第9回演習問題 lecture Shinya Sugawara(菅原慎矢)

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全文

(1)

統計学

I

演習,

9

週:

正規分布

(と期待値

の復習):

演習

菅原慎矢

June 16

1

演習問題

:

正規分布

Z ∼N(0,1)とする。正規分布表を用いて、以下を近似的に求めよ 1. P(Z ≤0.99)

2. P(Z ≤t) = 0.90となるtは何か。(二つの値の間にあることがいえるので、これら の平均をとって答えにせよ)

3. P(Z ≤ −2.82)

4. P(−1.00≤Z ≤1.11)

5. X∼N(1,100)の時P(0≤X ≤3)

6. X ∼ N(3,4)の時P(X ≤ x) = 0.90となるxはなにか(途中計算で、ある値が二

つの値の間にあることがいえるので、これらの平均をとってその値の近似値とし、 計算を遂行せよ)

1

演習問題

:

期待値

1

確率変数Xの平均が-2, 分散が6であり、確率変数Y の平均が3で分散は5であるとす

る. また、共分散はCov(X, Y) = 1とする

(2)
(3)

2

前回からの引き継ぎ

以下はCov(X, Y) =E(XY)−µXµY を示すことが目的の設問である

X, Y を、それぞれx1, .., xm または y1, ..., yn で正の確率pX(x1), .., pX(xm), または

pY(y1), ..., pY(yn)を取る離散確率変数とする。また、µX,µY をX, Y の平均、pX,Y(x, y)を

(X =x, Y =y)におけるX, Y の同時確率関数とする。さらに、E[XY] =∑m i=1

∑n

j=1xiyjpX,Y(xi, yj)

と定義する.ここで

Cov(X, Y) = E[(X−µX)(Y −µY)] (1)

= m ∑ i=1 n ∑ j=1

(xi−µX)(yj −µY)pX,Y(xi, yj) (2)

= m ∑ i=1 n ∑ j=1

(xiyj −xiµY −yiµX +µXµY)pX,Y(xi, yj) (3)

= m ∑ i=1 n ∑ j=1

xiyjpX,Y(xi, yj)− m ∑ i=1 n ∑ j=1

xiµYpX,Y(xi, yj)

− m ∑ i=1 n ∑ j=1

yjµXpX,Y(xi, yj) + m ∑ i=1 n ∑ j=1

µXµYpX,Y(xi, yj) (4)

となり、右辺第1項は定義からE[XY]である。ここで 1. 右辺第2項を計算せよ

2. 右辺第3項を計算せよ

3. 右辺第4項を計算せよ HINT

ヒント1: 周辺分布と同時分布の関係pY(yj) =

∑m

i=1pX,Y(xi, yj),pX(xi) = ∑n

j=1pX,Y(xi, yj)

を用いる

ヒント2: 多重和の順序交換: ∑m

i=1 ∑n

j=1g(xi, yi) = ∑m

j=1 ∑n

i=1g(xi, yj)

これが成立しないのは、∑m i=1

∑i

j=1g(xi, yi)のように、二つ目のΣの添え字が、一つ

目のΣの添え字に依存しているケース

演習問題回答

:

正規分布

1. 0.8389

(4)

4.

P(−1.00≤Z ≤1.11) = P(Z ≤1.11)−P(Z ≤ −1.00) (8) = P(Z ≤1.11)−[1−P(Z ≤1.00)] (9)

= 0.8665−(1−0.8413) = 0.7078 (10)

5. µ = 1, σ = 10としてZ = (X −µ)/σ, P(a ≤ X ≤ b) = P[(a−µ)/σ ≤ Z ≤

(b−µ)/σ]となることを利用し

P(0≤X ≤3) = P(0−1

10 ≤Z ≤ 3−1

10

)

(11) = P(−0.10≤Z ≤0.20) (12) = P(Z ≤0.20)−[1−P(Z ≤0.10)] (13) = 0.5793−(1−0.5398) = 0.1191 (14)

6. P(Z ≤t) = 0.90とすると

0.90 = P(Z ≤t) (15) = P(X−µ

σ ≤t

)

(16) = P(X ≤σt+µ) (17)

よって求める値はx=σt+µ. 今µ= 3, σ = 2であり、正規分布表よりt = 1.285 (1.28と1.29の間).よってx= 2×1.285 + 3 = 5.57

演習問題解答

:

期待値

1.

1. E(2X−10) = 2E(X)−10 = −14, V(2X−10) = 4V(X) = 24

2. E[(2X−10)−Y)] = 2E(X)−10−E(Y) =−4−10 + 3 =−11 (これはX, Y が 独立でなくても成立)

3. V(X+Y) = V(X) +V(Y) + 2Cov(X, Y) = 6 + 5 + 2 = 13

4. V(X) = E(X2)E(X)2より、E(X2) =V(X) +E(X)2 = 6 + 4 = 10

(5)

− m ∑ i=1 n ∑ j=1

xiµYpX,Y(xi, yj) = −µY m ∑ i=1 n ∑ j=1

xipX,Y(xi, yj) (18)

= −µY m ∑ i=1 xi n ∑ j=1

pX,Y(xi, yj) (19)

= −µY m

i=1

xipX(xi) (20)

= −µYµX (21)

2.2. − m ∑ i=1 n ∑ j=1

yjµXpX,Y(xi, yj) = −µX m ∑ i=1 n ∑ j=1

yjpX,Y(xi, yj) (22)

= −µX n ∑ j=1 m ∑ i=1

yjpX,Y(xi, yj) (23)

= −µX n ∑ j=1 yj m ∑ i=1

pX,Y(xi, yj) (24)

= −µX n

j=1

yipY(yj) (25)

= −µXµY (26)

2.3. m ∑ i=1 n ∑ j=1

µXµYpX,Y(xi, yj) = µXµY m ∑ i=1 n ∑ j=1

pX,Y(xi, yj) (27)

= µXµY m

i=1

pX(xi) (28)

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参照

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