _{空間二次元・磁場中 結晶}

一 知

13）

対称性 自発的 破

情報 決 基本的 問題

理解 一般論 作 筆者 研究

動機

3._{今までの一般論}

前節 見 対称性 自発的 破 南

部・ 何種類現 分

散関係 何 基本的 問題 対 一般論 必

要 今 知 大事 定理 復習

以降 結果 全 相互作用 長距

離力 十分長距離 空間 並進・

回転対称性 仮定 考 対称性 内部対称 性 並進対称性 限

3.1 南部・ゴールドストーンの定理

1960年代初頭 南部陽一郎氏 （J.

Goldstone） 次 南部・ 定

理 示 ^3）

系 対称性 場合 系

連続的対称性 自発的 破 破 対

称性一 付 一 質量 現

教科書

例 図 2 示 軸周 回転対称性 G＝ U_（1） H_{＝ e 破 底 回 方向 低}

励起 一般 破 対称性

数 方向 南

部理論 南部・ 数 nNGB 破

対称性 数 nBG 等

対称性 場合 南部・ 分散関係 唯一 E＝c | p | 可能性

一般 元々 群 G 対称性

持 基底状態 部分群 H 対称性

持 場合 対称性 G H 自発的 破 G H _{生成子 数 差 破 対称性 数}

nBG 不変 理論 二 予言

NGB= BG,

n n _（9）

| | .

=

E c p _（10）

問題 不変性 系 場合 物性系

基本的 不変 相対論的 素粒子

・原子核 系 宇宙初期 天体 内部等 有限温度 有

限密度 不変性 破 不

変性 仮定 強 結果 証明 課

題

3.2 ニールセン・チャダの定理

（H. B. Nielsen） （S. Chadha）

図 1　 場所場所 少 違 回転 波 作

（a）（b）反強磁性体 波 Jx , Jy 二 対称性 破

対応 二 独立 直線偏向 波 現 （c）強磁性体 波

二 波 合 一 円偏向 現 （a）（b） 矢

印 交番磁化 （c） 矢印 一様磁化 表 注意

図 2　回転対称性 A 位置 低 B 位

置 落 元 回転対称性 破 底 回 方向 低

励起

不変性 仮定 連続対称性 自発的 破

場合 現 南部・ 個数 定

相関関数〈0 |［ j （ x）, ϕ⁰a （ y）］| 0〉 解析b

性 基 議論 次 定理 示 ^4）

分散関係 E（ p） 長波長極限 運動量 奇数次 冪 比例 （E | p |²ⁿ⁻¹） I 偶数次 冪 比例 II（E | p |²ⁿ） 南部・

分類 （II） 南部・I 数 n（nI II） 書 次 不等式 成立

I+2 II≥ BG.

n n n _（11）

不等号 対称性 破

決 南部・

個数 予言 更 分散関係 次数 元 本来理論 分散関係 何次 予言

一方現在 物理的 興味 系 式

等号 成立 例 知 実際以下 見

特殊 場合 除 等号 示

n_{II 二倍 数 初} nBG 等

南部・ 数 nNGB＝nI＋nII自体

nBG 少 方

向 nBG個 南部・

数 減 一体

3.3 シェーファーらの定理

（T. Schäfer） 有限密度 （化学

）系 原子核物理 興味 持 調

南部・ 数 破

対称性 数 少 例 見

上 次 定理 示 ^5）

破 生 成 子 Qa 全 対

〈0 |［Qa , Qb］| 0〉＝0 南部・ 数 破 対称性 数 等

彼 議論 次 生成子 Qa

対称性 対応 南部・

（ p＝0 状態 ）生成消滅演算子 ^*2

〈0 |［Qa , Qb］| 0〉＝0 仮定 Qa | 0〉（a＝1, 2, …, nBG）

互 線形独立 示

問題 生成子 交換 場合 分散関係 関係 何 絞 3.4_{南部氏の議論}

Qa 生成消滅演算子 議

論 2004年 南部氏 論文 一層掘 下 ^6）

〈0 |［Qa , Qb］| 0〉≠0 変数 Qa Qb 励

起 互 独立 正準共役 関係

意味 南部・

数 数 減

直感的 議論 今回 我々 成

果 裏付

実際強磁性体 例 思 起 破 対称性 生成子 Jx Jy 一見独立 南部・

作 思 実際 一種類 交

換関係 見

| | | |

0 , 0 0 0 0

〈 ［J Jx y］ 〉=〈i Jz 〉=iN 2^≠ （12） 正準交換関係［x, p］＝iħ 似 ^Jx

励起 南部・

Jy 正準共役 x p

一 自由度 記述 一 方 反 強 磁 性 体 場 合 交 換 関 係 同

〈0 | Jz | 0〉＝0 基底状態 期待値 交換 生成子 独立 南部・ 励起 不思議

3.5 渡辺・ブラウナーの予想

渡辺 当初 （T. Brauner） 共

・ 定理 等号 直接示 試

fine-tuning 下 等号 成立 反例

見 分散関係 冪 分類

〈0 |［Qa , Qb］| 0〉 用 議論 結論

以下 形 ^7）

BG NGB

1 rank ,

－ = 2

n n ρ （13）

Ω

1 | |

lim 0 , 0 , Ω

≡ ∞ 〈 ［ ］ 〉

ab a b

iρ Q Q

→ ^（14）

Ω 空間体積 表 ^*3

ρ＝0 考 ⁿBG＝nNGB

定理 拡張 分 同様 系

対称性 場合 〈0 |［ j （x）, j ⁰a （0）］| 0〉⁰b

＝0 分 ^*4 ρ＝0 南部・

定理 拡張

予想 南部氏 直感的 議論 定式化

言 ρ 実反対称行列

適当 基底 取 換 常

1 1

2 2

0 0

0

0 0

0 0

0 0

－

－

－ m ^m

λ λ

λ λ

λ λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 （15）



*² _{Qa自体 赤外発散 定義 問題}

無視



*³ _{Ω 割 算 Qa, Qb 空間積分 含 交換関}

係 分 加 Ω 割 有限

*⁴_{〈0 |［ j （x）, j} ⁰_a （0）］| 0〉δ（x^ν_b ⁰）＝∂〈0 |Tj μ （x）j ^μa （0）| 0〉b^ν

対称性 破

形 直 （行列 階数 定義 直 2m＝rank ρ 分 ） 正準共役 数＝

（1/2）rank ρ 南部氏 議論 戻

以下 見 予想 正 量子場 理

論 使 証明

4._{新しい統一的理解}

上記 踏 筆者 示 次

8） _{破 対称性 生成子 Q}

a（a＝1, 2, …, n_{BG） 中} n_B≡（1/2）rank ρ 個 正準共役

各々 一 南部・

生 （ B 呼 ） 一方

残 nA≡nBG−rank ρ 個 生成子 各々 南部

・ 対応 （ A

呼 ）

NGB A B BG

1 rank

= + = －2

n n n n _{ρ （16）}

式（13） ・ 不等式 等号版

A+2 B= BG

n n n （17）

得 更 特 fine-tuning 起 限

A 南部・ 線形分散 持

B 南部・ 二乗分散 持

示 ・ 不等式 対

応 分

分散関係 理論 帰結 与

・ 出発点 渡辺 見

fine-tuning 例外 扱

A B 区別 背後 幾何学

的 構造 明 数学的 理解

与 対称性 破 対

A B 可能性 例外 分類

4.1_{証明の概観}

我々 結果 得 量子場 有効 方法 用 以下 導出 概略 説明

通常 問題設定 系

自由度 対 与 基底状

態 調 対称性 破 議論

有効 方法 意味 逆

考 対称性 破

G→ H 与 対称性 破 系 低

・長波長 物理 記述 場 理論

何 考 有効 含

場 一般 元 理論 自由度 複合場

低 ・長波長 物理 興味 微分

展開 _∂r_≡∂/∂x（r＝1, …, d） ∂^{r t}≡∂/∂t 次数 展開 展開係数 詳細 一般

理論 決定

実 系 対称性 有効 形 大幅 制限 可能

有効 理論 同 対称性 持

通常 問題設定 上

攻 方 有効 方法

下 攻 対称性 低

・長波長 物理 可能性 分類

話 具体的 実際 有効

書 下 破 対称性 生成子

Q ^a（a＝1, 2, …, nBG） 対応 場 π （x, t） 導入^a

対称性 持 可能

性 調 良

数学的 問題 対称性 G

部分群 H 破 基底状態 G 移 変

H 変 基底状態 取

可能性 G 中 H 対応 同一視 得

商空間 G/H 与 等

質空間 呼 空間 点 他 点 G 作用 行

来 同 ＝等質 意味

π ^{a G/H} 原点（一 選 基底状態）近傍 座標 考

知 不変 場合 考

場合 微分展開 最低次

eff

1

= 2 ab（ ）π ∂ ∂μπ^{a μ b}π

L _{g （18）}

与 形 空間 G/H

非線形 呼 対称性

要請 gab（π） G/H 上 G-不変 計量 一般 可能 形 限 gab（π） π 展開

最低次 質量 自由粒子 対応 確 n_{BG個 独立 粒子 展開 高次 南部・}

間 相互作用 表 gab

形 対称性 厳 制限 相互作用 定

量的 予言 相互作用 影響 後

議論 以下 自由場 部分 注目

一方 不変性 仮定 一般的 形 微

分 二次 次

eff

1 1

2 2

= （ ） +ca _{π π}^a ab（ ）_{π π π }^{a b}－ ab（ ）_{π π π∂ ∂}r ^a r ^b

L _{g g （19）}

有効 記述 長距離 並進対称性

仮定 ^Leff 座標（x, t） 依存

同様 回転対称性 空間添 字 r 関 縮約 L_{eff 元 対称性 G 持}

要請 係数 c（π） ga ab（π） 一般形 制限

Q（i＝1, …, di G） 生成 対称性操作 下 南部・ 場 π ^a δi π ^a＝h（π） 変換^ai

特 破 対称性 Qb（a＝1, …, nBG） 原点近傍 δb π ^a＝h（0）＋O（π）^ab 変換 原点 動

基底状態間 移 変 分 ^*5 以下 一 般性 失 h（0）＝δ^ab ^ab 規格化 取

結論 先 述 G-不変性 要求 一般

的

1 2

（ ）=a 2 ab ^b+ （ ）

c π ρ π O π （20）

導 ^*6 ρab 式（14） 定義 式（15） 形 区分対角化

2 1 2 2 2 1 3

1

1 2

－ －

=

（ ） =a ^{a m} （α ^{α α}－ ^{α α} ）+ （ ）

α

c _{π π}

_∑

時間 一階微分 項 低 時

間微分 二次 項 無視 注意 結

果 直 π ^2α−1 π ^2α（α＝1, 2, …, m＝（1/2）rank ρ） 互

正準共役 自由度 二 場 一 B

南部・ 表 分

L_＝pi qⁱ−H（ p, q） 形 思 出 納得 c（π） π a ^a 項 一 般 対称性 G 下 完全 不変 表面項 分

変化 点 面白 表面項 波

動関数 位相 対応 量子力学 位

相 一般化 考 結果的 gab（π）

¯gab（π） 不変 場合 本質的 同 時間成 分 空間成分 比 光速 任意 音速

違 程度 分 ^*7

分散関係 （19） 簡単 理

解 B 南部・

時間 一回微分 項 支配的

分散関係 第一項 第三項 決 E | p |²

一方 ρab＝0 A 南部

・ π ^a（a＝rank ρ＋1, …, nBG）

第二項 第三項 線形分散 一 出

分 ^*8 fine-tuning

（1/2）gab_（0）∂r π ^a_∂r π ^b 項 微分 四次 始 特 殊 場合 A E | p |² 分散関係 次数 系 詳細 ^*9 一般的

A 一次 B 二次 分散関係 分

簡 単 式（20） 正 当 化

δ（（1/2）ρc ab π ^aπ ^b）＝∂t（（1/2）ρ^ab π ^aδ ^bc ）＋O（π ²） 高々表面項

変化 項 対称性 許 確

認 表面項 変化分 注意

定理 保存 求 j ⁰a＝ρab π ^b＋O（π ²） 得 同時刻正準交換関係［π （x, 0）, ρ^a bc π （0, 0）］^c

＝iδ ^ab δ （x） 合^{d *10} 保存 間 交換関係

0 0

, 0 , , 0 , 0 , , 0

［ （ ） （ ）］= ［ （ ） （ ）］+ （ ）

= （ ）+ （ ）

c d

a b ac bd

d ab

j j _{ρ π ρ π} O _π

i_{ρ δ} O _π

0 0

x x

x （22）

得 ρab 生成子 交換関係 対応（式（14）） 確

認 簡単 最低次 議論 済

論文中 詳細 議論 興味 方

参照

有効 （19） 絶対零度 有限温度 通常通 虚時間形式 扱

微分 展開 温度 高 微分 高次

項 同 程度 重要 展開 破綻

注意

時 間 一 回 微 分 項 等 質 空 間 上 微 分 形 式 c＝ c（π）dπ a ^a 考 表面項 変化

許 本質的 外微分 ω＝dc

G-_{不変 閉 二次微分形式} ω 数学 presymplectic構造 呼

一般的 等質空間 落

10） _{一方 微分 二次 項 等}

質空間 G/H 上 G-不変 計量 決 有

効 形 基本的 等質空間 幾何学

決 非常 予言能力 高

4.2_{磁性体の例}

例 2.1節 取 上 強磁性 波 有効

方法 見直 場合

三次元回転 対称性 SO（3） 軸対称性 SO（2） 破 等質空間 SO（3）/SO（2） 二次元 球面 S ² 他

単位 n²＝1 記述 等質空 間 幾何学 直 分 SO（3）- 不変 計量

係数 除 一意的 決 dn⊗dn 更 S ² SO（3）- 不変 構造 自然 入 係数 除 一意的 ω＝²ijk nⁱdn ^j dn^k

決 結果

eff 1 ₁ 2

= ^{y x}₊－ ^{x y}－ ・

z

n n n n

C C

n ^{∇ ∇n n}

 

L _（23）

唯一可能 形 原点 n＝（0, 0, 1） 回 展開

nx ny 正準共役 二 一 南部・

記述 ħC1E（ p）＝C2 | p |² 二次

分 散 関 係 nz＝

2 2

1－ －ⁿx ⁿy 展開 ⁿx ny 高次 含 相互作用



*¹⁰ _{正準交換関係 （19） 求 際 少々注意}

必要 π ^a 正準運動量 ∂L/∂ π ^a （1/2）ρab π ^b＋O（π）

系 拘束条件 表

正 交換関係 求 際 量子化 手続 経



*⁵ 変換 一般 非線形表現 知 逆 線形表現

δi π ^a＝［Ri］^ab π ^b 形 一般 G

破 対称性 非線形表現 破 対称性 線形表現 表現

例 U（1）対称性 破 場合 位相 θ→θ＋² 回転

δθ＝1 非線形表現 他

*⁶ _{実 c（π） 一般a ・ 形式 用 簡潔 表現}

可能 ^9）

*⁷ _π ^a _{H 既約表現 場合 項 可能 間 比}

違

*⁸ _{一般 gab（0） ¯gab（0） 項 ρab 区分対角化}

間 混 分散関係 導 議論 複雑

点 詳 文献 9 参照

*⁹ _{対称性 守 理由 無 限 一般}

長波長 繰 込 際 微分 二次 項 生成

完全 決 本来

一度 戻 強磁性体 長波長 性質 対称性 係数 C1 C2以外 完全 決

幾何学的 解釈 簡単 書

下 幾何学 知識 非

自明 配位 分類 可能 例 二次元空間 解 存在 無限遠 同一視 空間 S ² 等質空間 S ² 写像 群 π （S ^{2 2}）＝Z 分類

第一項 一 一

位相項

cos 1

1

（ － ） = ^{y x}₊－ ^{x y}

z

n n n n

s _θ s

n

 

 φ  ^（24）

対応 相互作用項−J

_∑

（Js²ħ²/2a^d−2） 読 取 C1 磁化密度 表 ρxy＝−ρyx＝C1 注意 一般 的 表式（20） 対応 分

一方反強磁性体 場合 〈0 |［Jx , Jy］| 0〉＝i〈0 | Jz | 0〉＝0 一回微分 項 時間微分 S ² 計量ⁿ・ n 最 低次 項 原点 回 nx ny 独立 自由度 分散関係 二 E | p |

4.3_結晶の例

二次元 結晶 考 x軸 y 軸方向 並進 対称性 破 等質空間 R²/Z²＝T ²

平衡位置 変位 u＝（ux , uy） 一様 並進 下 不変 計量 u 対称行列 gij

gij dui⊗duj 決 応用例 念頭 三角 格子 限 議論 60° 回転対称性 計量 δij dui⊗duj 比例 一方 T ²上 閉

形式 normalization 除 ω＝dux duy

有効作用 二回微分

2 2

eff= （C u u1 y x_－u ux y_）+C u u2_{ }i i－ （ ・ ）－ （ × ）C3 u C4 u

L _{∇ ∇ 　（25）}

唯一可能 形

空間 並進 可換群 交換子 ρab

対応 最初 項 得 不思議 思 代数（交換関係） 中心拡大 可能

一般 G 半単純 場合 代数

H _{（g, R） 非自明}² _交換関係

［^{Q Q}a, b］=^{if Q}ab^c c+^{ic Z}ab^α α （26）

中心拡大 可能 ^11） 中心

Z_{α 全 生成子 交換 演算子 結果 ρ}ab

保存量 真空期待値 f ab^c（〈Q ⁰c 〉/Ω） cab≡ c^αab（〈0 | Zα | 0〉/Ω） 寄与 加 正準共役 作

半単純群 場合 中心拡大 自明 電荷 再定義 Qa→ Qa＋δQa 取 除

中心拡大 寄与

可能 対称性 場合 通常中心拡大 現

実際 二次元格子 場合 背景

各 位相項 中心 Z 生 出 ^2） 我々 一

般論通 励起 一 ω k ²

二次 分散 持

次 二次元 結晶 考

長距離力 微分展開 正準共役 議論

使 z軸方向 一様磁場

量子 系 並進 非可換

Z＝eBN（N 粒子数） 中心拡大 生 長距離

力 有効 局所的

2 2 2

eff

2 2

2

, 2 2 2

, ,

2 | |

（ ）=－ ・ × + － （ × ）

－ ・（ ） _－ ・（ ）

t

en nm nm

t

n e

d t t

∫

x B u u u u

y u x u y

x y

 

L _∇

∇ ∇

v

（27）

式（19） 一般化 B＝0

場合 縦波 横波 ω（k）＝^` 2πne k m² / k ω（k）＝vt t k 知 分散関係 持 次 Bz>0

第一項 eBzn/2（ux uy− uy ux） 縦 波・横 波 互 独 立 ω（k） ω（k）ω^` （k）/ωt c k ^3/2 楕円偏向 生

13）_{（反対周 円偏向 持}

ωc≡eBz /m 持 ）*¹¹

一般論 適用例 表 1 QCD 対称性 破 例 元々南部氏 議論 π

中間子 対称性 ⁿNGB

＝nBG 一般 両者 等 限

対称性 破 同 現 南

部・ 数 一定

見 取 我々 一般的 式（13）

表 1　Kaon 記 等 論 K中間子凝

縮 ^5） 有限密度 考 化学 μ 導入

対称性 破 BEC 記

F＝1 BEC 強磁性相 planar 相 結

晶 z 方向 磁場 場合 示

例 G/H nBG−nNGB＝（1/2）rank ρ

QCD SU（3）×SU（3）/SU（3） 8 8 0

反強磁性 SO（3）/SO（2） 2 2 0

強磁性 SO（3）/SO（2） 2 1 1

磁性 SO（3）/SO（2） 2 1 1

Kaon（ μ＝0） U（2）/ U（1） 3 3 0

Kaon（ μ>0） U（2）/ U（1） 3 2 1 BEC（planar） SO（3）×U（1）/ U（1） 3 3 0 BEC（ferro） SO（3）×U（1）/ U（1）′ 3 2 1

結晶（2＋1D） T ² 2 2 0

Wigner結晶 T ² 2 1 1

skyrmion格子 T ² 2 1 1



*¹¹ _{磁場 有無 関 分散関係 一般論 特異的}

長距離力 一般 長距離力 系 長波長 振 舞

大 変 三次元 力 場合

開

nNGB＝nBG−（1/2）rank ρ 全 統一的 説明 目 確認

5._{スケーリング}

最後 南部・ 間 相互作用

考察 先 述 我々 有効

南部・ 数 分散関係

間 相互作用 記述 疑

問 果 相互作用 自己 補

正 分散関係 開

知 A 南部・

調 時空 x′＝α x, t′＝αt 伴 場 π ^a（α x, αt）＝α^{′ （1−d）/2}π （x, t）^a

変 換 自 由 記 述 部 分

d ^dxdt（（1/2）gab（0）π ^aπ ^b−（1/2）gab_（0）∂r π ^a_∂r π ^b） 不変 保 時 例 _∂r π ^a_∂r π ^bπ ^c 相 互 作 用 項

α^{−（d−1）/2} 分 （ 多 微分

場 含 項 早 落 ）従 空間次元 d >1 長波長・低 理論 本質的 自由

特 k → 0 開 ^d＝1

場合 相互作用 相互作用

結果対称性 回復 開

得 整数 1次元鎖 相

有名 例 事情 1＋1 次元 連続的対称

性 破 起 定理

一方 B 南部・ 場合

d ^dxdt（（1/2）ρab π ^aπ ^b−（1/2）gab_（0）∂r π ^a∂^r π ^b） 部 分 不 変 保 x′＝α x t′＝α²t _π ^a_{（α x, α}^{′ 2}t_）＝

α^−（d/2）π （x, t）^a 必要 相互作

用 支配的 π ^aπ ^bπ ^c _∂r π ^a_∂r π ^bπ ^c 項 α^−（d/2）

因子 小 1＋1 次元

全 相互作用 有意 B 型

対称性 破 空間 1＋1 次元 起 ^*12

空間三次元 長波長・低 相互

作用 小 自由 集団

計算 結晶 T ³則 磁性体 法則（M（0）−M（T） T ^3/2） 正当化

有限温度 松原形式 記述 場合 十分長距離

虚時間微分 全 特

A, B 区別 場合 d >2

相互作用 有意 揺 収束 条

件 分 ・ 定

理 知

6._終わりに

有効 方法 基 南部・

一般論 展開 別

演算子形式 議論 考 実

際 筆者 論文 同時期 理化学研究所 日高義将 氏 演算子形式 近 別 導出 提案

14）

以上 内部対称性 破 念頭 置 議論 並進 回転 時空 対称性 破 場合 状 況 複雑 場合 上記 正準共役

機構 他 別 理由 南部・

数 減 頻繁 起 例

結晶 場合 並進対称性 破 着目

議論 当 実際 回転対称性

対称性 同時 自発的 破 結晶中

観測 回転対称性・ 対称性 破

南部・ 独立 現

保存 間 成 立 関係式 関係 考 実際 角運動量密度 Lⁱ 変換 保存量 密度 B ⁱ

= , = －

i ijk j k i i i

L ^² x P B tP mx N （28）

並進 演算子 P ⁱ 数密度 N 結 ^Li

B ⁱ 励起 揺 P ⁱ 独立 示唆

15, 16） _{有効 方法 空間対称性 破}

拡張 重要 今後 課題 言

参考文献

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*¹²_{揺 計算 A d >1 B} d >0 収束

特 問題 分 強磁性体 例 通常 強

磁性基底状態 固有状態 量子揺

説明 実際 B 南部・

現 場合 ［Qa, Qb］ 交換

量 秩序変数 選 同様 議論 展開

非会員著者の紹介

村山　斉氏 　1964 年生 1986年東大物理卒 同大学院博士課程修了

後 東北大学助手後 渡米 現在 大学 校教授

2007年 東大 数物連携宇宙研究機構機構長 兼任 専門 素粒子

理論 初期宇宙論 2002 年西宮湯川記念賞受賞

（2012 年 10 月 17 日原稿受付）

Unified Understanding of Nambu-Goldstone Bosons Haruki Watanabe and Hitoshi Murayama

abstract:　Spontaneous symmetry breaking is an important concept that applies to particle physics to nuclear, condensed matter, cold atomic, astrophysics, to even early universe cosmology, chemistry, and biology. In particular, continuous symmetries produce Nambu-Goldstone bosons that govern the phenomena at long wavelengths and small energies. However, answers to truly basic questions, such as the number of Nambu-Goldstone bosons or their dispersion relations, had been an- swered on case-by-case basis without a general framework. The authors recently proposed a framework to understand Nambu-Goldstone bosons in a unified fashion. This work extends the celebrated Nambu-Gold- stone theorem in Lorentz-invariant systems. We demonstrate what had not been clear and what is now using explicit examples of magnets and crystals.