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Road of the Ring -Reverse-

Tadahiro Hoshino

Tohoku university

October 28, 2011

contents

環に関する結果について紹介する。 逆数学と代数の結果の紹介 アルチン環とネーター環について 非可換環について

抱えている問題と今後

reverse mathematics

二階算術の理論_Z2の集合存在公理に制限を加えることで様々な 部分体系が得られる。

definition

RCA₀, WKL₀, ACA₀はそれぞれ以下の公理からなる公理系で ある。

RCA₀ BA + Σ⁰₁ induction + ∆⁰₁ comprehension WKL₀ RCA₀ + Weak K¨onig⁰s lemma

ACA0 RCA0 + arithmetical comprehension

Friedmanは「逆数学現象」と呼ばれる次の事実に気づいた。 H.Friedman 1974

数学の定理の多くは_RCA0で証明できるか、そうでなければ他の 部分体系のいずれかと論理的同値になることが_RCA0で証明で きる。

これが発端となって「数学の定理を二階算術で扱えるよう形式化 し、各々の定理を証明するのにどの強さの集合存在公理が必要 か」を調べる「逆数学プログラム」が始まった。

Weak K¨onig⁰s lemma

2^<Nは{0, 1}の有限列全体の集合を表す。_{T ⊆ 2}^<Nが木である とは_T がinitial segmentに関して閉じていることを言う。 f : N → {0, 1}^がT ^{の道であるとは任意の}n^に対して hf (0), f (1), ..., f (n − 1)i ∈ T ^{であることを言う。}

弱ケーニヒの補題とは「_{T ⊆ 2}^<Nが無限木ならば_T は道を持つ」 という主張である。

arithmetical comprehension

算術的内包公理とは集合量化記号を含まないような論理式を満た す自然数の集合の存在を保証する公理である。

theorem (RCA₀)

以下は互いに同値である。

1 _ACA

0

2 _Σ0

1^内包公理

3 任意の単射_fに対してその値域が存在する。

Next.アルチン環とネーター環について

algebra

以降、特に断りがない限り_Rは可換環を表すものとする。 definition

Rがネーター環であるとは_Rがイデアルの無限上昇列を持 たないことを言う。

つまりイデアルの上昇列_{I0 ⊆ I1} ⊆ ... ⊆ I_n ⊆ ...^に対 してある_N0が存在し任意の_{N > N0}に対して_{IN0 = IN} であることを言う。

Rがアルチン環であるとは_Rがイデアルの無限下降列を持 たないことを言う。

Rが強ネーター環であるとはある_Nが存在し、任意の_Rの イデアルの上昇列の長さが_Nで抑えられることを言う。

ネーター環におけるイデアル分解の問題も興味深い。 definition

R^{のイデアル}I^{が既約であるとは}Iを真に含む有限個のイデアル の共通部分で_Iが表せないことである。つまり_{I = A ∩ B}なら ば_{I = A}または_{I = B}である。

R^{のイデアル}Jが準素イデアルであるとは_{R 6= J}かつ

ab ∈ J ∧ a /∈ J → ∃n (bⁿ ∈ J )を満たすことである。特に素 イデアルは準素イデアルである。

proposition (RCA₀)

Rをネーター環とする、このとき_Rの既約イデアルは準素イデ アルである。

ネーター環において任意のイデアルは既約イデアルの共通部分へ と分解できることが_ACA0で証明できる。

以下はネーター環に関する主張としてヒルベルトの基底定理に着 目し、それに関する_Simpsonの論文から始めた研究である。 definition

R^加群M^がHilbertian^{であるとは任意の}M^の元の列hmii^に 対してある_{n ∈ N}が存在して任意の_jに対して

m_j ∈ hm₀, ..., m_ni_R^{を満たすことを言う。} 環に対しても同様に定義される。

環が_Hilbertianならばそれがネーター環であることは_RCA0で示 せる。

proposition (ACA₀)

ネーター環は_Hilbertianである。

example

proposition (RCA₀+ IΣ₂)

R^がHilbertian^{ならば有限生成}R^加群もHilbertian^である。 また、_R[X]も_Hilbertianである。

(Rは非可換でもかまわない。₎

現在グレブナー基底を用いて任意の_nに対して_{R[X1, ..., Xn]} が_Hilbertianが示せないか研究中である。

Idea of the proof

R[X]^がHilbertian^{であることを示す。} R[X]^の列haii^{を任意に取る。}N ,Nn,In^を

N = {f ∈ R[X] | ∃m ∃ti ∈ R[X] (f =^∑m_i=0tiai)} Nn = N ∩ {g ∈ R[X] | ∃si ∈ R(g =^∑n_i=0siXⁱ)} I_n = {r ∈ R | ∃a ∈ N_n (a^におけるX^{nの係数が}r^である)} とする。次数に関する帰納法を用いて任意の_{b ∈ N} がそれに依 存しない有限個の_{b0, ..., bl ∈ N} が存在して_{b ∈ hb0, ..., bliR[X]} であることを示す。

任意の_jに対して_{aj ∈ N} であり、各_{bi ∈ N} は有限個の_aiで 表すことが出来ることから_R[X]が_Hilbertianであることが示さ れる。

最高次の次数が_nの項に対して、_Inはその係数の集合であって R^がHilbertian^{であることから}In = hr0, ..., r _(n)i^{と表すこと} が出来る。_Inの定義から各_riに対して

f_i = r_iXⁿ+ (X^{n`1以下の項}) ∈ N_n ⊆ N ^となるf_i^が存在す る。よってある有限の次数までならこれら有限個の_{fi ∈ N}で最 高次の項は表すことが出来る。

I = ∪In^とするとIは最高次の係数の集合で、_I は_Σ⁰

1^であるか

らその列挙_hr⁰

i^{iが存在する。RがHilbertianである仮定からあ}

る番号_kが存在して_{I = hr}⁰

0^{, ..., r}k^{0iRである。Iの定義から}

i ≤ k^{に対してある番号}ϕ(i)^とb_’(i) ∈ N_’(i) ⊆ N ^{が存在して} b_’(i)= r⁰_iX^’(i)+ (X^{’(i)`1以下の項})^{と表すことが出来る。} m = max{ϕ(i) | i ≤ k}^{と置けば次数が}m^{以上の項は} b_’(i) (i ≤ k)^{の部分で、}m^{未満の項は}Ij (j ≤ m − 1)^の部分 を用いて表すことが出来る。

以下は_Conidisが示した結果である。 theorem 1(RCA₀ + IΣ₂)

以下は同値である。

1 _WKL

0

2 非自明な冪零元を持たないアルチン環はネーター環である。 theorem 2(RCA₀ + IΣ₂)

以下は同値である。

1 _ACA

0

2 アルチン環は強ネーター環である。

idea of the proof 2

X^をΣ⁰₁-complete set^{とする。するとある}Σ⁰₀ formula ϕ^が存 在してx ∈ X ↔ ∃n ϕ(x, n)^となる。ran(α) = A^{の補集合の} 無限部分集合がこの_nを_bound出来るような_αの存在を_IΣ2を 用いて示す。_(αの構成に関して_Soareの本を参照した₎

R = Q[XN | N ∈ N]^としRを二次の不定元からなるイデアル で割り、さらに_{qX¸(i)− X¸(i)+1}で生成されるイデアルで割 る。こうして構成した環に仮定を適用してイデアルの無限下降列 から求める無限部分集合を得る。

Conidisの証明のアイデアから次を得た。 theorem(RCA0 + IΣ2)

以下は同値である。

1 _ACA

0

2 _Rがアルチン環ならば任意のイデアルは有限生成である。

3 _R

がアルチン環ならば任意のイデアルは既約分解できる。

4 _R

がアルチン環ならば_Rは_Hilbertianである。

ACA0においてアルチン環はネーター環であることが示せる。

”^{アルチン環}”^を”^{ネーター環}”に置き換えたものが一般的な主張で あるが、そのときに_ACA0を出せるかどうか研究中である。

Next.^{非可換環について}

noncommutative ring

Rを可換とは限らない環、_Mを₍左_)R加群とする。 M^がsimple(^単純)^{であるとは}M 6= 0^かつ

∀x ∈ M ∀y ∈ M \{0} ∃r ∈ R (x = ry)^{つまり任意の} 0 6= m ∈ M ^に対してM = Rm^{を満たすことを言う。} M^がsemisimple(^半単純)であるとはそれが単純な加群の直 和になっていることを言う。

環_Rに対してもそれを₍左_)R加群と見ることで単純と半単 純が同様に定義される。

R^{が斜体であるとは}0でない任意の元が単元であることを 言う。

proposition(RCA₀)

単純な₍左_)R加群は非自明な部分加群を持たない。

逆は_WKL0を用いて体でない可換環が非自明なイデアルを持つ のと同様の方法で示す。可換環のイデアルに関する研究は Downey, Lempp, Miletiの論文を参照するとよい。

theorem(ACA₀)

(^左)R^加群Mに対して以下は同値である。

1 _M

は半単純である。

2 _M

の任意の部分加群_M⁰に対して部分加群_M⁰⁰が存在して M = M⁰ ⊕ M^{00である。}

3 _M

は単純な部分加群の和である。 これについて次を得た。

theorem(RCA₀) 以下は同値である。

1 _ACA

0

2 _M

が₍左₎半単純_R加群ならば、任意の部分加群_M⁰に対し て部分加群_M⁰⁰が存在して_{M = M}⁰_{⊕ M}⁰⁰である。 逆の主張の結果については分かっていない。

idea of the proof

R = Q^{とし、半単純な左}R^加群をM = ⊕_i2NQXi^{とする。任}

意に与えられた単射_f に対して_Mの部分加群を

M⁰ = ⊕_m2N^Q(X_{2f (m)}− (m + 1)X_{2f (m)+1})^{とすると仮定よ} り部分加群_M⁰⁰が存在して_{M = M}⁰_{⊕ M}⁰⁰である。

任意の_{n ∈ N}に対して_{X2n, X2n+1 ∈ M \M}⁰であるからある Y_2n, Y_2n+1 ∈ M^0とZ_2n, Z_2n+1 ∈ M⁰⁰\{0}^{が存在して}

X2n = Y2n+ Z2n^かつX2n+1 = Y2n+1+ Z2n+1

である。∃m f (m) = n^ならばX_2n− (m + 1)X_2n+1 = (Y_2n− (m + 1)Y_2n+1) + (Z_2n− (m + 1)Z_2n+1) ∈ M^0であ るから_Zの項は₀になる。_Zの消える項の係数から_mを計算し て_f を適用すると_nになる。すなわち_Z2nの₀でない項の係数 qi^とZ_2n+1^{の項の係数}q⁰_i^に対してf (^q_qⁱ0

i ^{− 1) = n}

である。

一般に自己準同型環は自己準同型写像の集合であって₂階算術で は定義できないが、単純な加群の自己準同型をその生成元の行先 で定めることで₂階算術でも定義する事が出来る。これによって 以下を得る。

theorem(Wedderburn-Artin) (RCA0)

Rを任意の左半単純環とする。このときある斜体_{D1, ..., Dr}と n1, ..., nr^{が一意に存在して}R ∼= Mn1(D1) × ... × Mnr(Dr) である。

idea of the proof

Rは半単純であるから単純な部分加群₍極小な左イデアル_)Miが 存在して_{R = ⊕i»nMi}と表せる。各_Miを加群として同型なも の同士に分けて_{Nk = ⊕j<’(k)Mj;k}とする。各_Mj;kは単純で あるから単元生成であり、自己準同型_End(Nk)を考えるとそれ はM_’(k)(End(M_j;k))^{と同一視できる。}

単純性から_End(Mj;k)が斜体であることが容易に分かる。

problem

R^がHilbertian^{ならば任意の}n^に対してR[X₁, ..., Xn]^も Hilbertian^{であることを}(^どこで)^{示せるか？}

「_Rがネーター環ならば任意のイデアルは有限生成である」 の逆証明。

「₍左_)R加群_Mの任意の部分加群_M⁰に対して部分加群 M^{00が存在して}M = M⁰ ⊕ M^00ならばM^{は半単純であ} る」の逆証明。

future study

さらなる非可換環の定理について研究する。

references

Chris J.Conidis

CHAIN CONDITIONS IN COMPUTABLE RINGS R.G.Downey, S.Lempp, J.R.Mileti

Ideals in computable rings

R.I.Soare Recursively enumerable sets and degrees S.G.Simpson Subsystems of second order arithmetic S.G.Simpson

Ordinal Numbers and the Hilbert Basis Theorem T.Y.Lam A First Course in Noncommutative Rings