統計学
I
演習,
第
9
週:
正規分布
(と期待値
の復習):
演習
菅原慎矢
June 16
1
演習問題
:
正規分布
Z ∼N(0,1)とする。正規分布表を用いて、以下を近似的に求めよ 1. P(Z ≤0.99)
2. P(Z ≤t) = 0.90となるtは何か。(二つの値の間にあることがいえるので、これら の平均をとって答えにせよ)
3. P(Z ≤ −2.82)
4. P(−1.00≤Z ≤1.11)
5. X∼N(1,100)の時P(0≤X ≤3)
6. X ∼ N(3,4)の時P(X ≤ x) = 0.90となるxはなにか(途中計算で、ある値が二
つの値の間にあることがいえるので、これらの平均をとってその値の近似値とし、 計算を遂行せよ)
1
演習問題
:
期待値
1
確率変数Xの平均が-2, 分散が6であり、確率変数Y の平均が3で分散は5であるとす
る. また、共分散はCov(X, Y) = 1とする
2
前回からの引き継ぎ
以下はCov(X, Y) =E(XY)−µXµY を示すことが目的の設問である
X, Y を、それぞれx1, .., xm または y1, ..., yn で正の確率pX(x1), .., pX(xm), または
pY(y1), ..., pY(yn)を取る離散確率変数とする。また、µX,µY をX, Y の平均、pX,Y(x, y)を
(X =x, Y =y)におけるX, Y の同時確率関数とする。さらに、E[XY] =∑m i=1
∑n
j=1xiyjpX,Y(xi, yj)
と定義する.ここで
Cov(X, Y) = E[(X−µX)(Y −µY)] (1)
= m ∑ i=1 n ∑ j=1
(xi−µX)(yj −µY)pX,Y(xi, yj) (2)
= m ∑ i=1 n ∑ j=1
(xiyj −xiµY −yiµX +µXµY)pX,Y(xi, yj) (3)
= m ∑ i=1 n ∑ j=1
xiyjpX,Y(xi, yj)− m ∑ i=1 n ∑ j=1
xiµYpX,Y(xi, yj)
− m ∑ i=1 n ∑ j=1
yjµXpX,Y(xi, yj) + m ∑ i=1 n ∑ j=1
µXµYpX,Y(xi, yj) (4)
となり、右辺第1項は定義からE[XY]である。ここで 1. 右辺第2項を計算せよ
2. 右辺第3項を計算せよ
3. 右辺第4項を計算せよ HINT
ヒント1: 周辺分布と同時分布の関係pY(yj) =
∑m
i=1pX,Y(xi, yj),pX(xi) = ∑n
j=1pX,Y(xi, yj)
を用いる
ヒント2: 多重和の順序交換: ∑m
i=1 ∑n
j=1g(xi, yi) = ∑m
j=1 ∑n
i=1g(xi, yj)
これが成立しないのは、∑m i=1
∑i
j=1g(xi, yi)のように、二つ目のΣの添え字が、一つ
目のΣの添え字に依存しているケース
演習問題回答
:
正規分布
1. 0.8389
4.
P(−1.00≤Z ≤1.11) = P(Z ≤1.11)−P(Z ≤ −1.00) (8) = P(Z ≤1.11)−[1−P(Z ≤1.00)] (9)
= 0.8665−(1−0.8413) = 0.7078 (10)
5. µ = 1, σ = 10としてZ = (X −µ)/σ, P(a ≤ X ≤ b) = P[(a−µ)/σ ≤ Z ≤
(b−µ)/σ]となることを利用し
P(0≤X ≤3) = P(0−1
10 ≤Z ≤ 3−1
10
)
(11) = P(−0.10≤Z ≤0.20) (12) = P(Z ≤0.20)−[1−P(Z ≤0.10)] (13) = 0.5793−(1−0.5398) = 0.1191 (14)
6. P(Z ≤t) = 0.90とすると
0.90 = P(Z ≤t) (15) = P(X−µ
σ ≤t
)
(16) = P(X ≤σt+µ) (17)
よって求める値はx=σt+µ. 今µ= 3, σ = 2であり、正規分布表よりt = 1.285 (1.28と1.29の間).よってx= 2×1.285 + 3 = 5.57
演習問題解答
:
期待値
1.
1. E(2X−10) = 2E(X)−10 = −14, V(2X−10) = 4V(X) = 24
2. E[(2X−10)−Y)] = 2E(X)−10−E(Y) =−4−10 + 3 =−11 (これはX, Y が 独立でなくても成立)
3. V(X+Y) = V(X) +V(Y) + 2Cov(X, Y) = 6 + 5 + 2 = 13
4. V(X) = E(X2)−E(X)2より、E(X2) =V(X) +E(X)2 = 6 + 4 = 10
− m ∑ i=1 n ∑ j=1
xiµYpX,Y(xi, yj) = −µY m ∑ i=1 n ∑ j=1
xipX,Y(xi, yj) (18)
= −µY m ∑ i=1 xi n ∑ j=1
pX,Y(xi, yj) (19)
= −µY m
∑
i=1
xipX(xi) (20)
= −µYµX (21)
2.2. − m ∑ i=1 n ∑ j=1
yjµXpX,Y(xi, yj) = −µX m ∑ i=1 n ∑ j=1
yjpX,Y(xi, yj) (22)
= −µX n ∑ j=1 m ∑ i=1
yjpX,Y(xi, yj) (23)
= −µX n ∑ j=1 yj m ∑ i=1
pX,Y(xi, yj) (24)
= −µX n
∑
j=1
yipY(yj) (25)
= −µXµY (26)
2.3. m ∑ i=1 n ∑ j=1
µXµYpX,Y(xi, yj) = µXµY m ∑ i=1 n ∑ j=1
pX,Y(xi, yj) (27)
= µXµY m
∑
i=1
pX(xi) (28)
