発展課題 1-1：引き込み現象のシミュレーション
壁にかけられた振り子時計や，メトロノーム，ホタルの発光現象など，孤 立した環境においては固有のリズムで振動するものが，互いに影響を及ぼし 合う環境においた場合に，集団で同期，つまり同じリズムで振動する状態が 実現することが知られている．この振動状態の変化は，共通した強制力によっ てもたらされているのではなく，個々の振動ユニットが互いに影響を及ぼし 合うことで実現される1．この相互の作用を介して，個々のばらついた振動状 態が集団全体の同期した状態へ変化することを引き込み現象と呼ぶ．
個々の振動するユニット（メトロノームやホタルの発光など）＝振動子が， いわゆる単振動で表される調和振動子の場合には，引き込み現象は起こらな い．非線形振動子と呼ばれる，少し複雑な方程式で表される振動子の場合に のみ，起こりうる．引き込み現象の仕組みについては明らかになっており，比 較的簡単な方程式で，その現象を表現できることが知られている．
今，振動子をN 個考える．i 番目の振動子（i= 1, 2, · · · , N ）の位相を時間 t の関数として，φi(t) で表すとする．この振動子の振幅 xi(t) は φi(t) を用い ると，xi(t) = sin(φi(t)) と表すことができる．それぞれの振動子は，ある一 定の速度＝角振動数ωiで振動し，これは
dφi
dt = ωi (i = 1, 2, · · · , N) (1) として表せる．これらの振動子に，相互作用が加えられた次式が，引き込み 現象を表す最も簡潔な方程式である．
dφi
dt = ωi+ K N
∑N j=1
sin(φj− φi) (i = 1, 2, · · · , N ) (2)
ここで，定数K は相互作用の強さを表す係数である．式(2) に適当な初期状 態を与えて解くことにより，引き込み現象をシミュレートできる（ただし，式 (2) は，N 個の連立した微分方程式になっていることに注意）．
図1，2 は初期位相 φi(0) を 0 から 2π の一様乱数で定めた場合の，各振動 子の振幅xi(t) を表している（N = 20）．図 1 は K = 0，つまり相互作用無 しの場合であり，各振動子はそれぞれのリズムで振動するのみである．図2 はK= 0.2 として，相互作用がある場合を表し，t = 40 ではすでに同期して いることがわかる．
1外力への引き込み現象もある．
1
0 20 40 60 80 100
−1.0−0.50.00.51.0
t
x
図 1: K = 0 の場合
0 20 40 60 80 100
−1.0−0.50.00.51.0
t
x
図 2: K = 0.2 の場合
課題
式(2) の微分方程式を解いて，引き込み現象をシミュレートせよ．N = 20， t= 0∼100，∆t = 0.1 とする．また，ωi ∼ N (µ, σ2) に対し，µ = 0.2 とす る．σ と K についてはいろいろな値を試し，その結果の違いを確認せよ．
参考文献
蔵本由紀(編)，三村昌泰 (監修)，“リズム現象の世界”，東京大学出版，(2005)．
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