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熱力学演習 (Wednesday August 12th 2015) 期末試験 ¹

• 解答用紙は縦長に用い，左上に綴るスペースを空け，答案は表だけに書く。

• 全ての用紙の上部に氏名・学籍番号を記入する。

• 単に結果を書くだけでなく，結果までの論理が分かるように言葉も用いて説明する。

問題^1. 理想気体のHelmholtz の自由エネルギーF[T ; V, N ]は (20点)

F[T ; V, N ] = −N RT log (( _T

T^∗ )c _V

v^∗N )

+ N u である。これをルジャンドル変換してエネルギーU[S, V, N ]を求めよ。

問題^2. Kelvinの原理から最大仕事の原理を導け。 (20点)

最大仕事の原理

✓ ✏

始めと終わりの状態を固定したとき，最大仕事W_max(T ; X1 → X2)は，任意の 等温準静操作(T ; X₁)−→ (T ; X^iq ₂)の間に系が外界に行う仕事に等しい。

✒ ✑

問題^3. N モルの理想気体を用いたOttoサイクル (20点) (TH^′; V₁, N)−−→^i’

(A) ^{(TH; V1, N)}

−−→aq (B) ^(T

′

L; V₂, N)−−→^i’

(C) ^{(TL; V2, N)}

−−→aq (D) ^(T

′

H; V₁, N)

をT-V 図で表わせ。ここでV₁ < V₂, TH^′ < TH, TL^′ > TL _{とする。またその効率}ηO _{を計算し，}ηO < ηC_を示せ。ηC

はカルノーサイクルの効率である。

問題^4. 示量変数がX₀，熱容量が一定値C₀ の理想化した固体と，N モルの理想気体のエントロピーは (20点) S(T ; X₀) = S₀+ C₀log T,

S(T ; V, N ) = cN R + N R log (( T

T^∗ )c

V v^∗N

)

である。この複合系のエントロピーS(T ; X₀, V, N)を求めよ。結果を用いて，断熱操作，断熱準静操作が可能な条 件を具体的に書け。また，固体の示量変数X₀を固定したまま，断熱的に温度を下げられることを説明せよ。 問題^5. Eulerの関係式

F[T ; V, N ] = V ^∂F[T ; V, N ]

∂V ^{+ N}

∂F[T ; V, N ]

∂N

= −V P (T ; V, N ) + N µ(T ; V, N ) を導け。またEulerの関係式を用いてGibbs-Duhemの関係式

SdT − V dP + N dµ = 0

を導け。熱力学関数の独立変数について，Gibbs-Duhemの関係式から何が言えるか? (20点)

熱力学演習 (Wednesday August 14th 2015) 期末試験 ²

• 解答用紙は縦長に用い，左上に綴るスペースを空け，答案は表だけに書く。

• 全ての用紙の上部に氏名・学籍番号を記入する。

• 単に結果を書くだけでなく，結果までの論理が分かるように言葉も用いて説明する。

問題^1. 理想気体のエネルギーU[S, V, N ]は (20点)

U[S, V, N ] = cN RT^∗(v

∗_N

V )1/c

e^{cN RS −1}+ N u

である。これをルジャンドル変換してHelmholtz の自由エネルギーF[T ; V, N ]を求めよ。

問題^2. 最大仕事の原理を要請として，Kelvinの原理を導け。 (20点) 最大仕事の原理

✓ ✏

始めと終わりの状態を固定したとき，最大仕事W_max(T ; X1 → X2)は，任意の 等温準静操作(T ; X₁)−→ (T ; X^iq ₂)の間に系が外界に行う仕事に等しい。

✒ ✑

問題^3. van der Waals状態方程式 (20点)

P(T ; V, N ) = ^{N RT} V − bN ⁻

aN² V² に従う気体のエネルギーU(T ; V, N )は

U(T ; V, N ) = cN RT − ^aN

2

V ^{+ N u}

である。微小な断熱準静操作 (T ; V, N )−→ (T + ∆T ; V + ∆V, N )^aq したときの断熱仕事を，力学的にまたはエネル ギーU の差から求めよ。その結果を用いて，この気体の断熱曲線を求めよ。

問題^4. 示量変数の組がX₀，熱容量が一定値C₀ の理想化した固体のエントロピーS(T ; X₀)は (20点) S(T ; X0) = S0+ C0log T

である。この固体が２つあり，それぞれ平衡状態(T₁, X₀), (T₂, X₀)にある。系全体を断熱壁で囲み，外界に仕事を しない断熱操作

{(T₁; X₀)|(T₂; X₀)}−→ {(T^a _f; X₀), (T_f; X₀)}

を行った。この熱的接触操作におけるエントロピー変化を求め，これが不可逆であることを確かめよ。またこの系 にN モルの理想気体を組み合わせることで

{(T_f; X₀), (T_f; V_α, N), (T_f; X₀)}−→ {(T^a ₁; X₀)|(T_f; V_β, N)|(T₂; X₀)}

なる断熱準静操作が可能であることを示せ。1つの理想固体と理想気体からなる系の断熱曲線が，c^′ = ^C0

N R ^として， T^c+c′V =一定と書けることを用いて良い。

問題^5. Gibbsの自由エネルギーG[T, P ; N ]についてEulerの関係式 (20点)

G[T, P ; N ] = N∂G[T, P ; N ]

∂N = N µ(T ; V, N ) を導け。またそれを用いてGibbs-Duhemの関係式

SdT − V dP + N dµ = 0

を導け。熱力学関数の独立変数について，Gibbs-Duhemの関係式から何が言えるか?