統計学 I 演習 , 第 9 週 : 正規分布 ( と期待値
の復習 ): 演習
菅原慎矢
June 16
1 演習問題 : 正規分布
Z ∼ N (0, 1)とする。正規分布表を用いて、以下を近似的に求めよ 1. P (Z ≤ 0.99)
2. P (Z ≤ t) = 0.90となる t は何か。(二つの値の間にあることがいえるので、これら の平均をとって答えにせよ)
3. P (Z ≤ −2.82)
4. P (−1.00 ≤ Z ≤ 1.11)
5. X ∼ N (1, 100)の時 P (0 ≤ X ≤ 3)
6. X ∼ N (3, 4)の時 P (X ≤ x) = 0.90 となる x はなにか (途中計算で、ある値が二 つの値の間にあることがいえるので、これらの平均をとってその値の近似値とし、 計算を遂行せよ)
1 演習問題 : 期待値
1
確率変数 X の平均が-2, 分散が 6 であり、確率変数 Y の平均が 3 で分散は 5 であるとす る. また、共分散は Cov(X, Y ) = 1 とする
1. E(2X − 10), V (2X − 10)を求めよ
2 前回からの引き継ぎ
以下は Cov(X, Y ) = E(XY ) − µXµY を示すことが目的の設問である
X, Y を、それぞれ x1, .., xm または y1, ..., yn で正の確率 pX(x1), .., pX(xm), または pY(y1), ..., pY(yn)を取る離散確率変数とする。また、µX,µY を X, Y の平均、pX,Y(x, y)を
(X = x, Y = y)における X, Y の同時確率関数とする。さらに、E[XY ] = ∑mi=1∑nj=1xiyjpX,Y(xi, yj) と定義する. ここで
Cov(X, Y ) = E[(X − µX)(Y − µY)] (1)
=
m
∑
i=1 n
∑
j=1
(xi−µX)(yj −µY)pX,Y(xi, yj) (2)
=
m
∑
i=1 n
∑
j=1
(xiyj −xiµY −yiµX + µXµY)pX,Y(xi, yj) (3)
=
m
∑
i=1 n
∑
j=1
xiyjpX,Y(xi, yj) −
m
∑
i=1 n
∑
j=1
xiµYpX,Y(xi, yj)
−
m
∑
i=1 n
∑
j=1
yjµXpX,Y(xi, yj) +
m
∑
i=1 n
∑
j=1
µXµYpX,Y(xi, yj) (4)
となり、右辺第 1 項は定義から E[XY ] である。ここで 1. 右辺第 2 項を計算せよ
2. 右辺第 3 項を計算せよ 3. 右辺第 4 項を計算せよ
HINT
ヒント 1: 周辺分布と同時分布の関係 pY(yj) =∑mi=1pX,Y(xi, yj), pX(xi) =∑nj=1pX,Y(xi, yj) を用いる
ヒント 2: 多重和の順序交換: ∑mi=1∑nj=1g(xi, yi) = ∑mj=1∑ni=1g(xi, yj)
これが成立しないのは、∑mi=1∑ij=1g(xi, yi)のように、二つ目の Σ の添え字が、一つ 目の Σ の添え字に依存しているケース
演習問題回答 : 正規分布
1. 0.8389
2. 1.285(1.28と 1.29 の間なので)
4.
P (−1.00 ≤ Z ≤ 1.11) = P (Z ≤ 1.11) − P (Z ≤ −1.00) (8)
= P (Z ≤ 1.11) − [1 − P (Z ≤ 1.00)] (9)
= 0.8665 − (1 − 0.8413) = 0.7078 (10) 5. µ = 1, σ = 10として Z = (X − µ)/σ, P (a ≤ X ≤ b) = P [(a − µ)/σ ≤ Z ≤
(b − µ)/σ]となることを利用し
P (0 ≤ X ≤ 3) = P(0 − 1
10 ≤Z ≤ 3 − 1
10
) (11)
= P (−0.10 ≤ Z ≤ 0.20) (12)
= P (Z ≤ 0.20) − [1 − P (Z ≤ 0.10)] (13)
= 0.5793 − (1 − 0.5398) = 0.1191 (14) 6. P (Z ≤ t) = 0.90とすると
0.90 = P (Z ≤ t) (15)
= P(X − µ σ ≤t
)
(16)
= P (X ≤ σt + µ) (17)
よって求める値は x = σt + µ. 今 µ = 3, σ = 2 であり、正規分布表より t = 1.285 (1.28と 1.29 の間). よって x = 2 × 1.285 + 3 = 5.57
演習問題解答 : 期待値
1.
1. E(2X − 10) = 2E(X) − 10 = −14, V (2X − 10) = 4V (X) = 24
2. E[(2X − 10) − Y )] = 2E(X) − 10 − E(Y ) = −4 − 10 + 3 = −11 (これは X, Y が 独立でなくても成立)
3. V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2Cov(X, Y ) = 6 + 5 + 2 = 13
4. V (X) = E(X2) − E(X)2より、E(X2) = V (X) + E(X)2 = 6 + 4 = 10 2.1.
−
m
∑
i=1 n
∑
j=1
xiµYpX,Y(xi, yj) = −µY m
∑
i=1 n
∑
j=1
xipX,Y(xi, yj) (18)
= −µY m
∑
i=1
xi n
∑
j=1
pX,Y(xi, yj) (19)
= −µY m
∑
i=1
xipX(xi) (20)
= −µYµX (21)
2.2.
−
m
∑
i=1 n
∑
j=1
yjµXpX,Y(xi, yj) = −µX m
∑
i=1 n
∑
j=1
yjpX,Y(xi, yj) (22)
= −µX n
∑
j=1 m
∑
i=1
yjpX,Y(xi, yj) (23)
= −µX n
∑
j=1
yj m
∑
i=1
pX,Y(xi, yj) (24)
= −µX n
∑
j=1
yipY(yj) (25)
= −µXµY (26)
2.3.
m
∑
i=1 n
∑
j=1
µXµYpX,Y(xi, yj) = µXµY m
∑
i=1 n
∑
j=1
pX,Y(xi, yj) (27)
= µXµY m
∑
i=1
pX(xi) (28)
= µXµY (29)
これらをまとめて、Cov(X, Y ) = E(XY ) − µXµY が示された
