Laplacian in 2pole 最近の更新履歴物理学ノート Laplacian in 2pole

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物理数学 (July 5, 2012) 2次元極座標におけるラプラシアンの導出 ₁

§ 2 ^{次元極座標} ^{(r, θ)} ^{におけるラプラシアン}

2^{次元極座標}(r, θ)^{における基底ベクトル}^e^r^，^e^θの各変数による微分をまとめる*1。

∂

∂r^e^r^{= 0,}

∂

∂r^e^θ^{= 0.} ⁽¹⁾

∂

∂θ^e^r^{= e}^θ^,

∂

∂θ^e^θ^{= −e}^r^. ⁽²⁾

はじめに∇の₂次元極座標表示を求めるため，位置ベクトルr_{= r(r, θ)}の全微分をとる。r_{= e}r_rおよび e_r_{= e}_r_(θ)であることに注意すれば

dr= e^rdr+^∂e^r

∂θ ^{r dθ}^{= e}^r^dr^{+ e}^θ^{r dθ} ⁽³⁾

である。次に任意のスカラー関数_f_{(r, θ)}の全微分をとる_: df= ^∂f

∂r^dr⁺

∂f

∂θ^dθ. (3)^{式で求めた}drで括れるように右辺を変形すると

df= ^∂f

∂r ^·^dr⁺ 1 r

∂f

∂θ ^·^{r dθ}

= [(

er

∂

∂r ^{+ e}^θ 1 r

∂

∂θ )

f ]

·_dr ₍₄₎

=: (gradf ) · dr = (∇f ) · dr (5)

∴ ∇_{= e}r

∂

∂r ^{+ e}^θ 1 r

∂

∂θ^. ⁽⁶⁾

この∇を使ってラプラシアン_∆を計算する。任意の関数に作用することを忘れずに₂乗すると

∆ := ∇²= (

e_r ^∂

∂r ^{+ e}^θ 1 r

∂

∂θ )

· (

e_r ^∂

∂r ^{+ e}^θ 1 r

∂

∂θ )

= ^∂²

∂r² ⁺ 1 r

∂

∂r ⁺ 1 r²

∂²

∂θ²^. ⁽⁷⁾

以上により，₂次元極座標表示におけるラプラシアンが決定した。

ポイントは₍₄₎から₍₅₎への変形。₍₄₎式が勾配_gradの定義そのものだと気付くことが重要。

参考文献

1. ^砂川^重信：^{『電磁気学演習』}^{（岩波書店，}1992^年）

*1力学のプリント_#2で計算した。ちなみに₍₂₎の左側の式は，規格化を除いて eθの定義そのものである。

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§ 2 次元極座標 (r, θ) におけるラプラシアン

参考文献

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§ 2 ^{次元極座標} ^{(r, θ)} ^{におけるラプラシアン}