ミクロ経済学II（大学院修士課程） Ryuji Sano

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ミクロ経済学Ⅱ 宿題 3 解答例

大学院修士課程 2017^{年度春学期水}2

佐野 隆司

1．下の利得表で表される₂人ゲームを考える．

1 / 2 L R

T 1, 3 8, 0

B 5, –2 4, 3

(1) 各プレーヤーの混合戦略の最適反応対応を記述せよ．

プレーヤー₁が_Tを取る確率を_{� ∈ [0,1]}で表し、_pによって₁の混合戦略を表すことにする． プレーヤー₂が_Lを取る確率を_{� ∈ [0,1]}で表し、₂の混合戦略を表すことにする．プレーヤ ー₁が_Tを取った時の期待利得は

�₁⁽�, �) = � + 8(1 − �) = 8 − 7� Bを取った時の期待利得は

�₁⁽�, �) = 5� + 4(1 − �) = 4 + � ゆえに

�₁⁽�, �) ≥ �₁⁽�, �) ⇔ � ≤ 1/2. プレーヤー₁の最適反応対応_�1(�)は

�1⁽�) = �

1 �� � < 1/2 [0,1] _{�� � = 1/2} 0 �� � > 1/2^.

一方、プレーヤー₂が_Lを取った時の期待利得は

�₂⁽�, �) = 3� − 2(1 − �) = 5� − 2 Rを取った時の期待利得は

�₂⁽�, �) = 3 − 3� ゆえに

�₂⁽�, �) ≥ �₂⁽�, �) ⇔ � ≥ 5/8. プレーヤー₂の最適反応対応_�2(�)は

�2⁽�) = �

1 �� � > 5/8 [0,1] _{�� � = 5/8} 0 �� � < 5/8^.

2 (2) 混合戦略を含む全てのナッシュ均衡を答えよ．

混合戦略の組を_{(p, q)}で表すとすると、ナッシュ均衡は_(�^∗_,�^∗_{) =�}

5 8^,

1 2^�

2．下の利得表で表される₂人ゲームを考える．

1 / 2 L R

T 3, 1 2, 1

B 5, 4 2, 0

(1) 各プレーヤーの混合戦略の最適反応対応を記述せよ．

プレーヤー₁が_Tを取る確率を_{� ∈ [0,1]}で表し、_pによって₁の混合戦略を表すことにする． プレーヤー₂が_Lを取る確率を_{� ∈ [0,1]}で表し、₂の混合戦略を表すことにする．利得表よ りプレーヤー₁にとって _Bが弱支配戦略になっていることに注意すると、純粋戦略_Bは₁ にとって常に最適．_{� = 0}のときのみ_Tと_Bが無差別である．よってプレーヤー₁の最適反 応対応_�1(�)は

�1⁽�) = �^[0,1]₀ ^{�� � = 0}�� � > 0^.

また利得表よりプレーヤー₂にとって_Lが弱支配戦略になっているので純粋戦略_Lは₂に とって常に最適．_{� = 1}のときのみ_Lと_Rが無差別である．よってプレーヤー₂の最適反応 対応_�2(�)は

�2⁽�) = � ¹ �� � < 1 [0,1] _{�� � = 1}^. 1

0 ¹

q

p

�

⁽ �)

�

⁽ �)

1/2

5/8

3 (2) 混合戦略を含む全てのナッシュ均衡を答えよ．

混合戦略の組を_{(p, q)}で表すとすると、ナッシュ均衡は_(�^∗_,�^∗) = (0,1), (1,0) ^{（純粋戦略均} 衡_(B,L)と_(T,R)）

3 [Public Goods Provision]. n (n_{≥ 2)}人の個人からなる社会を考える（� = {1, … , �}^）．各人 がそれぞれ_{�� ∈ ��≡ [0, ∞)}単位を公共財に拠出すると、_{� = ∑�∈���}単位の公共財が生産され、 そのとき個人_iが得る効用は

�_�⁽�_�^,�) = �_�⁽�) − �_�

であるとする．ここで各_{� ∈ �}について_{��:ℝ+→ ℝ+}は連続かつ微分可能な関数で、_��^′_{> 0,}

�_�^{′′< 0,} �_�^′(0) > 1, ^かつlim

�→∞^��

′_{(�) = 0}

を仮定する．また全ての_{� ∈ �}について_{��(0) = 0,} ま た全ての_{� ∈ ℝ+}について

�₁^′(�) < �₂^′(�) < ⋯ < �_�^′(�)

を満たすものとする．ナッシュ均衡の各人の公共財供給量を求めよ．

任意の個人_i以外の拠出量の組_�−�に対して、個人_iの利得最大化問題は

max�_� ^{�����+� ��}

�≠�

� − �_� s. t. _{��≥ 0} 1

0 1

q

p

�

⁽ �)

�

⁽ �)

4 最適化の１階条件（Kuhn-Tucker^条件）は

�_�^′��_�⁺� �_�

�≠�

� + �_�^{= 1,}

ここで_{��≥ 0}は戦略の非負制約_{��≥ 0}に関するラグランジュ乗数である．ナッシュ均衡_�^∗と その時の総公共財供給量_�^∗_{=∑ �� �}^∗について、_��^∗ _{> 0}を満たす全ての_iについて

�_�^′(�^{∗) = 1}

を満たさなければならないから、仮定_�1^′_{(�) < �2}^′₍�) < ⋯ < �_�^′(�)^{より、2 人以上の個人が} 正の拠出をするような均衡は存在しない．個人_{� < �}のみが_��^∗_{> 0}を拠出すると仮定すると、

�_�^′(�_�^{∗) = 1 <}��^′(�_�^∗)

より、個人_nは正の拠出をするインセンティブがある．従ってナッシュ均衡では個人 _nの みが拠出して、

�^∗ = (0, … ,0,_��^∗), 但し、_��^∗ _{> 0}は_��^′_(��^∗_{) = 1}をみたす値．