Laplacian in 2pole 最近の更新履歴 物理学ノート Laplacian in 2pole

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

全文

(1)

物理数学 (July 5, 2012) 2次元極座標におけるラプラシアンの導出 1

§

2

次元極座標

(

r, θ

)

におけるラプラシアン

2次元極座標(r, θ)における基底ベクトルer,eθの各変数による微分をまとめる*1。

∂rer= 0,

∂reθ= 0. (1)

∂θer=eθ,

∂θeθ=−er. (2)

はじめに∇の2次元極座標表示を求めるため,位置ベクトルr=r(r, θ)の全微分をとる。r=errおよび er=er(θ)であることに注意すれば

dr=erdr+ ∂er

∂θ r dθ=erdr+eθr dθ (3)

である。次に任意のスカラー関数f(r, θ)の全微分をとる:

df= ∂f

∂rdr+ ∂f ∂θdθ.

(3)式で求めたdrで括れるように右辺を変形すると

df= ∂f

∂r ·dr+

1

r ∂f ∂θ ·r dθ

=

[(

er ∂ ∂r +eθ

1

r ∂ ∂θ

) f

]

·dr (4)

=: (gradf)·dr= (∇f)·dr (5)

∴ ∇=er ∂ ∂r +eθ

1

r ∂

∂θ. (6)

この∇を使ってラプラシアン∆を計算する。任意の関数に作用することを忘れずに2乗すると

∆ :=∇2=

(

er ∂ ∂r +eθ

1

r ∂ ∂θ

)

·

(

er ∂ ∂r +eθ

1

r ∂ ∂θ

)

= ∂2

∂r2 +

1

r ∂ ∂r +

1

r2

∂2

∂θ2. (7)

以上により,2次元極座標表示におけるラプラシアンが決定した。

ポイントは(4)から(5)への変形。(4)式が勾配gradの定義そのものだと気付くことが重要。

参考文献

1. 砂川重信:『電磁気学演習』(岩波書店,1992年)

Updating...

参照

Updating...

関連した話題 :