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第 ₁₀ 回

微 ②

経済数学Ϩ ₁

本日 内容

• 2 ^{次関数 微}

• ^{経済学的問題：企業 生産行動}

• ^{最大化 最 化}

– ^極値

– ^{関数 最大化 最 化}

– ^増減表

• ^教科書

– ^{極値 極大値 極 値}

• pp.67-68

– ^増減表

• pp.68-70

前回 復習

問 ₁ ：基本的 いま

問 ₂ ： ア

�

= = ⇒ =

= − = × − = −

、頂点 標 _{, = , −}

軸 交点 _{→ =} 点

→ = = − ^点

→2 ^{次方程式 解}

− ± − × × −

× ^{= ± = ± =}

ま 、 _{− = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ± = ±}

経済数学Ϩ ₃

前回 復習

-0.8 -0.4 ^O 0.2 0.6

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

x y

-0.8 -0.4 ^O 0.2 0.6

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

x y

(0,-1)

-0.8 -0.4 ^O 0.2 0.6

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

x y

(0,-1)

−

前回 復習

イ

� ^′ = − + = ⇒ = ⇒ =

= − + − =

– ^{、頂点 標} _{, = ,}

– ^{ま 、 片} _{, = , −}

経済数学Ϩ ₅

前回 復習

O 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

x y

O 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

x

y (1,0)

(0,-2)

O 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

x

y (1,0)

(0,-2)

前回 復習

• ^{平方完成 微}

– ^{高校 特 数Ϩ 二次関数 グラフ 出 場合}

頂点 標 出 方 、平方完成を習う 前回 ライ

参照

– ^{一方、頂点 傾 0 点 、微 0 点を探}

や ば頂点 前回＆今回

– ^{当然、同 点を探 結果 同}

– ^{通常 計算力 あ ば、 く平方完成 微 0}

方 一次方程式を解 ば い 計算 少 い

– ^{高校 微 数ϩ 数Ϫ 範囲 、二次関数}

グラフ 出 く 数Ϩ 使 教え い い 、わ

わ 計算 を や い平方完成 方を教え い

経済数学Ϩ ₇

2 ^{次関数 微}

• 2 ^{次関数 微 、傾 を表}

• 2 ^{次関数 関数 、通常 1 次関数}

• ^{、 2 次関数 傾 正 負}

替わ

• ^{ち う 替わ 点 傾 ゼロ 点}

、最 大 い点 あ い 、最 い点

2 ^{次関数 微}

• ^例 _{= � = −} ^を微

– ^′ ₌

– ^{関数を =0 一次方程式 解く 、頂点}

標 わ

– ^{頂点 標 あ わ}

経済数学Ϩ

� ^{-2 -1 0 1 2}

�′

11 2 -1 2 11

9

2 ^{次関数 微}

• ^例 _{= − + −}

– ^′ ₌

– ^{今 、頂点 標 い}

– ^{違い 、 関数 正} → ^{負 替わ 、負}

→ ^{正 替わ}

� ^{-2 -1 0 1 2}

�′

-20 -8 -2 0 -2

2 ^{次関数 微}

経済数学Ϩ x

y

x y

x y

傾 正

傾 負

最大値 、

最大値ま _→傾 正

最大値 _→傾 負

、正_→負 わ

x y

x y

x y

傾 負

傾 正

最 値 、

最 値ま _→傾 負

最 値 _→傾 正

、負_→正 わ 最大値

最 値

11

経済学的問題：企業 生産行動

• ^{企業 目的 様々}

– ^{利益を最大化 い}

– ^{販売量を最大化 い}

– ^{売 高を最大化 い}

• ^{売 高を最大化 を考え}

– ^{売 高 販売量×価格 決定}

– ^{作 常 売 わ い}

– ^{価格を ば販売量 増え}

– ^{、後 掛 算 価格 減 まう}

– ^{売 高を最大化 点 う 点 ?}

経済学的問題：企業 生産行動

• ^{売 高} _� ^{を、販売量 価格} _� ^{表 、}

� = × �

• ^{販売量 、需要関数 価格} _� ^{関数 表}

– ^例えば

� = − �

• ^{需要関数を売 高 式 代入 、}

� = − � × � = − � + �

• ^{関数 一番大 く う} _� ^{販売 ば い}

経済数学Ϩ ₁₃

微 意味 前回講義参照

• ^微 → ^{関数 を求}

– ^関数 → ^{接線 傾 を教え く 関数}

– ^点 _{, �} ^{接線 傾 、 関数} _�

^、

与え ば計算

• ^{関数 符号を見 、 を増や} _�

増え 減 わ

– �

> → ^{傾 正 → 増え} �

– �

< → ^{傾 負 → 増え} �

– �

= → ^{傾 ゼロ → 増え} �

• ^{山 頂点や、谷底 傾 点}

– ^{、関数 頂 や最低点を探 、微 ゼロ}

点 注目 ば い

極値

• ^{関数 値 正 負 変わ 点 極大 関}

数 値を極大値 いう

– ^{替わ 点} → ^{近く 最大}

点

– ^{ま 、関数を最大化 い 極大値 注目}

ば い

• ^{関数 値 負 正 変わ 点 極 関}

数 値を極 値 いう

– ^{替わ 点} → ^{近く 最}

点

– ^{ま 、関数を最 化 い 極 値 注目}

ば い

経済数学Ϩ ₁₅

極値

• ^{極値 極大値 極 値}

– ^{極大値や極 値 山 頂 や谷底} _→� ^′ ₌

う _� 値

– ^{極大値や極 値 一 関数 中 複数存在}

場合 あ

– � ^′ = ^{点 、 極大値や極 値}

限 い

• ^前後 _�

^{符号 変化 い ば極大}

値 極 値 い

• ^{イメ 階段 踊 場}

極値

経済数学Ϩ

�

17

関数 最大化 最 化

• ^{関数 符号 替わ 点 注目}

1. ^{関数 値} 0 ^点を探

2. ^{点 前後 関数 符号を確認}

• ^正 → ^{負 変化：極大}

• ^負 → ^{正 変化：極}

• ^{変化 ：極大 極 い}

3. ^{極値 関数 範囲 端 点を見比 、最大値}

最 値を探

• ^{最大値 最 大 い値 候補：極大値ま 範囲 端}

• ^{最 値 最 い値 候補：極 値ま 範囲 端}

増減表

• ^{増減表を書く 、関数 形を整理}

1. ^関数 _�

^を求

2. _�

₌ 値を求

3. ^{範囲 端 、} _�

₌ ^値を記入

4. ^{各点 前後 を代入 傾 符号を求 、傾}

正 増加 を、傾 負 減少 を

書 込

5. _� 値を記入 、最 値ま 最大値を探

経済数学Ϩ ₁₉

増減表

� ⋯ ⋯

�′ � + −

� = � � = − � + � 1. ^{微 関数} _�^′ _� ^を計算

�^′ � = − × × � ⁻ + × × � ⁻ = −� + 2. ^関数 _�^′ _{� = �} ^を求

−� + = ⇒ � =

3. _↑ ^{範囲 端を記入 価格 イ い 、最} 0 4. ^{記入 点 例} 0 100 ^{前後 傾 を調 、矢印を記入}

� = 99 ^、 �^′ � = −99 + = ⇒+⇒

� = ^、�^′ � = − + = − ⇒−⇒

5. _{� �} ^{を計算 、最大値を探} _{� = ⇒ − × + × =}

増減表

経済数学Ϩ

O 25 50 75 100 125 150 175

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

P R

O 25 50 75 100 125 150 175

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

P R

O 25 50 75 100 125 150 175

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

P R

極大 極大値

最大値

先

無限 続

→^{極 値 無}

→^{最 値 －}∞

21

例題

• ^関数 _{� = − +} ^{極大値 極 値}

び _{≤ ≤} 範囲 最大値

最 値を求 い

– ^{極大値 、極 値 、}

– ^{最大値 、最 値 、}

�

�′ �

� �

例題

経済数学Ϩ

� ⋯ ⋯

�′ � − − +

� �

� = − +

1. ^{関数を計算} _�^′ _{= × ×} ⁻ _{− × ×} ⁻ _{= −}

2. ^関数 0 ^を計算 _�^′ _{= − = ⇒ = ⇒ =} 3. ^両端 _{= , = ↑ =} ^{を増減表 記入}

4. ^{点 前後 傾 を調 、矢印を記入}

= �^′ = × − = − ⇒−⇒

= �^′ = × − = ⇒+⇒ 5. _� ^{を計算 、最大値 最 値を探}

23

例題

O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

25 50 75 100 125 150 175 200 225 250

x y

O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

25 50 75 100 125 150 175 200 225 250

x y

O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

25 50 75 100 125 150 175 200 225 250

x y

範囲内 最大