宿題16 測度論的確率論 2015 Kengo Kato

2015.9.29

宿題

¹⁶

提出期限：10.6の講義開始時．

問題

1. (Kolmogorovの拡張定理の一般の添え字集合への拡張) T を一般の添え字集合とし，R^T を

T から_Rへの関数全体とする．ここで，相異なるt₁, . . . , tn ∈ T とB ∈ Bⁿに対して，

{x ∈ R^{T : (x(t}1), . . . , x(tn)) ∈ B}

なる形の集合を_R^T のcylinder集合と呼ぶ．_R^T のcylinder集合全体によって生成される σ-fieldをB^T とおく．いま，相異なるt1, . . . , tn ∈ T の各組に対して，_(Rⁿ,Bⁿ)上の確率

測度µt1,...,tn が与えられていて，次の整合性条件がみたされているとする：

• 任 意 の 相 異 な る t1, . . . , tn ∈ T と {1, . . . , n} の 任 意 の 置 換 π に 対 し て ， µt1,...,tn({(x1, . . . , xn) : (x_π(1), . . . , x_π(n)) ∈ B}) = µtπ₍₁₎,...,tπ_(n)(B), ∀B ∈ Bⁿ;

• 任 意 の 相 異 な る t1, . . . , tn, tn+1 ∈ T に 対 し て ，µt1,...,tn,tn+1(B × R) = µt1,...,tn(B), ∀B ∈ Bⁿ.

このとき，(R^T,BT)上のp.m µであって，任意の相異なるt1, . . . , tn∈ T に対して，

µ_{({x ∈ R}^T : (x(t₁), . . . , x(tn)) ∈ B}) = µt₁,...,tn(B), ∀B ∈ Bⁿ (*)

をみたすものが一意的に存在することを，以下の手順に従って証明する． (a) 可算集合S= {t1, t2, . . .} ⊂ T に対して，

FS = {x ∈ R^{T : (x(t}1), x(t2), . . . ) ∈ B, B ∈ B^N}

とおいたとき，FSはσ-fieldであって，B^T = ∪_S⊂T:可算FS が成り立つことを示せ． (b) 講義ノート Thm. 19.4を用いて，各可算集合S ⊂ T に対して，(R^T,FS)上のp.m.

µS であって，任意の相異なるt₁, . . . , tn∈ S に対して，

µS_{({x ∈ R}^T : (x(t1), . . . , x(tn)) ∈ B}) = µt₁,...,tn(B), ∀B ∈ Bⁿ

をみたすものが存在することを示せ．

1

(c) 写像µ: B^T → [0, 1]を

µ(B) = µS(B) if B ∈ FS for some countable S ⊂ T

と定義すると，µは_(R^T,B^T)上のwell-definedなp.m.であって，(*)をみたすことを 示せ．

(d) (*)をみたす_(R^T,B^T)上のp.m.は一意であることを示せ．

2. Tを空でない集合する．r.v.’sの集まり{Xt: t ∈ T }をTによってインデックスされた確率 過程と呼ぶ．また，確率過程{Xt : t ∈ T }がGauss過程であるとは，任意のt1, . . . , tn∈ T に対して，(X(t1), . . . , X(tn))が多変量正規分布に従うことを言う．いま，k: T × T → R を，任意のt1, . . . , tn ∈ T に対して，n次正方行列((k(ti, tj))1≤i,j≤nが半正定値対称行列 になるような関数とする．このとき，Gauss過程{Xt : t ∈ T }であって，

E[Xt] = 0, ∀t ∈ T, E[XsXt] = k(s, t), ∀s, t ∈ T

をみたすものが存在することを示せ． 3.-7. Durrett 5.2.1, 5.2.4, 5.2.6, 5.2.7, 5.2.8.

8. {Xn} を フ ィ ル ト レ ー シ ョ ン {Fn} に 関 す る 劣 マ ル チ ン ゲ ー ル で あ っ て ，E[Xn] = E[X0] (∀n ≥ 1) をみたすとする．このとき，{Xn} は {Fn} に関するマルチンゲール であることを示せ．

9. S, T をフィルトレーション{Fn}に関する停止時刻としたとき，S∧ T, S ∨ T, S + T も同 じフィルトレーションに関する停止時刻であることを示せ．

2