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(1)

第8回

大数法則中心極限定理

(2)

本日内容

• ^{前提条件：ラン} ^標本

• ^大数 ^法則

• ^{中心極限定理}

(3)

前回復習

• ^均 → 合計

観測数 ⁼

8 _≈

• ^標準偏差 → 偏差乗和 _�− ₌ ₋ _≈

(4)

前回復習

• ^問題 ^背後 ^考え方

– ^電力需要 ^予測 ^い ^{節電要請等}

– ^、手元 ^あ ²⁰¹⁵ →

来うわい

– ^{言えば、2015} ^日 ^需要

偶然左右ばいい

– ^{、電力需要} ^正規 ^形 ^ば ^い

い考え、電力需要予測、くい発

(5)

前回復習

イ電力需要 500万kW以確率 ?

– 500^万kW ^基準 ^、

− ≈ .

– ^、 ^均0、 ^散1 ^標準正規 ^直 ^、500万kW 0 均、正方向 1.27 あ

– ^標準正規 ^表 ^確認 ^、1.27 ^左側 ^面積 ^0.8980 – ^、89.8％ ^確率 ^500万kW以 ^あ

• ^、実際 ⁵⁰⁰ ^万kW以 ^日 ^比率

≈ . – ^結果 ^近い

(6)

前回復習

ウ停電確率 1％以必要発電能力

– ^需要 ^発電能力 ^超え ^、需要 ^釣 ^合う電力 ^供給 ^い→ 停電発生

– ^、 ^値 ^大 ^い ^確率 ^1％ ^0.01 ^以 ^う ^発電能力確保ばい

– ^逆 ^言う ^、 ^値 ^小 ^い ^確率 ^0.99以 ^あ ^ば ^い – ^標準正規 ^表 ^見 ^、 ^左側 ^面積 ^0.99 ^超え

、2.33 0.9901

– ^、標準 ^2.33 ^発電能力 ^確保

ばい

– ^発電能力 _� ^、

� − = . ⇒ � = . × + ≈ .

– ^{、572万kW以} ^発電能力 ^確保 ^{ば、停電確率} ^1％以

(7)

前回復習

面積 1％

0.01 以い面積 0.99以

ばい標準正規表

2.33 、0.9901

(8)

前回復習

エ正規 ?

– ^元 ^正規 ^い ^{、標準正規} ^用い

結果生

– ^歪度 ^尖度 ^計算 ^、歪度 ^{－0.18、尖度}

2.10 、正規比べ負歪尖

い

– ^、正規 ^従 ^い ^い可能性

高い

(9)

• ^実際 ^電力会社 ^、 ^間 ^{最大3日需要} ^日

最大電力需要 1 並べ、位3 均 3％

乗目安発電能力保持義務

付い

• 3 ^％ ^、 ^間 ^停電日数 ^0.3日以 ^イン

計算い

• ^、停電 ^起 ^信用 ^失わ ^、自主的 ⁸

～10％程度乗い

• ^陸電力 ^{場合、名目} ^発電能力 ^約800万kW ^あ ^、

原子力発電除く約650万kW あ

• ^仮 ^{、常時利用可能} ^発電能力 ^600万kW ^、

停電確率 0.3％以あ基準約2.76

(10)

ラン標本

• ^前回 ^話 ^、 ^数値 ^与え ^考

え

– ^実際 ^析 ^い ^、 ^集 ^サンプル ^標本作、う値標本含い考え

要

• ^知 ^{い対象者全体} ^いう

– ^可能 ^あ ^{ば、母集団全体} ^数値 ^集 ^析 ^望い

– ^、現実 ^{母集団全体} ^集 ^困

– ^例 ^大学生 ^生活費 ^調査→^母集団 ^日本 ^大学生 ^、何百万人い大学生全集必要あ

– ^、母集団 ^中 ^標本 ^抽出 ^、 ^作 ^析

(11)

ラン標本

• ^母集団 ^中 ^規則性 ^無い ^う ^ラ

ラ抽出標本ラン標本無作

標本いう

– ^規則性 ^持 ^抽出 ^、意 ^的 ^特定 ^対象

抽出う標本偏標本や有標本呼

– ^例 ^大学生 ^生活費 ^調査

• ^全 ^大学生 ^名前 ^カ ^書 ^、完全 ^混 ^抜出ば無作標本

• ^石川県 ^大学生 ^う ^、何 ^条件 ^付 ^抜出ば偏標本

(12)

ラン標本

• ^偏 ^標本 ^、母集団 ^代表 ^わ ^く

い注意

– ^知 ^い ^あく ^母集団 ^状況

– ^偏 ^標本 ^用い ^析 ^、結果 ^偏 ^う

– ^例 ^大学生 ^生活費

• ^本来知 ^い ^日本全体 ^大学生 ^生活費

• ^標本 ^星稜大学 ^学生 ^中 ^適当 ^選 ^調査

• ^結果 ^、石川県 ^金沢 ^物価 ^{状況や、星稜大} 学選学生特徴左右

• ^結果 ^、 ^全国 ^大学生 ^う ^いう議論 ^証拠使う無理あ

(13)

ラン標本

• ^ラン ^標本 ^特徴

– ^、標本 ^大 ^く ^観測数

増え、標本均母集団均

束いく

– ^、標本 ^大 ^く ^、

基準標本均標準正規

束いく

• ^ラン ^標本 ^用い ^、母集団 ^一

部母集団自体性質推測

(14)

大数法則

• ^母集団 ^真 ^均 _�

• ^く小 ^値 _� ^対 ^標本 ^均 ^、 _� _{[ � −}

� , � + �] ^区間 ^入 ^確率 �

• ^標本 ^大 _� ^無限大 ^近 ^く ^、 _�

1 近いいく、いう

• ^例 ^コイン投 ^考え

– ^表 ^出 ^比率 ^真 ^均 _� _.

– � ^{回コイン投} ^、表 ^出 ^比率 ^計算

– ^比率 _{. , .} ^間 ^入 ^、 _{� = .}

�

(15)

大数法則

• ^例 ^コイン投

– ^表 ^出 ^比率 ^0.5 ^コイン ^投

– 2^回投 ^、出 ^ン ^表、表 ^、 ^表、裏 ^、 ^裏、表 ^、 ^裏、裏 4通

• ^う ^、表 ^出 ^比率 ^0.4～0.6 ^間 ^入 ^い ^表、裏 ^裏、表 2通

• ^、2回 ^行わ ^い ^、真 ^均0.5 ^近く ^均 ^得 ^確率 50％

– 5^回投 ^、出 ^ン ^{表、表、表、表、表} ^{裏、裏、裏、} 裏、裏 32通

• ^う ^、表 ^出 ^比率 ^0.4～0.6 ^間 ^入 ^い ^{表、表、表、裏、} 裏、表、表、裏、表、裏、表、裏、表、表、裏、裏、表、表、表、裏、表、表、裏、裏、表、表、裏、表、裏、表、裏、表、表、裏、表、表、裏、裏、表、表、裏、表、裏、表、表、裏、裏、表、表、表、裏、裏、裏、表、表、

裏、裏、表、裏、表、裏、表、裏、裏、表、表、裏、裏、裏、表、裏、裏、表、表、裏、裏、表、裏、表、裏、表、裏、裏、表、裏、裏、表、表、裏、裏、表、裏、表、裏、裏、表、表、裏、裏、裏 20通

• ^、5回投 ^、真 ^均0.5 ^近く ^均 ^得 ^確率 ^62.5％

(16)

大数法則

• ^回数 ^増や ^時 ^、表 ^出 ^比率 ^0.4～0.6

間入確率、表

• ^、回数 ^多 ^ば、実際 ^表 ^出 ^比率

真比率考え大く間え確率減

いく 10回 34.4％確率間え、

100回 3.2％確率間えい

• ^、大数 ^法則 ^、標本 ^大 ^十

大ば、観察標本均母集団真

回数 10回 20回 30回 40回 50回 100回

確率 65.6％ 73.7％ 80.0％ 84.6％ 88.1％ 96.8％

(17)

大数法則：

• ^プロ ^球 ^首位打者 ^最高打率 ^選手 ^規定打

席数あ、到いい選手選考外

– ^、大数 ^法則 ^応用

– ^打席数 ^回数 ^少 ^い ^、真 ^打率 ^実力 ^近く ^実際

打率当確率小い

– ^十 ^標本 ^大 ^持 ^い ^規定打席 ^到 ^い

打者、実際打率真打率考え選考対

象、表彰い

– ^{例えば、3割打者} ^10回 ^3回 ^ッ ^打 ^選手 ^打率

2割7 3割3 間入確率、

• 100^打席 →^約41％

• 446^打席 →^約84％

(18)

注意

• ^大数 ^法則 ^、標本 ^十 ^大 ^ば標本 ^均 ^真 ^均 ^近く

• ^仮 ^真 ^均 ^わ ^い ^ば、標本 ^大 ^応 ^適 ^範 ^内標本均入確率程度計算、必要標本大

わ

• ^、実際 ^逆算 ^困

– ^真 ^均 ^わ ^い ^真 ^均 ^わ ^い ^ば統計 ^析 ^必要 ^い

– ^適 ^範 ^取 ^方 ^確率 ^変わ

• ^コイン ^例 ^、100回投 ^、0.4～0.6 ^範 ^内 ^あ ^ば96.8％ ^、0.45～ 0.55 範内あば72.9％

• ^{いえ、標本} ^大 ^く ^範 ^内 ^入 ^確率 ^昇

、範狭一定以確率示い、

要法則

– ^範 ^0.45～0.55 ^、10回 →24.6^％ ^100回

→72.9^{％、1000回} →99.9^％ ^昇 ^いく

– 90^％以 ^確率 ^正 ^い範 ^計算 ^、10回 →0.2^{～0.8、100回}

→0.42 →0.477

(19)

中心極限定理

• ^母集団 ^う ^あ ^、

均確率形、標本大十

大い、正規いう

性質いう

– ^母集団 ^正規 ^あ ^必要 ^い

– ^正規 ^従う ^、真 ^均 ^頂 ^、左

右対称形

– ^、正規 ^従う ^、中心 ^確

率計算前回講義参照

(20)

中心極限定理

• ^イ ^元 ^う ^形 ^、何回

繰返標本抽出、均計算、

計算結果正規

• ^例 ^3割打者 ^打席数 ^打率

– ^真 ^打率 ^3割 ^打者 ^考え

– ^{、左右非対称} ^打 ^い

方打方多い

– ^{中心極限定理} ^正 ^い ^{ば、打席数} ^増や

いく、打率均 0.3 正規近

(21)

中心極限定理

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

0.01 0.04 0.07 0.1 0.13 0.16 0.19 0.22 0.25 0.28 0.31 0.34 0.37 0.4 0.43 0.46 0.49 0.52 0.55 0.58 0.61 0.64 0.67 0.7 0.73 0.76 0.79 0.82 0.85 0.88 0.91 0.94 0.97 次級

5打席 25打席 50打席 100打席 250打席 500打席

打席数増え、範 0.3 周い大数法則

左右対称正規近いい

(22)

中心極限定理

打席数 _� 5打席 25打席 50打席 100打席 250打席 500打席

均 0.3036 0.3015 0.3008 0.3003 0.3004 0.3001

散 0.0419 0.0084 0.0041 0.0021 0.0008 0.0004

歪度 0.3699 0.1795 0.1088 0.0863 0.0371 0.0363

尖度 2.7732 2.9554 2.9345 2.9281 2.8798 2.9688

均打席数増え真値 0.3 近く

散打席数増え小く 0.3 周

集中

歪度打席数増え 0 近く

→ ^左右 ^ゆ ^小 ^く

尖度結果微妙、500打席 3 近い

(23)

散減少

• ^標本 ^大 ^く ^、 ^散 ^減少

– ^ば ^大 ² ^グ ^区間 ³ ^グ ^区間 ^考え ^、散小く _→標準偏差小く _→ グ区間小く – ^散 ^標本 ^大 ^、 ^比例 ^い ^う ^見え

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第8回

大数 法則 中心極限定理

本日 内容

• 前提条件：ラン 標本

• 大数 法則

• 中心極限定理

前回 復習

• 均 → 合計

観測数 =

8 ≈

• 標準偏差 → 偏差 乗和 �− = − ≈

前回 復習

• 問題 背後 考え方

– 電力需要 予測 い 節電要請等

– 、手元 あ 2015 →

来 う わ い

– 言えば、2015 日 需要

偶然 左右 ば い い

– 、電力需要 正規 形 ば い

い 考え 、電力需要 予測 、 く い発

前回 復習

イ 電力需要 500万kW以 確率 ?

• 、実際 500 万kW以 日 比率

前回 復習

前回 復習

前回 復習

エ 正規 ?

– 元 正規 い 、標準正規 用い

結果 生

– 歪度 尖度 計算 、歪度 －0.18、尖度

2.10 、正規 比べ 負 歪 尖

い

– 、正規 従 い い可能性

高い

• 実際 電力会社 、 間 最大3日需要 日

最大電力需要 1 並べ、 位3 均 3％

乗 目安 発電能力 保持 義務

付 い

• 3 ％ 、 間 停電日数 0.3日以 イン

計算 い

• 、停電 起 信用 失わ 、自主的 8

～10％程度 乗 い

• 陸電力 場合、名目 発電能力 約800万kW あ 、

原子力発電 除く 約650万kW あ

• 仮 、常時利用可能 発電能力 600万kW 、

停電確率 0.3％以 あ 基準 約2.76

ラン 標本

• 前回 話 、 数値 与え 考

え

• 知 い対象者全体 いう

ラン 標本

• 母集団 中 規則性 無い う ラ

ラ 抽出 標本 ラン 標本 無作

標本 いう

– 規則性 持 抽出 、意 的 特定 対象

抽出 う 標本 偏 標本や有 標本 呼

– 例 大学生 生活費 調査

ラン 標本

• 偏 標本 、母集団 代表 わ く

い 注意

– 知 い あく 母集団 状況

– 偏 標本 用い 析 、結果 偏 う

– 例 大学生 生活費

ラン 標本

• ラン 標本 特徴

– 、標本 大 く 観測数

増え 、標本 均 母集団 均

束 いく

– 、標本 大 く 、

基準 標本 均 標準 正規

束 いく

• ラン 標本 用い 、母集団 一

部 母集団自体 性質 推測

大数 法則

• 母集団 真 均 �

• く小 値 � 対 標本 均 、 � [ � −

� , � + �] 区間 入 確率 �

• 標本 大 � 無限大 近 く 、 �

1 近 い いく 、 いう

大数法則中心極限定理

本日内容

• ^{前提条件：ラン} ^標本

• ^大数 ^法則

• ^{中心極限定理}

前回復習

• ^均 → 合計

観測数 ⁼

8 _≈

• ^標準偏差 → 偏差乗和 _�− ₌ ₋ _≈

前回復習

• ^問題 ^背後 ^考え方

– ^電力需要 ^予測 ^い ^{節電要請等}

– ^、手元 ^あ ²⁰¹⁵ →

来うわい

– ^{言えば、2015} ^日 ^需要

偶然左右ばいい

– ^{、電力需要} ^正規 ^形 ^ば ^い

い考え、電力需要予測、くい発

前回復習

イ電力需要 500万kW以確率 ?

• ^、実際 ⁵⁰⁰ ^万kW以 ^日 ^比率

前回復習

前回復習

前回復習

エ正規 ?

– ^元 ^正規 ^い ^{、標準正規} ^用い

結果生

– ^歪度 ^尖度 ^計算 ^、歪度 ^{－0.18、尖度}

2.10 、正規比べ負歪尖

– ^、正規 ^従 ^い ^い可能性

• ^実際 ^電力会社 ^、 ^間 ^{最大3日需要} ^日

最大電力需要 1 並べ、位3 均 3％

乗目安発電能力保持義務

付い

• 3 ^％ ^、 ^間 ^停電日数 ^0.3日以 ^イン

計算い

• ^、停電 ^起 ^信用 ^失わ ^、自主的 ⁸

～10％程度乗い

• ^陸電力 ^{場合、名目} ^発電能力 ^約800万kW ^あ ^、

原子力発電除く約650万kW あ

• ^仮 ^{、常時利用可能} ^発電能力 ^600万kW ^、

停電確率 0.3％以あ基準約2.76

ラン標本

• ^前回 ^話 ^、 ^数値 ^与え ^考

• ^知 ^{い対象者全体} ^いう

ラン標本

• ^母集団 ^中 ^規則性 ^無い ^う ^ラ

ラ抽出標本ラン標本無作

標本いう

– ^規則性 ^持 ^抽出 ^、意 ^的 ^特定 ^対象

抽出う標本偏標本や有標本呼

– ^例 ^大学生 ^生活費 ^調査

ラン標本

• ^偏 ^標本 ^、母集団 ^代表 ^わ ^く

い注意

– ^知 ^い ^あく ^母集団 ^状況

– ^偏 ^標本 ^用い ^析 ^、結果 ^偏 ^う

– ^例 ^大学生 ^生活費

ラン標本

• ^ラン ^標本 ^特徴

– ^、標本 ^大 ^く ^観測数

増え、標本均母集団均

束いく

– ^、標本 ^大 ^く ^、

基準標本均標準正規

束いく

• ^ラン ^標本 ^用い ^、母集団 ^一

部母集団自体性質推測

大数法則

• ^母集団 ^真 ^均 _�

• ^く小 ^値 _� ^対 ^標本 ^均 ^、 _� _{[ � −}

� , � + �] ^区間 ^入 ^確率 �

• ^標本 ^大 _� ^無限大 ^近 ^く ^、 _�

1 近いいく、いう

• ^例 ^コイン投 ^考え

– ^表 ^出 ^比率 ^真 ^均 _� _.

– � ^{回コイン投} ^、表 ^出 ^比率 ^計算

– ^比率 _{. , .} ^間 ^入 ^、 _{� = .}

大数法則