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第 ₁₀ 回

推定結果 関 検定

本日 内容

• ^{回帰係数 関} – ^検定

• ^区間推定

• ^信頼区間

• ^{推定結果 報告}

次回 い

• ^{次回 演習 行う M36 集合 く さ}

い

– ^{基本的 注意事項 前回}

– ^{今回 STATA いうソ 使い}

前回 復習

ア こ 式 説明変数 _ACT 自宅学習時間

被説明変数 _GPA 平均評定点 い

ACT ^原因 GPA ^{決定さ 考え い}

� = . > ^{ACT 増加 GPA 増加}

考え い

イ 推定さ 回帰式 代入 誤差項 平均的

0 0 ^考え

GPA = . + . × �� = . + . × = .

ウ _ACT 係数 あ _{� = . ACT 5}

増加 _{GPA 0.5} 増加

– ^{式 形} _{= . + .}

前回 復習

エ

= ∑ − � = . − × .

= . − × . = .

= ∑ − ∑ = . − . = .

– ^{あ い}

= ∑ = .

オ

= − = − ^. _. ≈ .

– ^{GPA ば 成績 良 悪 約 74 ％}

自宅学習時間 多い 少 い 説明

回帰係数 関 _t 検定

• ^{推定 結果得} _� ^{い t 検定}

推定 確 さ 知 こ

• ^{検定 帰無仮説} _{� : � = �} ^平均

検定 様 手続 検定 行う

– ^{通常 帰無仮説} _{� =} ^{説明変数 被説}

明変数 間 線形 関係 成立 い 否

検定

– ^{復習 平均 差 検定}

) (X V z _ X ^{ }

回帰係数 関 _t 検定

• ^帰無仮説 _{� = �} ^{推定さ 係数} _�

検定統計量

• � ^{理論的 分散}

• ^さ _{� =} ^{置 換え}

ˆ )

(

ˆ







V z

_ ^

xx n

i

i

s x n

x

V

( 1 )

)

(

ˆ )

(

2

1

2 2

 

 





 

回帰係数 関 _t 検定

• ^{ｔ検定統計量 省略} _�- ^{値 ば}

こ 多い

• ^{分母 標準偏差 推定量 あ 標準誤差}

ば

• t ^{検定 手続 自体 平均 検定 様}

– t ^{分布表 自由度 検定 大 さ 応}

棄却域 探 帰無仮説 評価

sxx

n s t

) 1 (

ˆ

2 0



 ^  ^



回帰係数 関 _t 検定

• ^{イメ 推定 求} _� ^タ

ば 正 い _� い 可

能性 あ

– � ^{ば 残差 ば 説明変数 ば}

• ^{残差 ば 大 い}→^推定さ _� ^大 い_→正 い _� 在 可能性 あ 幅 大 い

• ^{説明変数 ば 大 い}→^{そ けバ エ ョン} あ 観測 い _→� 可能性 あ 幅 さく 良 い

– ^帰無仮説 _� ^推定さ _� ^{距離 ば}

測 こ く い 起こ くい あ

確

回帰係数 関 _t 検定

• ^{帰無仮説：} _{� =} ^良く用い

– ^{帰無仮説 棄却 ば 推定さ} _{� 0}

十分 離 い

• ^{説明変数 被説明変数 間 何 関係 あ} こ 統計的 示唆さ

• ^{さ そ 関係 正 負 示唆 こ 推定さ} 係数 正 い係数 符号 違う_→0 さ 遠い こ 正 い係数 あ _→そ う 可能性 ほ い

– ^{帰無仮説 棄却 い場合}

• ^{説明変数 被説明変数 無関係 あ 可能性 一定以 確} 率 在

• ^{推定さ 係数 符号 誤 あ 可能性 一定以 確率} 在

• ^{検証 い理論 立証 い}

回帰係数 関 _t 検定

推定さ � 0

標準誤差

t^{値倍離 い} 符号 逆

→0 ^{さ 遠い}

0 ^{十分 離 い}

→^{関係 い ＝0 い}

→^{推定さ 符号 正 い}

0 ^{十分 離 い い}

→^{関係 い ＝0 い}

→^{推定さ 符号 逆 い}

→

そ そ 関係 い？ 説明変数 被説明変数 影響 与え いう 仮説 間違 い

関係自体 正 負 わ い？

回帰係数 関 _t 検定

• ^{回帰係数 関 t 検定 行う場合 棄却域}

広さ 有意水準 いう

– ^{例えば 検定 大 さ 95 ％} → ^{棄却域 広さ}

5 ^％ _→ ^有意水準 5 ^％

– ^{○○％水準 有意 表現}

– ^{有意水準 さく} → ^{そ け起 確率}

さく _→ 確 く

– ^{有意水準 5 ％ 0 異} → ^{検定 大 さ}

95 ^％ t ^{検定 行い} _{� =} ^{いう帰無仮説}

棄却さ こ 表

区間推定

• � ^{一定 確率 在 幅 推定 こ}

区間推定 いう

– ^{最 正 そう} _� ^{値 1 求 今 推定}

点推定 区別さ

• ^例えば _{� 95} ^{％以 確率 含 う}

区間 境界 考え 限 _� 限 _� 求

– ^{こ う 区間 95 ％信頼区間 いう}

– � � � ^{間 95 ％ 確率 含}

– ^{逆 言う} _� ^{さい あ い} _� ^{大 い確}

率 合わ ₅ ％ い

区間推定

• ^{信頼区間 出} _� ^{標準誤差 用い}

– ^{信頼区間 中心 推定さ} _�

– ^{設定 確率 応 t 分布表 値 探}

両側検定 設定 確率 半分

数 行 探 点 注意

– T ^{分布表 値 標準誤差 掛け}

• � ^{引い → 限}

• � ^{足 → 限}

• ^{限 限 間 信頼区間}

区間推定

• ^{例 推定さ 係数} _� ^標準誤差 _�

自由度 ₁₀ 場合 信頼区間

– 95 ^{％信頼区間}

• t^{分布表 自由度}=10 p=0.025 ^{項目 参照}_→2.23

• ^信頼区間 � − . � < � < � + . �

– 99% ^信頼区間

• t^{分布表 自由度}=10 p=0.005 ^{項目 参照}_→3.17

• ^信頼区間 � − . � < � < � + . �

– 99 ^{％信頼区間 方 幅 広い}

区間推定

推定さ �

○○％信頼区間： 少 く ○○％ 確率 正 い_� こ 範囲 あ

こ 確率

100-^{○○％ 半分}

こ 確率

100-^{○○％ 半分}

こ 長さ：標準誤差 _t値倍

こ 点

ンポイン 求 点推定

信頼区間 検定

• ^{信頼区間 推定 回帰係数 t 検定 原理}

全く

– ^{信頼区間 起こ う 程度 検証}

– t ^{検定 特定 値 信頼区間 含 否}

検証

–

• ^{信頼区間 帰無仮説 入 い}→^{帰無仮説 棄却}

例

• ^{一人当 GDP 平均 関係}

– ^{演習 利用 タ}

– ^{回帰式 以 想定}

– ^{最 2乗法 推定 行 こ}

– ^{こ 結果 一人当 GDP 1 昇 平均} 0.00279^{歳延び こ 示 い}

• ^{決定係数 0.32}

– ^{標準誤差 計算 こ}

• ^定数項→0.76

• � → .

– � ^{い 検定 行い95％信頼区間 計算 さい}

i i   ^{一人当たりGDP}i ^u 平均寿命 _{ }

GDP 000279

. 0 5 .

65 ^{一人当たり}

平均寿命 _{  }

例

– � � = ^t値

= ^. _. ⁻ ≈ .

– P=0.025 t^値 1.96 P=0.005 t^値 2.58 ^い 9.03 ^さい_{→� =} ^{いう帰無仮説 棄却さ}

• ^{一人当 GDP 平均 間 関係 あ}

• ^{さ 言えば 正 関係 一人当 GDP 昇 平均}

延び 在 いえ

• ^{決定係数 あ 高く い 0.32}

– 95^{％信頼区間}

� − . × . ≤ � ≤ � + . × .

⇒ . ≤ � ≤ .

– ^{95％以 確率 0.0002以 係数}

推定結果 表記

• ^{推定 行 結果 表記 方法 大 く}

分け ₂ あ

1. ^{回帰式 結果 代入 方法}

2. ^{報告表 作 方法}

• ^{後期 扱う重回帰 い 変数 多く}

2 ^{目 方法 用い こ}

多い

1. ^{回帰式 結果 代入 方法}

000279 GDP

.

0

5

.

65 _



平均寿命

)

76

.

0

( _{( 0 . 0000308 )}

 169

n

32

.

2 _ 0

R

係数 標準誤差 t-^値) ^記入

内は標準誤差

)

(

入 注記

観測数や決定係数 報告

2. ^{報告表 作 方法}

変数 係数

一人当 _{GDP 0.000279}

[9.03]***

定数項 _65.5

[86.2]***

観測数 ₁₆₉

決定係数 _0.32

***:1% ^{水準 有意}

[ ] ^内 t- ^値

係数

標準誤差や t-^{値 記入}

有意水準 応 印 け

[ ]^{内 注記}