E in TDExam2015 最近の更新履歴 物理学ノート E in TDExam2015

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全文

(1)

熱力学演習

(Wednesday August 12th 2015)

期末試験

1

解答用紙は縦長に用い,左上に綴るスペースを空け,答案は表だけに書く。

全ての用紙の上部に氏名・学籍番号を記入する。

単に結果を書くだけでなく,結果までの論理が分かるように言葉も用いて説明する。

問題

1.

理想気体の

Helmholtz

の自由エネルギー

F

[

T

;

V, N

]

(

20

)

F

[

T

;

V, N

] =

N RT

log

(

(

T

T

)

c

V

v

N

)

+

N u

である。これをルジャンドル変換してエネルギー

U

[

S, V, N

]

を求めよ。

問題

2.

Kelvin

の原理から最大仕事の原理を導け。

(

20

)

最大仕事の原理

始めと終わりの状態を固定したとき,最大仕事

W

max(

T

;

X

1

X

2)

は,任意の

等温準静操作

(

T

;

X

1

)

iq

−→

(

T

;

X

2

)

の間に系が外界に行う仕事に等しい。

問題

3.

N

モルの理想気体を用いた

Otto

サイクル

(

20

)

(

T

H;

V

1

, N

)

−−→

i’

(A)

(

T

H;

V

1

, N

)

aq

−−→

(B)

(

T

L;

V

2

, N

)

−−→

i’

(C)

(

T

L

;

V

2

, N

)

aq

−−→

(D)

(

T

H;

V

1

, N

)

T

-

V

図で表わせ。ここで

V

1

< V

2

, T

H′

< T

H

, T

L′

> T

L

とする。またその効率

η

O

を計算し,

η

O

< η

C

を示せ。

η

C

はカルノーサイクルの効率である。

問題

4.

示量変数が

X

0

,熱容量が一定値

C

0

の理想化した固体と,

N

モルの理想気体のエントロピーは

(

20

)

S

(

T

;

X

0

) =

S

0

+

C

0

log

T,

S

(

T

;

V, N

) =

cN R

+

N R

log

(

(

T

T

)

c

V

v

N

)

である。この複合系のエントロピー

S

(

T

;

X

0

, V, N

)

を求めよ。結果を用いて,断熱操作,断熱準静操作が可能な条

件を具体的に書け。また,固体の示量変数

X

0

を固定したまま,断熱的に温度を下げられることを説明せよ。

問題

5.

Euler

の関係式

F

[

T

;

V, N

] =

V

∂F

[

T

;

V, N

]

∂V

+

N

∂F

[

T

;

V, N

]

∂N

=

V P

(

T

;

V, N

) +

N µ

(

T

;

V, N

)

を導け。また

Euler

の関係式を用いて

Gibbs-Duhem

の関係式

SdT

V dP

+

N dµ

= 0

(2)

熱力学演習

(Wednesday August 14th 2015)

期末試験

2

解答用紙は縦長に用い,左上に綴るスペースを空け,答案は表だけに書く。

全ての用紙の上部に氏名・学籍番号を記入する。

単に結果を書くだけでなく,結果までの論理が分かるように言葉も用いて説明する。

問題

1.

理想気体のエネルギー

U

[

S, V, N

]

(

20

)

U

[

S, V, N

] =

cN RT

(

v

N

V

)1

/c

e

cN RS −1

+

N u

である。これをルジャンドル変換して

Helmholtz

の自由エネルギー

F

[

T

;

V, N

]

を求めよ。

問題

2.

最大仕事の原理を要請として,

Kelvin

の原理を導け。

(

20

)

最大仕事の原理

始めと終わりの状態を固定したとき,最大仕事

W

max(

T

;

X

1

X

2)

は,任意の

等温準静操作

(

T

;

X

1

)

iq

−→

(

T

;

X

2

)

の間に系が外界に行う仕事に等しい。

問題

3.

van der Waals

状態方程式

(

20

)

P

(

T

;

V, N

) =

N RT

V

bN

aN

2

V

2

に従う気体のエネルギー

U

(

T

;

V, N

)

U

(

T

;

V, N

) =

cN RT

aN

2

V

+

N u

である。微小な断熱準静操作

(

T

;

V, N

)

−→

aq

(

T

+ ∆

T

;

V

+ ∆

V, N

)

したときの断熱仕事を,力学的にまたはエネル

ギー

U

の差から求めよ。その結果を用いて,この気体の断熱曲線を求めよ。

問題

4.

示量変数の組が

X

0

,熱容量が一定値

C

0

の理想化した固体のエントロピー

S

(

T

;

X

0

)

(

20

)

S

(

T

;

X

0) =

S

0

+

C

0

log

T

である。この固体が2つあり,それぞれ平衡状態

(

T

1

, X

0

)

,

(

T

2

, X

0

)

にある。系全体を断熱壁で囲み,外界に仕事を

しない断熱操作

{

(

T

1

;

X

0

)

|

(

T

2

;

X

0

)

}

→ {

a

(

T

f

;

X

0

)

,

(

T

f

;

X

0

)

}

を行った。この熱的接触操作におけるエントロピー変化を求め,これが不可逆であることを確かめよ。またこの系

N

モルの理想気体を組み合わせることで

{

(

T

f

;

X

0

)

,

(

T

f

;

V

α

, N

)

,

(

T

f

;

X

0

)

}

→ {

a

(

T

1

;

X

0

)

|

(

T

f

;

V

β

, N

)

|

(

T

2

;

X

0

)

}

なる断熱準静操作が可能であることを示せ。

1

つの理想固体と理想気体からなる系の断熱曲線が,

c

=

C

0

N R

として,

T

c+c′

V

=

一定と書けることを用いて良い。

問題

5.

Gibbs

の自由エネルギー

G

[

T, P

;

N

]

について

Euler

の関係式

(

20

)

G

[

T, P

;

N

] =

N

∂G

[

T, P

;

N

]

∂N

=

N µ

(

T

;

V, N

)

を導け。またそれを用いて

Gibbs-Duhem

の関係式

SdT

V dP

+

N dµ

= 0

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